Линии второго порядка и другие замечательные кривые

Пусть заданы:

а) функция f(x)=f(x₁,y₂) двух переменных

б) множество допустимых решений 

Требуется найти такую  точку x’ из множества допустимых решений, которой соответствует минимальное значение функции  f(x) на этом множестве:

Аналогично формулируется  задача поиска максимума. Задача поиска минимума и максимума называется задачей поиска экстремума. Множество допустимых решений М задается условиями (ограничениями) на x, как правило, уравнениями или неравенствами. Вспомним, что линией уровня функции f(x)=f(x₁,x₂) называется геометрическое место точек плоскости, в которых функция принимает постоянное значение, т.е. f(x₁,x₂)=const.

В основе графического метода решения задачи поиска условного  экстремума лежит следующее соображение. Если линия уровня f(x)=const имеете множеством допустимых решений M хотя бы одну общую точку, то это значение постоянной (const) является допустимым, так как функция достигает его на множестве M. Если же линия уровня f(x)=const не имеет общих точек с множеством M, то это значение постоянной (const) является недопустимым, поскольку функция не достигает его на множестве M.

 

Алгоритм  графического решения задачи поиска условного экстремума:

1. Построить на координатной плоскости R² множество допустимых решений M

2. Построить семейство линий уровня f(x)=const

3. По линиям уровня определить все допустимые на множестве M значения функции:  

4. Для наименьшего значения   найти координаты общих точек линии уровня   и множества допустимых решений M. В результате получим точки условного минимума функции. Для наибольшего значения   аналогичным образом найти точки условного максимума функции.

 

 

Пример:                        

 

 

Решается задача поиска условного экстремума с ограничением типа равенств:

1. Строим множество M допустимых решений — прямую x₁+x₂-1=0 (см. рис.4.1).

2. Линии уровня  представляют собой семейство концентрических окружностей (при const>0). При const>1/2 окружность пересекает прямую x₁+x₂-1=0, при const=1/2  — касается этой прямой в точке A(1/2;1/2), при 0<const<1/2 — не пересекает прямую.

3. Из пункта 2 следует,  что допустимые значения функции определяются неравенством .

4. Наименьшее значение  на множестве М, равное 1/2, функция достигает в точке А(1/2;1/2). Наибольшего значения на множестве М функция не достигает.

 

Рисунок 4.1

 

5.ДРУГИЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

 

 

 

Лемниската

 

Лемниска́та (от лат. lemniscatus — «украшенный лентами») — плоская алгебраическая кривая порядка 2n, у которой произведение расстояний от каждой точки до n заданных точек постоянно.

 

Уравнение кривой (в прямоугольных декартовых координатах):

1.Лемниската Бута - плоская алгебраическая кривая четвёртого порядка:

Рисунок 5.1

 

2.Лемниската Бернулли - геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними:

 

Рисунок 5.2

 

3.Лемниската Жероно - плоская кривая, удовлетворяющая уравнению:

 

Рисунок 5.3

 

 

Циклоида

 

Цикло́ида (от греч.— круглый) — определяется, как траектория фиксированной точки, производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой. 

Рисунок 5.4

 

Свойства:

1.Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом

2.Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.

3.Длина арки циклоиды  равна 8r.

4.Площадь под каждой  аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга.

5.Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды

 

Уравнения кривой:

1.Циклоида описывается  параметрически :

 

2.Уравнение в декартовых координатах:

 

 

Кардиоида

 

Кардио́ида (греч. — сердце/вид) — плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

 

Рисунок 5.5

 

Свойства:

1.Кардиоида — алгебраическая кривая четвёртого порядка.

2.Кардиоида имеет одну  точку, в которой кривая линия  разделяется на две (или более)  ветви, имеющие в этой точке  одинаковый направляющий вектор. То есть, ветви в данной точке  имеют общую касательную, и движение вдоль них из данной точки изначально происходит в одном и том же направлении.

3.Длина дуги одного витка кардиоиды, заданной формулой:

равна: .

4.Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, заданной формулой: , равна: .

 

Уравнения кривой:

Пусть a - радиус окружностей, начало координат находится в конечной точке горизонтального диаметра неподвижной окружности. Тогда уравнения кардиоиды можно записать в следующих формах:

1.В прямоугольных координатах:

2.Параметрическая запись:

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

 

1. Бобылева Л. В., Брюхина Л. С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Исследование кривых и поверхностей второго порядка: Учебно-методическое пособие  — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003.
2. Копылова Т. В. Аналитическая геометрия. — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1997
3. Математический форум MathHelpPlanet: www.mathhelpplanet.com