Лекции по «Системы управления химико-технологическими процессами»

 

 

 

 

3.8 Определение устойчивости системы автоматического управления

 

3.8.1 Определение устойчивости по корням характеристического уравнения

 

Т.к. работа системы управления может  быть представлена в виде однородного  линейного выражения n-й степени переход характеристики можно рассматривать как частные решения данного уравнения. Решение дифференциального уравнения можно представить в виде

 

где   - постоянная интегрирования

      - корень характеристического уравнения

Присваивается отрицательные, положительные и нулевое значения. Рассмотрим поведение составляющей переходного процесса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 33

 

1   СУ -  нейтральная

2   СУ - неустойчивая

3    СУ – устойчивая

Вывод:

Для устойчивых систем автоматического  управления необходимо и достаточно чтобы все корни уравнения  стали < 0

 

3.8.2 Критерий устойчивости

Это математические методы позволяющие  определить устойчивость или работоспособность  систем не находя корней уравнения.

 

Критерий Гурвица

 

Основан на составлении матрицы, главная  диагональ которой записывается из коэффициентов характеристического  уравнения начинается с

Заполнение матрицы производят диагонали вверх по возрасрастанию индексов коэффициентов и вниз по убыванию свободного места заполненного нулями.

Отчёркивая одинаковое число строк  и столбцов выделяем дисп. определители Гурвица.

Для устойчивости систем управления необходимо и достаточно, чтобы коэффициент  и все дисп. определители Гурвица были положительные.

 

Критерий Михайлова

 

Данный критерий используется если корни характеристического уравнения  представлены в виде комплексной формулы.

Данный метод основан на изображении  годографа векторов комплексно-частотними функциями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 34

 

Для устойчивости системы управления необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора комплексно-частотной функции начинался на положительной полуоси, обходил в положительном направлении n квадрантов и нигде не обращается в 0 при изменении от 0 до

 

3.9 Временные характеристики систем управления

 

Временная характеристика – поведение системы при подаче на её вход типового апериодического воздействия.

Типовые апериодические воздействия  должны в полном объёме перекрывать  все временные и амплитудные значения входных величин.

1. Единичное ступенчатое  воздействие

 

 

 

 

 

 

Рисунок 35

 

Аналитическое значение для данной величины имеет вид:

 

Единичное ступенчатое воздействие  позволяет перекрыть все временные интервалы системы управления.

 

 

2. Единичный импульс – импульс, длительность которого равна нулю, величина , а площадь 1

 

 

 

 

 

 

Рисунок 36

 

 

Аналитичекое выражение

 

Единичный импульс позволяет перекрыть  все амплитудные значения входных  величин систем управления.

Если на вход системы управления подано единичное ступенчатое воздействие, то временная характеристика систем управления её переходной характеристикой и обозначается h(t)

Если на вход системы подан единичный  импульс ( - функция), то временная характеристика системы является весовой функцией и обозначается .

 

3.10 Математические модели автоматических регуляторов.

 

Автоматическим регулятором называется устройство, которое отображает определённый закон регулирования.

По виду выходных величин автоматические регуляторы подразделяются на регуляторы дискретного или прерывного действия и на регуляторы непрерывного действия.

Регуляторы дискретного действия – релейные или позиционные регуляторы (Пз - регулятор)

К регуляторам непрерывного действия относятся (И, П, ПИ, ПД, ПИД - регуляторы).

 

3.10.1 Позиционные регуляторы

 

Пз – регулятор – это устройство, в котором при достижении определённого  значения входной величины выходная величина изменяется скачком и принимает конечное число фиксированных значений. В теоретическом плане ПЗ – регуляторы можно представить как идеальные и реальные.

Рассмотрим график выходной величины для идеального Пз – регулятора

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 37

 

 

В зависимости от типа технологического процесса регуляторы данного типа могут классифицироваться как регуляторы типов «откр-закр» и «вкл-выкл».

Аналитическое выражение выходной величины идеального Пз – регулятора имеет вид

Для идеального Пз – регулятора графики  прямого и обратного хода совпадают. Рассмотрим график выходной величины реального Пз – регулятора

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 38

 

Величина  называется зоной нечувствительности и в пределах данной зоны выходная величина с равной вероятностью может принимать противоположные значения.

Параметром настройки данного  регулятора является входная величина, которая для однозначной работы данного регулятора должна находиться вне пределов зоны нечувствительности.

Больше верхнего предела для  условной единицы и ниже нижнего  предела для условного нуля.

Аналитическое выражение выходной величины имеет вид

 

3.10.2 Интегральный регулятор И – регулятор

 

Это регулятор, у которого изменение  выходной величины пропорционально  интегралу отклонения входной величины x от заданного значения.

Уравнение динамики данного регулятора:

- время интегрирования, которое  является параметром настройки  данного регулятора.

- время, в течении которого  выходная величина изменяется  на 1%  при отклонении входной величины на 1% от максимально возможного.

Переходная характеристика данного  регулятора записывается уравнением:

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 39

 

Время интегрирования можно определить графически рассматривая несколько переходных характеристик с учётом единичного ступенчатого воздействия

С увеличением времени интегрирования воздействие входной величины на выходную ослабевает

Для увеличения выходной величины и  регулирующей величины параметра настройки  необходимо уменьшать наоборот.

Кривая разгона реального регулятора имеет вид:

 

3.10.3 Пропорциональный регулятор

 

Это регулятор, у которого выходная величина y в пределах зоны регулирования пропорциональна изменению входной величины x. Уравнение динамики имеет вид

- коэффициент усиления

В основе пропорционального регулятора лежит усилительное динамическое звено.

Переходная характеристика данного  регулятора имеет вид.

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 40

 

Параметром настройки данного  регулятора является предел пропорциональности:

Пределом пропорциональности называется диапазон изменения входной величины выраженный в процентах от максимального, в пределах которого выходная величина изменяется от одного крайнего значения до другого.

Предел пропорциональности может  изменятся от единиц % до несколькох тысяч.

Рассмотрим семейство статических  характеристик для различных  значений параметров настройки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 41

 

При увеличении параметра настройки  воздействие входной величины на выходную ослабевает, и наоборот. Кривая разгона данного регулятора имеет вид.

 

 

 

 

Рисунок 42

 

 

 

3.10.4 Пропорционально интегральные регуляторы (ПИ)

Переходная характеристика данного  регулятора имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 43

 

Кривая разгона данного регулятора имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 44

 

 

В общем случае для увеличения выходной величины ПИ регулятора необходимо уменьшить  и время интегрирования и предел пропорциональности.

 

3.10.5 ПД – регулятор

 

 

Дифференциальная составляющая данного  регулятора в качестве отдельного регулятора не применяется, а используется для того, чтобы изменение выходной величины по времени опережало изменение входной.

Переходная характеристика имеет  вид:

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 45

 

 

 

 

 

кривая разгона:

 

 

 

 

 

 

Рисунок 46

 

 

 

3.10.6 ПИД – регулятор

 

 

 

Переходная характеристика

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 47

 

Кривая разгона:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 48

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.11 Качество переходных процессов

 

3.11.1 Качество регулирования

 

- заданное значение выходной  величины объекта управления

- установившееся значение выходной  величины объекта управления.

Виды ошибок

1 Статическая ошибка регулирования

Она постоянна по времени и для  различных регуляторов эта величина может быть также различна.

2 Динамическая ошибка регулирования 

3 Перерегулирование 

4 Время регулирования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 49

 

Временем регулирования называется время в течении которого достигается  заданная точность.

Если точность регулирования не задана, то временем регулирования  считается время в течении  которого выходная величина входит в 5% зону установившегося значения или выходная величина достигает 0,95  установившегося значения.

5 Интегральная квадратичная ошибка  регулирования

- площадь

3.11.2 Типовые переходные процессы (виды переходных процессов)

 

1 Граничный апериодический процесс с минимальным временем регулирования

Для него ; ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 50

 

2 Процесс с 20% регулированием

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 60

 

 

 

 

3. Процесс с минимальной квадратичной  площадью отклонения

 

 (перерегулирование допускается до 40%)

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 61

 

Выбор типа автоматического регулятора производится исходя из анализа соотношения

,

где  - время запаздывания (время задержки)

- постоянная времени объекта  управления

1) Если  , то выбирается регулятор прерывистого или дискретного действия т.е. ПЗ –регулятор

2) Если  выбирается регулятор непрерывного действия это (И, П, ПИ, ПД, ПИД)

3) Когда  выбирается многоконтурная система регулирования

 

4 Первичные преобразователи (датчики) и основные измерительные схемы.