Конус. Осьовий переріз конуса

Конус. Осьовий переріз  конуса. Перерізи конуса площинами. Зрізаний конус. Уписані та описані піраміди і конуси

Конус – це тіло, що складається з круга, точки, що не лежить на площині круга, та відрізків, що сполучають дану точку з точками круга.

Основою конуса є круг, вершиною конуса є точка, що не лежить у площі круга, твірними конуса є відрізки, що сполучають вершину конуса з точками кола основи.

Прямим є конус, у якого пряма, що сполучає вершину  конуса з центром його основи, перпендикулярна  до площини основи. Висотою конуса є перпендикуляр, опущений з вершини на площу основи.

Віссю прямого конуса є пряма, що містить його висоту.

Площина, паралельна основі прямого конуса, перетинає  конус по кругу, а бічну поверхню по колу з центром на осі конуса.

Якщо січна площина проходить через вісь конуса, то його переріз – це рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює діаметру основи конуса, а бічні сторони є твірними конуса. Такий переріз називається осьовим.

Конус, осьовий переріз  якого є рівностороннім трикутником, називається рівностороннім конусом. Якщо січна площина проходить через вершину конуса під кутом до площини основи, то його переріз – це рівнобедрений трикутник, основа якого є хордою основи конуса, а бічні сторони – твірними конуса.

Якщо січна площина проходить паралельно основі конуса, то перерізом є круг з центром на осі конуса. Така січна площина розтинає конус на дві частини – конус і зрізаний конус. Круги, що лежать у паралельних площинах цього конуса, – його основи; відрізок, що з’єднує їх центри, - це висота зрізаного конуса.

Пірамідою, вписаною в конус, називається така піраміда, основа якої є многокутник, вписаний у коло основи конуса, а вершиною є вершина конуса. Бічні ребра  піраміди, вписаної в конус, є твірними конуса.

Дотичною площиною до конуса називається площина, що проходить через твірну конуса і перпендикулярна площині осьового перерізу, яка містить цю твірну.

Пірамідою, описаною навколо конуса, називається піраміда, основою якою є многокутник, описаний навколо основи конуса, а вершина співпадає з вершиною конуса.

Площини бічних граней описаної піраміди є дотичними площинами  до конуса.

Це цікаво. Якщо в  геометрії для зображення фігур  використовують паралельне проектування, то в живописі, архітектурі, фотографії використовують центральне проектування.

Наприклад, у просторі зафіксовано деяку точку О (центр проектування) і площину α, що не проходить через цю точку. Через точку простору і центр проектування проведено пряму, яка перетинає задану площину в точці, яку називають центральною проекцією точки на площину. Центральне проектування не зберігає паралельність. Зображення просторових фігур на площині за допомогою центрального проектування називається перспективою. Теорією перспективи займались художники Леонардо да Вінчі та Альбрехт Дюрер. 
 
 

Переріз конуса площинами

Переріз конуса площиною, що проходить через  його вершину, представляє собою  рівнобедрений трикутник, у якого  бокові сторони є твірними конуса (рис. 41). Зокрема, рівнобедреним трикутником  є осьовий переріз конуса. Це переріз, що проходить через вісь конуса (рис. 42).

Теорема 2.2. Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус  по колу, а бокову поверхню —  по окружності із центром на осі конуса.

Доведення. Нехай  — площина, що паралельна площини основи конуса й перетинає конус (рис. 43). Перетворення гомотетії відносно вершини конуса, що сполучає площина  із площиною основи, сполучає переріз конуса площиною  з основою конуса. Отже, переріз конуса площиною є коло, а переріз бокової поверхні — окружність із центром на осі конуса. Теорема доведена.

Площина, що паралельна основі конуса й перетинає  конус, відтинає від нього менший конус. Частина, що залишилася, називається усіченим конусом рис. 44).