На  вершине треугольника стоит 1. Треугольник  можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей  параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей.

       Треугольные числа в самом  обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две - итого три - к двум можно приладить еще три - итого шесть. Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66..., что и показывает вторая зеленая линия. Этот замечательный ряд, каждый член которого равен сумме натурального ряда чисел (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), содержит также множество знакомцев, хорошо известных любителям математики: 6 и 28 - совершенные числа, 36 - квадратное число, 8 и 21 - числа Фибоначчи.

     Следующая зеленая линия покажет нам  тетраэдральные числа - один шар мы можем положить на три - итого четыре, под три подложим шесть - итого десять, и так далее.

     А следующая зеленая линия (1, 5, 15, 35,...) продемонстрирует попытку выкладывания гипертетраэдра в четырехмерном пространстве - один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти... В нашем мире и нашем измерении  это невозможно, возможно только в четырехмерном, виртуальном. И тем более пятимерный тетраэдр, о котором свидетельствует следующая зеленая линия, он может существовать только в рассуждениях топологов.

     А о чем же говорит нам самая  верхняя зеленая линия, на которой  расположились числа натурального ряда? Это тоже треугольные числа, но одномерные, показывающие, сколько шаров можно выложить вдоль линии - сколько есть, столько и выложите. Если уж идти до конца, то самый верхний ряд из единиц - это тоже треугольные числа в нульмерном пространстве - сколько бы шаров мы не взяли - больше одного расположить не сможем, ибо просто негде - нет ни длины, ни ширины, ни высоты.

     А вот еще два  интересных свойства треугольника Паскаля. Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого (слева для правой диагонали, для левой диагонали будет справа, а вообще - ближе к середине треугольника). Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 9. "Спустившись" по диагонали до числа 9, мы увидим слева снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму. Чему равна сумма первых восьми треугольных чисел? Отыскиваем восьмое число на второй диагонали и сдвигаемся вниз и влево. Ответ: 120. Но, кстати, 120 - тетраэдральное число. Следовательно, взяв все шары, из которых сложены 8 первых треугольников, мы могли бы сложить тетраэдр.

     Суммы чисел, стоящих вдоль не столь  круто падающих диагоналей (на рисунке  отмечены красными линиями) образуют хорошо известную последовательность Фибоначчи.

3.Числа  Фибоначчи

     Числа Фибоначчи часто встречаются  в комбинаторных задачах. Рассмотрим ряд из n стульев. Сколькими способами можно рассадить на них мужчин и женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом? При n=1, 2, 3, 4, ... число способов соответственно равно 2, 3, 5, 8, ..., то есть совпадает с числами Фибоначчи. Паскаль, по-видимому, не знал, что числа Фибоначчи скрыты в его треугольнике. Это обстоятельство было обнаружено только в XIX веке. Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения (x+y)ⁿ по степеням x и y. Например, (x+y)²=x²+2xy+y² и (x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³. Коэффициенты разложения 1, 2, 2 стоят во второй строке, а 1, 3, 3, 1 - в третьей строке треугольника. Чтобы найти коэффициенты разложения (x+y)ⁿ, достаточно взглянуть на n- ую строку треугольника. Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его с комбинаторикой и теорией вероятности, превращая в удобное средство проведения вычислений.

       В общем случае, число, показывающее, сколькими способами можно выбрать  n элементов из множества, содержащего r различных элементов, стоит на пересечении n-ной диагонали и r-ой строки. Число возможных сочетаний из n элементов по m определяется формулой

     _{, где n!=1∙2∙3∙4∙....∙}n так называемый факториал числа n. А значения биномиальных коэффициентов определяются по формуле _{причем, они же и являются, как мы выяснили, строками треугольника Паскаля, связывая непостижимым образом этот  треугольник с комбинаторикой и разложением двучлена по степеням.}

4. Биномиальные коэффициенты

     Паскаль предложил очень простой способ вычисления биномиальных коэффициентов  с использованием специальной таблицы  чисел, называемой арифметическим квадратом  или треугольником Паскаля.

     Рассмотрим  так называемый прямоугольный Треугольник  Паскаля, представляющий собой следующую  таблицу чисел:

     

     Строки  треугольника Паскаля нумеруются сверху вниз. Биноминальные коэффициенты: 

                              _…

     образуют "нулевую" строку. Каждая n-я строка начинается с биноминального коэффициента  = 1 (n =0, 1, 2, 3, ... ). 

     Столбцы треугольника Паскаля нумеруются слева  направо; крайний левый столбец, состоящий из одного числа ( = 1), называется нулевым столбцом. Столбец с номером n включает следующие биномиальные коэффициенты:

     

     где 

     Треугольник Паскаля основывается на следующем  рекуррентном соотношении:

     Рассмотрим  Треугольник Паскаля, представленный в числовой форме.

              1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

             1 2 3 4 5 6 7 8 9

             1 3 6 10 15 21 28 36

             1 4 10 20 35 56 84

             1 5 15 35 70 126

             1 6 21 56 126

             1 7 28 84

             1 8 36

             1 9

             1

     1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 
 

     Биномиальные  коэффициенты и Треугольник Паскаля  широко используются в различных разделах математики. Знаменитый математик Якоб Бернулли писал: "Эта таблица имеет ряд чудесных свойств. Только что мы показали, что она составляет существо теории соединений, но те, кто тесно соприкасаются с геометрией, знают, что она хранит ряд фундаментальных секретов этой области математики".

5. Примеры

     

     

     Задача.

     Имеется сеть дорог. Из точки А выходят 2¹⁰⁰⁰ человек. Половина идет по направлению l, половина— по направлению т. Дойдя до первого перекрестка, каждая группа разделяется: половина идет по направлению l, половина — по направлению т. Такое же разделение происходит на каждом перекрестке. Сколько людей придет в каждый из перекрестков тысячного ряда) ?

     Решение.

     Заметим  прежде  всего, что мы пока не знаем, имеет ли задача решение, т. е. может ли движение людей происходить так, как требуется условием задачи. Ведь если на какой-то перекресток, на котором предстоит очередное деление людского потока пополам, придет нечетное число людей, то движение застопорится. Следовательно, чтобы задача имела решение, необходимо и достаточно, чтобы в каждый перекресток любого из первых тысячи рядов, от нулевого до девятьсот девяносто девятого, пришло четное число людей. Мы убедимся, что это так, решая задачу.

     Начнем  с того, что введем обозначения  для количеств людей, прошедших  через каждый перекресток нашей  сети дорог. Будем нумеровать перекрестки каждого ряда слева направо, начиная с нулевого; перекрестки n-го ряда, следовательно, будут нумероваться от 0-го до n-го. Число людей, прошедших через k-й перекресток n-го ряда, обозначим . Поскольку пока еще не известно, имеет ли задача решение, мы не можем быть уверены, что все числа существуют, т. е. что существует каждое из чисел   при любом п от 0 до 1000 и любом k от 0 до n. Некоторые из них, во всяком случае, существуют. Так, в силу введенных обозначений

                                                  = 2¹⁰⁰⁰             (5.1)

     Посмотрим теперь, как связаны между собой  числа (k= 0, 1, 2, ..., n)   и   Н^к_п.₊₁ (k = 0, 1, 2, …, п+ 1) при условии, что все они существуют. Изучая эту связь, мы сможем затем установить, что все числа при n≤ 1000 действительно существуют. Рассмотрим п-й и (n+l)-й ряды перекрестков и соединяющие их участки дорог; против каждого перекрестка поставим обозначение соответствующего числа людей (рис. 2).

     

     Рис. 2

     Количество  людей, вышедших из 0-го перекрестка  n-го ряда (т. е. ), разделится пополам и одна половина придет в 0-й перекресток (n+1)-го ряда; поэтому

                                              (5.2)

     Другая  половина от придет в 1-й перекресток (n+l)-гo ряда и там соединится с половиной людей, вышедших из 1-го перекрестка n-го ряда, т. е. с половиной от . Поэтому _.

     И вообще, количество людей, пришедших на k- ый перекресток (n+l)- гo ряда, слагается из половины количества людей, вышедших из   (k -1)-го перекрестка n-го ряда (это половина ряда ), и половины количества людей, вышедших из k- го перекрёстка n- го ряда (эта половина равна ). Таким образом, при 1≤ k ≤ n                   (5.3)

     Наконец, число людей, пришедших на (n+1)-й перекресток (n+1)-го ряда, равно половине числа людей, вышедших из n-го перекрестка n-го ряда:

                                 (5.4)

     Соотношения (5.1) — (5.4) позволяют установить, что задача действительно имеет решение. В самом деле, из равенств (5.2) — (5.4) вытекает, что если при каком-либо фиксированном n все числа n-го ряда: , …, —существуют и делятся на 2а, то числа (n+l)-гo ряда: , , …, — существуют и делятся на а. Поэтому, поскольку все числа 0-го ряда (а их всего одно — ) существуют и делятся на 2¹⁰⁰⁰ (в силу (5.1)), то все числа 1-го ряда

      

     существуют  и делятся на 2⁹⁹⁹; все числа 2-го ряда

     ,

     существуют  и делятся на 2⁹⁹⁸; ...; все числа 999- го ряда 

      

        существуют и делятса на 2; все числа 1000- го ряда  

     существуют (и делятса на 1).

     Соотношения (5.2) — (5.4) не только доказывают существование решения задачи, но и показывают, как из строчки чисел 

     получается  строка 

       Применяя последовательно эти соотношения, начиная с нулевой строки (т. е. используя соотношение (5.1)), мы в принципе можем вычислить значения для всех 501501 перекрестков, содержащихся в рядах до тысячного включительно, в частности, для всех перекрестков тысячного ряда, и тем самым решить задачу. Так, для первых рядов непосредственным вычислением находим:

      _{; ;}

      _{; ;}

      _{; ;}

       и т. д. 
 

Список  использованных источников

 

     1. Успенский В. А. Треугольник Паскаля. М.: Наука 1979

     2. Кузьмин О. В. Обобщённые пирамиды Паскаля и их приложения Н.: Наука, 2000.