Контрольная работа по «Алгебра и геометрия»

Министерство образования  Российской Федерации 

Российский государственный  профессионально-педагогический

университет

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

По курсу  «Алгебра и геометрия»

Вариант 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент гр. ДЗИЭ-112С

Сапкулова Юлия Валерьевна

 

 

 

 

Екатеринбург 2009

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

1. Вычислить определитель:

Раскладывая определитель по элементам  первой строки, получаем:

 Определители третьего порядка здесь вычислены по «правилу треугольников».

 

2. Точки А, В, С заданы координатами в прямоугольной системе

координат: А(2,0,1); В(3,2,5); С(1,1,0). Найти:

1) векторы  .

Координаты указанных векторов найдем, вычитая из координат конца  координаты начала вектора:

2) скалярное произведение .

Скалярное произведение векторов, заданных в прямоугольной системе координат, равно сумме произведений их одноименных  координат:

3) .

4) величины углов, длины сторон треугольника АВС.

Длины сторон:

,

,

Величины углов:

Угол А есть угол между векторами .

Вычислим косинус угла между  указанными векторами по формуле:

,

Значит, .

Аналогично вычислим и

Угол В есть угол между векторами .

,

Угол С есть угол между векторами  .

,

 

5) векторное произведение и его модуль.

Векторное произведение вычислим, раскладывая определитель по первой строке:

 

модуль векторного произведения:

.

6) смешанное произведение  .

3. Изобразить штриховкой на рисунке в прямоугольной системе координат на плоскости множество точек плоскости, представляемых системой неравенств. Найти координаты вершин и представление для ребер соответствующей области.

Изобразим в прямоугольной системе  координат на плоскости множество  решений каждого неравенства.

: (0;2) и (2;0), для точки О(0;0) - не верно;

: (0;3) и (3;0), для точки О(0;0) ;

: (0;2) и (-2;0), для точки О(0;0) ;

: (0;-2) и (2;0), для точки О(0;0) .

                                          (2)     y

                                      (1)                    (3)

                                                        В

                                             А                              (4)

                                                                  С

                                                          D

                                               0                                               х

 

 

Множеством решений заданной системы  неравенств является четырехугольник ABCD. Найдем координаты его вершин.

Поскольку точка А является точкой пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты найдем, решая систему уравнений, соответствующих этим прямым:

. Откуда А(0;2).

Координаты точки В найдем, решая систему уравнений

. В(0,5;2,5).

Координаты вершины С найдем, решая систему уравнений

. С(2 ,5;0,5).

И координаты точки D найдем, решая систему уравнений

. D(2;0).

Представления для ребер полученной области ABCD таковы:

АВ:  х-у+2=0, ;

ВС:  3х+3у-9=0, ;

CD:  x-y-2=0, ;

AD: 2х+2у-4=0, .

 

4. Найти точку , симметричную точке М относительно прямой .

М(5; 8; -1),      

.

 

          

                         М

                               

                            A                               

   L                                                  

                           М’

 

Этапы решения задачи:

1. Запишем уравнение плоскости  , проходящей через прямую MM’, перпендикулярно прямой   l.

2.Найдем координаты точки А, как точки пересечения прямой MM’и плоскости .

3. Вычислим координаты точки M’, используя формулы деления отрезка пополам.

Этап 1. Для составления уравнения плоскости воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.

В качестве точки, принадлежащей плоскости  возьмем точку M(5;8;-1), а в качестве нормального вектора возьмем направляющий вектор прямой   l - . Тогда получаем:

2(x-4)-1(y-9)-3(z+2)=0  или 2x-y-3z-5=0 – уравнение плоскости .

Этап 2. Координаты точки А найдем, решая систему уравнений:

   

Подставляя первые три уравнения в последнее, получаем:

2(2t+4)-(-t+9)-3(-3t-2)-5=0,

4t+8+t-9+9t+6-5=0,

14t=0, t=0.

Тогда x=4, y=9, z=-2. Таким образом, А(4;9;-2).

Этап 3. Найдем координаты  M’

, откуда  .

.

Таким образом, Q(3;10;-3).

 

5. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления.

Задача 1. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) методом Крамера; 2)методом Гаусса;

3) средствами матричного  исчисления.     .

        ,         

произведем элементарные преобразования над расширенной матрицей ~ ~ ~ ~

~ ~ .

Таким образом, , значит,  система совместна.

1) Метод Крамера:

,

,

,

.

В результате, по формулам Крамера  имеем:

, , .

Таким образом, решением системы является .

2) Метод Гаусса:

Суть метода – привести расширенную  матрицу системы путем элементарных преобразований к ступенчатому или, другими словами, треугольному виду. Заметим, что эти преобразования уже были выполнены при доказательстве совместности системы линейных уравнений:

~ .

Далее, запишем «преобразованную»  систему линейных уравнений, коэффициентами которой являются элементы полученной треугольной матрицы:

Решая полученную систему, учитывая последнее уравнение, из второго уравнения  найдем :      ,

                                        ;

из третьего уравнения  :   ,

                                               .

Таким образом, решение системы  .

 

6. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через .

              

Первое преобразование в матричной  форме имеет вид: , где , , .

Второе преобразование в матричной форме имеет вид , где

, , .

Тогда , где С=ВА.

Вычислим матрицу С:

С=ВА= = =

Значит, = ,

откуда 

 

7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.

8. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить эту кривую.

 

Получили уравнение  параболы, а=-1; в=-4; с=3.

Т.к. а<0, то ветви вниз.

Вершина А (х;у), где ;

                                          ;

Итак, А (-2;1); ось симметрии  проходит через точку А параллельно  оси оу. При х=0, у=-3.При у=0:

; ;