Элементы аналитической геометрии в пространстве

Элементы аналитической  геометрии в пространстве

Разместил: Apelsinka Дата публикации: 12 October 2011

Точка М(x,y,z) принадлежит плоскости Ф, если ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости.

Уравнение вида

называется общим уравнением плоскости. Плоскость будет задана, если заданы точка М₀ (х₀, y₀, z₀), принадлежащая плоскости, и координаты вектора , перпендикулярного данной плоскости (вектор называют нормальным вектором). В этом случае уравнение плоскости имеет вид  (используется условие перпендикулярности векторов), 

 , следовательно, их скалярное  произведение имеет вид 

Обозначив  , получим общее уравнение плоскости

Рекомендация. Обратите внимание на частные случаи уравнений плоскости. Например, z = 2 — уравнение плоскости при А = 0 и В = 0. Расположение этой плоскости показано на рисунке. Другие случаи равенства нулю коэффициентов уравнения рассмотрите самостоятельно.

От общего уравнения можно перейти к уравнению в отрезках. Для этого выполним следующие действия.

Введя обозначения, получим уравнение, называемое уравнением плоскости «в отрезках на осях».

Величины a, b, c — отрезки, отсекаемые плоскостью соответственно на осях ОХ, ОY, OZ.

Пусть известны нормальные векторы двух плоскостей  тогда из параллельности плоскостей вытекает параллельность векторов   следовательно, их координаты пропорциональны.

  - это условие параллельности плоскостей.

Если плоскости  взаимно перпендикулярны, то  то есть  — это условие перпендикулярности плоскостей.

Угол φ между плоскостями определяется как угол между нормальными векторами этих плоскостей. По формуле скалярного произведения векторов:

Пример 

Написать  уравнение плоскости Ф, проходящей через точки М₁ (0,1,2) и М₂ (1,-1,0) перпендикулярно плоскости  Построить плоскость Ф.

Решение: Напишем общее уравнение плоскости 

Пусть вектор N={А,В,С} — нормальный вектор искомой плоскости,N ₁= {2,-3,-1} — нормальный вектор известной плоскости.  ПосколькуN перпендикулярен N₁, то NN₁ = 0, следовательно, 2A-3B-C=0

М₁ и М₂ принадлежат плоскости Ф, следовательно, их координаты удовлетворяют уравнению (2.2). Подставив в (2.2) координаты точек М₁и М₂, получим два уравнения

B+2C+D=0

A-B+D=0

Таким образом, получено три уравнения для четырех  неизвестных А, В, С, D, а это значит, что необходимы дополнительные условия. Например, можно учесть, что длина вектора N может быть произвольной, тогда одну из координат, например, А можно положить равной единице. В результате получим систему уравнений

Таким образом,   Полученные результаты позволяют написать уравнение искомой плоскости в виде   Для того чтобы построить плоскость, преобразуем полученное общее уравнение в «уравнение в отрезках»: 

Если построение графиков вызывает у вас затруднение, можно воспользоваться онлайн сервисом построения графиков функций в прямоугольной системе координат, задав параметры оси X и Y и функцию. 

 

 

 

 

 

 

Элементы  аналитической геометрии на плоскости

Разместил: Lincoln Дата публикации: 26 September 2011

Основной  метод аналитической геометрии  — метод координат. В основе этого  метода лежит понятие системы  координат. В данной теме рассматривается  прямоугольная (декартова) система  координат. В этой системе точке  М пространства соответствует упорядоченная  тройка чисел (x, y, z), называемая координатами точки М, и наоборот — каждой тройке чисел соответствует единственная точка в прямоугольной системе координат. Этот принцип позволяет связать задачи геометрии и алгебры, а именно: описать аналитически заданный геометрический образ и его свойства и интерпретировать уравнения и неравенства как графические объекты.

В данной теме рассматриваются задачи геометрии  на плоскости, где координатами любой  точки является упорядоченная пара чисел (х, у). Важнейшее понятие аналитической геометрии —уравнение линии. Выражение вида F(x,y) = 0 называется уравнением линии на плоскости, если ему удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат этой линии.

Рассмотрим  на примере, как по описанию свойств  множества точек, принадлежащих  некоторой линии, составляется уравнение  этой линии.

Пример 1.1

Написать  уравнение траектории точки М (х,у), которая при своем движении остается втрое ближе к точке А (3;-2), чем к точке В (0;1).

Решение: Обозначим  ‌ ВМ ‌ = d₁, ‌ AM ‌ = d₂.

По условию

d₁ = 3d₂. (1.1)

В соответствии с формулой расстояния между двумя  точками

, следовательно, на основании  (1.1) запишем  и после упрощения получим искомое уравнение x² + y² + 3x — 5y — 5 = 0

Прямые линии  называются линиями первого порядка, им соответствуют уравнения первой степени относительно переменных х и y. Линиям второго прядка (эллипс, гипербола, парабола и др.) соответствуют уравнения второй степени.

Прямая  линия

Существуют  различные формы уравнения прямой:

1. Ах+Ву+С = 0 — общее уравнение прямой, где А,В,С — постоянные, причем А²+В² ≠ 0;
2. y = kx+b — уравнение прямой с угловым коэффициентом к = tga, где a — угол наклона прямой к оси Ох, отсчитываемый от оси Ох против движения часовой стрелки (положительное направление), b — отрезок, отсекаемый прямой на оси Оу;
3. у — у₁ = k (x — x₁) — уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х₁, у₁) в заданном направлении;
4. — уравнение прямой в отрезках, где а, b — отрезки, отсекаемые прямой соответственно на осях Ох и Оу. Уравнение этого вида позволяет легко выполнить построение прямой, заданной любым уравнением;
5. — уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂).

Пример 1.2.

Построить прямые:

1) 2х — 3у — 4 = 0;

2) у = 3х — 2.

Решение.

В обоих случаях следует  привести заданное уравнение к виду уравнения в отрезках; далее числа, стоящие в знаменателях отложить соответственно на осях Ох и Оу, через полученные точки провести прямую

1. .
2. Решение этой задачи аналогично: 3х — у = 2, следовательно 

Полученные прямые изображены на графике.

Прежде чем приступить к решению задач, связанных с  прямой на плоскости, следует ознакомиться по учебнику со следующими вопросами: угол между прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых; расстояние от точки до прямой.

Пример 1.3. Решение  типовой задачи

Даны вершины треугольника: А (2,-1), В (0,2), С (4,3).

Найти: 1) длину АВ; 2) уравнения  сторон; 3) угол ВАС; 4) уравнение высоты ВВ₁; 5) точку В₁; 6) систему линейных неравенств, определяющих область, образованную треугольником АВС.

1. .
2. Каждая из сторон треугольника задана двумя точками, следовательно, в соответствии с уравнением

, положив, что х₁, у₁ — координаты точки А, х₂, у₂ — координаты точки В, имеем для АВ  , из чего следует уравнение прямой АВ:  .

Аналогично для ВС и  АС:

.

Указание. Проверьте правильность уравнений. Так, координаты точки В удовлетворяют первому и второму уравнениям. Для проверки третьего — можно подставить координаты точки А или В.

3. Пусть φ — угол ВАС. Известно, что

(1.3)

Определим k_AB и k_AC. Для этого уравнения прямых АВ и АС представим в форме уравнения с угловым коэффициентом  . Получим: k_AB = — 1,5, k_AC = 2. После подстановки этих значений в формулу (1.3) вычислим φ ≈ 60°15`.

4.Уравнение ВВ₁ запишем как уравнение прямой, проходящей через заданную точку В (0;2) в заданном направлении. Это направление, то есть угловой коэффициент k_BВ1, найдем из условия ВВ₁^АС,

5. Координаты точки В₁ определяются как решение системы уравнений прямых ВВ₁ и АС (то есть как общая точка этих прямых):

.

6. Множество точек, принадлежащих  замкнутой области (области с  присоединенной границей) треугольника  АВС, определяется как система  линейных неравенств

.

Спонсор статьи - Repetit-Center - репетиторы по математике и высшей математике в Москве и Подмосковье. В данной компании работают репетиторы только с высшим образованием, доктора и кандидаты наук, преподаватели ведущих вузов столицы, поэтому в качестве предлагаемых услуг сомневаться не приходится. Репетитор по математике - ваш залог успеха в получении бесплатного высшего образования и престижной работы.