Теорема Пифагора

ШАҒАЛАЛЫ  ОРТА МЕКТЕБІ

 

 

 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

(РЕФЕРАТ)

 

Выполнила:  

уч-ца 8 класса   

Меркер Христина 

 

2013 ЖЫЛ

 

Прежде чем приступить к возведению дворца вселенной, сколько нужно еще добыть материала из рудников опыта!

Гельвеций К.

На протяжении многих лет людей интересовал вопрос о теореме Пифагора и о различных способах её доказательства. Причина такой популярности теоремы: это простота, красота и широкая значимость. В современных школьных учебниках рассматриваются традиционные доказательства теоремы Пифагора. Это - алгебраическое доказательство, основанное на площади, применяется в учебнике «Геометрия 7-9»,Л. С. Атанасян, доказательство Евклида рассматривается в учебнике «Геометрия: Учебник для 6-9 классов средней школы», А.П.Киселёв. Постепенно, появлялись новые способы доказательства теорем.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.

Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота - красота - значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой.

Биография Пифагора

Пифагор родился на острове Самос, одном из самых цветущих островов Ионии, в семье богатого ювелира. Ещё до рождения он был посвящен своими родителями свету Аполлона. Он был очень красив и с детства отличался разумом и справедливостью. С юных лет Пифагор стремился проникнуть в тайны Вечной Природы, постичь смысл Бытия. Знания, полученные им в храмах Греции, не давали ответов на все волнующие его вопросы, и он отправился в поисках мудрости в Египет. В течение 22 лет он проходил обучение в храмах Мемфиса и получил посвящение высшей степени. Здесь же он глубоко изучил математику, “науку чисел или всемирных принципов”, из которой впоследствии сделал центр своей системы. Из Мемфиса, по приказу вторгшегося в Египет Камбиза, Пифагор вместе с египетскими жрецами попадает в Вавилон, где проводит еще 12 лет. Здесь он имеет возможность изучить многие религии и культы, проникнуть в мистерии древней магии наследников Зороастра. Приблизительно в 530 году Пифагор, наконец, возвратился в Грецию и вскоре переселился в Южную Италию, в г. Кротон. В Кротоне он основал пифагорейский союз, который был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Школа Пифагора дала Греции целую плеяду талантливых философов, физиков и математиков. С их именем связаны в математике систематическое введение доказательств в геометрию, рассмотрение ее как абстрактной науки, создание учения о подобии, доказательство теоремы, носящей имя Пифагора, построение некоторых правильных многоугольников и многогранников, а также учение о четных и нечетных, простых и составных, о фигурных и совершенных числах, арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних.

История открытия

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны Прокл утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду.

Я же начну исторический обзор с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3,4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4». Также теорема Пифагора была обнаружена в древнекитайском трактате «Чжоу-би суань цзинь», время создания которого точно не известно, но где утверждается, что в XV веке до н.э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а в XVI веке до н.э. – и общий вид теоремы.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3+4=5 было известно уже египтянам еще около 2300 года до н.э. во времена царя Аменемхета I. По мнению Кантора, гарпедонапты (люди, натягивающие веревки) строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3,4 и 5.

Несколько больше о теореме Пифагора известно у вавилонян. В одном тексте, относимо ко времени Хаммурапи, т.е. к 2000 году до н.э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.

Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких как Фачес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку».

Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Но не смотря на это имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется.

Доказательства теоремы

1Простейшее

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах».

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников (рис.1), чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для Ù АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

2Древнекитайское

На (рис.2, а) помещен чертеж из сохранившихся математико-астрономических сочинений, который доказывает теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать не сложно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a и b и гипотенузой c уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной c, построенный на гипотенузе (рис.2, б).

 

Если квадрат со стороной c вырезать и оставшиеся четыре затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис.2, в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна c², а с другой - a²+b², т.е. c²=a²+b². Теорема доказана. Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которое мы видим на древнекитайском чертеже (рис.2, а), не используется. По-видимому, древнекитайские математики имели другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной c два заштрихованных треугольника (рис.2, б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис.2, г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами a и b, т.е. c²=a²+b².

 

3 Древнеиндийское

     

Математики древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XVII века Бхаскары помещен чертеж (рис.3, а) с характерным для индийских доказательств словом «смотри!». Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат c² перекладывается в «кресло невесты» a²-b² (рис.3, б) Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (XVII-V век до н.э.)

Пифагоровы тройки

Пифагоровы тройки – это наборы из трёх натуральных чисел (x, y и z), из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа (x² + y² = z²). В школьной программе пифагоровы тройки не изучаются, появляясь лишь как любопытный частный случай при рассмотрении прямоугольных треугольников. Между тем, пифагоровы тройки являются объектом теории чисел. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника, значения которых очень велики.

Поскольку уравнение x² + y² = z² однородно, при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть x ,y, z — взаимно простые числа. Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (32 + 42 = 52).

Некоторые Пифагоровы тройки: 

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Пифагоровы тройки имеют важное значение в геометрии. Несмотря на то, что в школе на изучение Пифагоровых троек не отводится много времени, в настоящее время знание их необходимо при решении многих математических задач.

VІІІ Заключение

В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. И несущественно то, что она была известна за много веков до Пифагора, важно то, что Пифагор выделил её, дополнив собственными исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Теорема применяется в геометрии на каждом шагу. Из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Всего известно около 500 различных доказательств теоремы Пифагора. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых и новых поколений. Несмотря на то что, суть теоремы проста и изящна, но было бы ошибкой думать, что в плане её содержания не осталось места для каких-то новых исследований. Результатом одного из таких исследований являются Пифагоровы тройки - наборы из трёх натуральных чисел, из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника (первый, египетский со сторонами 3, 4 и 5 всем известен), значения которых очень велики. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.

К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к теореме Пифагора.