Правильные многогранники

Правильные  многогранники

 

Правильный многогранник—  это выпуклый многогранник, состоящий  из одинаковых правильных многоугольников  и обладающий пространственной симметрией.

Многогранник  называется правильным, если:

 

• он выпуклый;
• все его грани являются равными правильными многоугольниками;
• в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

Виды  правильных многогранников:

 

• Тетраэдр
• Гексаэдр или куб
• Октаэдр
• Икосаэдр
• Додекаэдр

 

 

Тераэдр

 

Поверхность тетраэдра  образована четырьмя равносторонними  треугольниками, а каждая его вершина  я вляется вершиной трех треугольников.

Гексаэдр  или куб

 

Поверхность гексаэдра  составлена шестью квадратами. Каждая вершина куба является вершиной трех равных квадратов.

Октаэдр

 

Поверхность состоит  из восьми равносторонних треугольников, а каждая его вершина является вершиной трех треугольников.

 

Икосаэдр

 

Поверхность икосаэдра  составлена из двадцати равных равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра  является вершиной  пяти равносторонних треугольников.

 

Додекаэдр

 

      Перхность додекаэдра составлена из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников.

«Платоновы  тела»  
Платон сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику.

Воздух - Октаэдр  

Огонь - Тетраэдр

Вода - Икосаэдр  

Земля-Куб

Вселенная- Додекаэдр

Додекаэдр 
(от греческого «Додека» означает двенадцать, «хедра» - означает грань )

 

Тип	Правильный  многогранник
Грань	Правильный  пятиугольник
Граней	12
Ребер	30
Вершин	20
Граней  при вершине	3
Длина ребра	а
Сумма плоских углов при каждой вершине	324°

Основные  формулы:

 

Радиус  описанной сферы додекаэдра:

 

Радиус  вписанной сферы додекаэдра:

Площадь поверхности додекаэдра:

Объем додекаэдра:

Звёздчатые  формы додекаэдра

 

• малый звёздчатый додекаэдр
• большой додекаэдр
• большой звёздчатый додекаэд

 

Малый звёздчатый додекаэдр

Большой додекаэдр

Большой звёздчатый додекаэдр 

Элементы  симметрии додекаэдра:

 

• Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.

 

•    Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.