Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Формулировки

Теорема Пифагора: Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты (a и b), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (c).

Геометрическая  формулировка:

Изначально теорема  была сформулирована следующим образом:

Алгебраическая  формулировка:

То есть, обозначив  длину гипотенузы треугольника через  c, а длины катетов через a и b:

a² + b² = c²

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует  понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная  теорема Пифагора:

 
 

Доказательства

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы ^[1]. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Данный факт даже нашёл отражение в художественной литературе: в повести «Приключения Электроника» Евгения Велтистова главный  герой на школьном уроке математики приводит у доски 25 различных доказательств  теоремы Пифагора, повергнув в  изумление учителя и всех одноклассников.

Разумеется, концептуально  все их можно разбить на малое  число классов. Самые известные  из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например с помощью  дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения

получаем

Что эквивалентно

Сложив, получаем

или

, что и требовалось доказать

Доказательства  методом площадей

Ниже приведённые  доказательства, несмотря на их кажущуюся  простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство  через равнодополняемость

Рис.1

1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке 1.
2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.

Что и требовалось  доказать.

Доказательства  через равносоставленность

Элегантное доказательство при помощи перестановки

Пример одного из таких доказательств указан на чертеже справа, где квадрат, построенный  на гипотенузе, перестановкой преобразуется  в два квадрата, построенных на катетах.

Доказательство  Евклида

Чертеж к доказательству Евклида

Иллюстрация к  доказательству Евклида

Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника — BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.

Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна  площади прямоугольника AHJK Для этого  воспользуемся вспомогательным  наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.

Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также  равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, — это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно: треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно — AB=AK, AD=AC — равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата — 90°).

Рассуждение о  равенстве площадей квадрата BCFG и  прямоугольника BHJI совершенно аналогично.

Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается  из площадей квадратов, построенных  на катетах. Идея данного доказательства дополнительно проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше. 
 

Доказательство Леонардо да Винчи

Доказательство  Леонардо да Винчи

Главные элементы доказательства — симметрия и движение.

Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок  CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению).

Пользуясь поворотом  на 90 градусов против часовой стрелки  вокруг точки A, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и DABG.

Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов (построенных  на катетах) и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади большого квадрата (построенного на гипотенузе) плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.