Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка

§ 1. Понятие поверхности  второго порядка.

Поверхность второго  порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a₁₁х² + а₂₂у² + a₃₃z²+ 2a₁₂xy + 2a₂₃уz + 2a₁₃xz + 2а₁₄ x + 2а₂₄у+2а₃₄z +а₄₄  = 0  (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁ , а₂₂ , a₃₃ , a₁₂ , a_{23 ,} a₁₃ отличен от нуля.

Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка.

Очевидно, поверхность  второго порядка, рассматриваемая  как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной  системы координат перейти к  другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.

 
1. Инварианты уравнения  поверхности второго  порядка.

Справедливо следующее  утверждение.

являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка  относительно преобразований декартовой системы координат.

Доказательство  этого утверждения приведено  в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.

§ 2. Классификация поверхностей второго порядка

1. Классификация  центральных поверхностей. Пусть  S — центральная поверхность второго  порядка. Перенесем начало координат  в центр этой поверхности, а  затем произведем стандартное  упрощение уравнения этой поверхности.  В результате указанных операций  уравнение поверхности примет  вид

a₁₁х² + а₂₂у² + a₃₃z² + а₄₄ = 0         (2)

Так как инвариант I₃ для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a₁₁ • а₂₂ • a₃₃ , то коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ удовлетворяют условию :

 
Возможны следующие случаи :

1. Коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃  одного знака, а коэффициент а₄₄ отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.

Если коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ , а₄₄ одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.

Если знак коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ противоположен знаку коэффициента а₄₄ , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение  эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа

 

положительны. Обозначим  эти числа соответственно а², b², с². После несложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:

Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллипсоида.

Если эллипсоид  задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями.

2. Из четырех  коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ , а₄₄ два одного знака, а два других—противоположного. В этом случае поверхность S называется однополостным гиперболоидом.

Обычно уравнение  однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ > 0, а₂₂ > 0, a₃₃ < 0, а₄₄ < 0. Тогда числа

 

положительны. Обозначим  эти числа соответственно а², b², с². После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (4) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Если однополостный  гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.

3. Знак одного  из первых трех коэффициентов  a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ , а₄₄ противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение  двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ < 0, а₂₂ < 0, a₃₃ > 0, а₄₄ < 0. Тогда :

Обозначим эти  числа соответственно через a², b², с². Поcли несложных преобразований уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного  гиперболоида.

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.

4. Коэффициент  а₄₄ равен нулю. В этом случае поверхность S называется конусом второго порядка.

Если коэффициенты a₁₁ , а₂₂ , a₃₃  одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а₄₄ = 0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты a₁₁ , а₂₂ , a₃₃ имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.

Обычно уравнение  вещественного конуса второго порядка  записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a₁₁ > o, а₂₂ > 0, a₃₃ < 0. Обозначим

соответственно  через а², b², с². Тогда уравнение (2) можно записать в виде

Уравнение (6) называется каноническим уравнением вещественного  конуса второго порядка.

2. Классификация нецентральных  поверхностей второго  порядка.

Пусть S — нецентральная  поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариант I₃ равен нулю. Произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид

a´₁₁х´² + а´₂₂у´² + a´₃₃z´² + 2а´₁₄ x´ + 2а´₂₄у´+2а´₃₄z´ +а´₄₄  = 0              (7)

для системы  координат Ox´y´z´

Так как инвариант I₃ = 0 и его значение, вычисленное для уравнения (7) , равно

a´₁₁ • а´₂₂ • a´₃₃ , то один или два из коэффициентов a´₁₁ , а´₂₂ , a´₃₃  равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.

 
1. Один из коэффициентов a´₁₁ , а´₂₂ , a´₃₃   равен нулю. Ради определенности будем считать, что a´₃₃ = 0 (если равен нулю какой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у', z' к новым координатам х, у, z по формулам

Подставляя х', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем

a´₁₁  на  a₁₁ , а´₂₂  на а₂₂ , а´₃₄ на p и  а´₄₄ на q , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Oxyz :

a₁₁х² + а₂₂у² + 2pz + q = 0                   (9)

 
1) Пусть р = 0, q = 0. Поверхность S распадается на пару плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a₁₁ и а₂₂  одинаковы, и вещественными, если знаки a₁₁ и а₂₂ различны.

2) Пусть р = 0, q ≠ 0. Уравнение (9) принимает вид

a₁₁х² + а₂₂у² + q = 0                   (10)

Известно, что  уравнение (10) является уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси  Оz. При этом если a₁₁ , а₂₂ , q имеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. цилиндр будет мнимым. Если же среди коэффициентов a₁₁ , а₂₂ , q имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет вещественным. Отметим, что в случае, когда a₁₁ и а₂₂  имеют  одинаковые знаки, a q — противоположный, то величины положительны.

 

Обозначая их соответственно через а² и b², мы приведем уравнение (10) к виду

Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический  цилиндр. В случае, a₁₁ и а₂₂ имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр. Легко убедиться, что уравнение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду

3) Пусть р≠0. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами

(0, 0,         ).

При этом оставим  старые обозначения координат х, у, z. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверхности S в новой  системе координат, достаточно заменить в уравнении (9)

 

Получим следующее  уравнение:

a₁₁х² + а₂₂у² + 2pz = 0             (13)

Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды. Причем если a₁₁ и а₂₂ имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим. Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:

Уравнение (14) легко  получается из (13). Если a₁₁ и а₂₂ имеют разные знаки, то параболоид называется гиперболическим. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид

Это уравнение  также легко может быть получено из (13).

Ä  2°. Два из коэффициентов a´₁₁ , а´₂₂ , a´₃₃  равны нулю. Ради определенности будем считать, что  a´₁₁ = 0  и  а´₂₂ = 0 Перейдем от х,', у', z' к. новым координатам х, у, z по формулам :

Подставляя х', у' и z' , найденные из (16) в левую  часть (7) и заменяя затем a´₃₃  на a_{33  ,}  a´₁₄   на р , a´₂₄  на  q и a´₄₄на r , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Охуz :

a₃₃ z² + 2px + 2qy + r = 0        (17)

1) Пусть р=0, q=0. Поверхность S распадается на пару параллельных плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a₃₃ и r одинаковы, и вещественными, если знаки a₃₃ и r различны, причем при r = 0 эти плоскости сливаются в одну.

2) Хотя бы  один из коэффициентов р или q отличен от нуля. В этом случае повернем систему координат вокруг оси Oz так, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх+2qy+r=0. Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначения х, у и z для новых координат точек, уравнение (17) примет вид

a₃₃ z² + 2q´y = 0                (19)

которое является уравнением параболического цилиндра с образующими, параллельными новой  оси Ох.

§ 3. Исследование формы  поверхностей второго  порядка по их каноническим уравнениям

1. Эллипсоид.

Из уравнения (3) вытекает, что координатные плоскости  являются плоскостями симметрии  эллипсоида, а начало координат—центром симметрии. Числа а, b, с называются полуосями эллипсоида и представляют собой длины отрезков, от начала координат до точек пересечения эллипсоида с осями координат. Чтобы более наглядно представить себе форму эллипсоида, выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо из координатных плоскостей.

Ради определенности рассмотрим линии L_h пересечения эллипсоида с плоскостями

z = h                              (20)