Магический квадрат

 Глава 1. История магических квадратов 

     Магические  фигуры – геометрические фигуры, обладающие одним общим математическим свойством  – суммы по всем строкам, столбцам, диагоналям равны между собой. Существуют магические треугольники, квадраты и  кубы. Треугольники можно рассматривать  как учебное пособие для детей  младших классов. Квадраты же находят  свое применение в криптографии - хотя для развития навыков программирования подходят просто блестяще.

     Магический  квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления  императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная  черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1, а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1, б.

     

     Рис. 1

     Первый  магический квадрат с тремя клетками в основании был описан в арабском манускрипте конца восьмого века, где упоминался его автор –  греческий философ-неопифагореец  Аполлоний Тианский. Однако не он был  создателем этого древнейшего из всех магических квадратов. Аполлоний  лишь вновь открыл то, что было известно за много веков до него.

     В XI в. магические квадраты появились  в Индии, а затем в Японии, где  в XVI в. им была посвящена обширная литература. По-видимому, первое сочинение о  магических квадратах, дошедшее до наших  дней, было написано византийским грамматистом и лексикографом Мануэлем Мосхопулосом (примерно 1300 г). Он опубликовал многие построенные им Магические квадраты с разным числом клеток в основании.

     За  работой Мосхопулоса последовали  труды сотен математиков, в том  числе крупнейших ученых, основоположников современной науки (Гаусс, Эйлер, Ферма).

     В начале XVI в. магический квадрат появился в искусстве.

     Великий немецкий художник Альбрехт Дюрер выпустил в 1514 г. гравюру, названную им «Меланхолия» (рис. 2а)

     

     Рис. 2а

     На  её заднем плане помещен магический квадрат 4-го порядка, два средних числа его нижней строки (15 и 14) образуют дату создания гравюры.

     

     Рис. 2б

     С глубокой древности магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет.

     В конце XVII в. были опубликованы сочинения  о магических квадратах французских  математиков Арно, Озанама и Симона де Лялюбера.

     Сочинения академика Бернара Френикля де Бесси были впервые напечатаны в результате хлопот математика Лягира только в 1693 г, спустя 18 лет после смерти Френикля. Не будь Лягира, неизвестно, сколько еще лет лежали бы работы Френикля в архивах Королевской академии.

     В «Общей таблице магических квадратов  в четыре» Френикль привёл все 880 магических квадратов четвёртого порядка. Таблица занимает 43 страницы книги.

     В 1705 г. в Париже было издано сочинение уже упомянутого ранее Филиппа де Лягира «Новые начертания и соображения о магических квадратах с их демонстрацией. Начертания магических квадратов при четном числе клеток в основании». Эта работа особенно интересна тем, что в ней Лягир впервые рассмотрел и описал особый тип магического квадрата, который он назвал «панмагическим». В нем содержится наибольшее число равных сумм чисел. В дальнейшем квадраты этого типа называли, также, «дьявольскими», «сатанинскими», «чертовскими».

     Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором с константой совпадают также суммы чисел  по ломаным диагоналям в обоих направлениях.

     Ломаной диагональю называется диагональ, которая, дойдя до границы квадрата, продолжается параллельно первому отрезку  от противоположного края (на рисунке  такую диагональ образуют закрашенные  клетки). [1] 

     

     Рис.3

     Существует  всего три дьявольских квадрата 4-го порядка: 

     

     Современные математики называют подобные квадраты «совершенными».

     Но  есть еще один магический квадрат не менее интересный, чем дьявольский. Выдающийся американский масон, ученый, общественный деятель и дипломат Бенджамин Франклин составил квадрат 16-го порядка (см. рис. 4), который помимо наличия постоянной суммы 2056 во всех строках, столбцах и диагоналях имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4-го порядка и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили, будет одна и та же – 2056. 

     

     Рис. 4

     В 1917 г. на франко-германском фронте, унтер-офицер Франц Буль, занимаясь мародерством на поле боя, нашел в кармане убитого  солдата-индуса длинную полоску  плотной бумаги, которая была исписана квадратами, разделенными на клетки, заполненными арабской вязью. Он передал эту полоску  немецкому профессору, который занимался  магическими квадратами. Скорее всего, полоска содержала талисман, не спасший, однако, его обладателя от смерти.

     После перевода с арабского языка, выяснилось, что документ содержит магический квадрат 3-его порядка и полумагический квадрат 4-ого порядка. В квадрате 4-го порядка числа повторяются, и суммы диагоналей не совпадают с константой:

     

     Затем следовал список заклинаний, имён богов  и демонов, который профессор  просто оторвал и уничтожил.[2]

     Традиционной  сферой применения магических квадратов являются талисманы.

     К примеру, талисман Луны обладает определенными  свойствами: предохраняет от кораблекрушения  и болезней, делает человека любезным, способствует предотвращению дурного  намерения, а так же укрепляет  здоровье. Его гравируют на серебре  в день и час Луны, когда Солнце или Луна находится в первых десяти градусах Рака. Магический квадрат 9-ого  порядка вписывается в девятиугольник (9 - число Луны, см. Рис. 5) и окружается специальными символами.

     

     Рис. 5

     Однако, существуют и магические квадраты для стихий и знаков Зодиака.

     В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам  вспыхнул с новой силой. Их стали  исследовать с помощью методов  высшей алгебры и операционного  исчисления.

     Каждый  элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n² клеток и называется квадратом n-го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n² + 1)/2. Доказано, что n ≥ 3. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка – S = 34, 5-го порядка – S = 65.

     Две диагонали, проходящие через центр  квадрата, называются главными диагоналями. Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (такую диагональ образуют заштрихованные клетки на рис. 6). Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными. Таковы, например, клетки a и b на рис. 6. 

     

     Рис.6

     Правила построения магических квадратов делятся  на три категории в зависимости  от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному  числу или равен учетверенному  нечетному числу. Общий метод  построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные  схемы. Мы рассмотрим ниже только один метод - метод построения магических квадратов нечетного порядка.

     Магические  квадраты нечетного порядка можно  построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера. Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в  центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются  в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

     

     Рис. 7. МЕТОД ДЕ ЛА ЛУБЕРА.

     Таким образом, истоки возникновения магических квадратов теряются во времени. История магических квадратов неразрывно связана с развитием науки. Однако если в древние времена интерес к квадратам был больше эзотерический, то в нынешнее время сугубо практический. Использование алгоритмов заполнения магических квадратов позволяет решать некоторые проблемы криптографии. Также выяснено существование лишь частных алгоритмов заполнения магических квадратов. Общего алгоритма, подходящего под все виды магических квадратов не существует.

 

     Глава 2. Программная реализация проверки магических квадратов 

     Программирование – это процесс создания (разработки) программы, который может быть представлен последовательностью следующих шагов:

     1. Спецификация.

     2. Разработка алгоритма.

     3. Кодирование.

     4. Отладка.

     5. Тестирование.

     Спецификация

     Спецификация, определение требований к программе  — один из важнейших этапов, на котором  подробно описывается исходная информация, формулируются требования к результату, поведение программы в особых случаях (например, при вводе неверных данных), разрабатываются диалоговые окна, обеспечивающие взаимодействие пользователя и программы.

     На  этом этапе я определила последовательность этапов создания программы.

     1. Организация ввода матрицы.

     2. Вывод квадратной матрицы на экран.

     3.Проверка  квадратной матрицы на предмет,  является ли она магическим  квадратом.

     4.Вывод ответа.

     Разработка  алгоритма

     Как было сказано ранее, магический квадрат — это квадратная таблица, сторона которого состоит из n клеток, содержит n² клеток и называется квадратом n-го порядка. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата S. Доказано, что n ≥ 3.

     Например:

            2 7 6  15

            9 5 1  15

            4 3 8  15 

15  15 15 15  15

    Для проверки квадратной матрицы на предмет, является ли она магическим квадратом, нужно определить постоянную квадрата S. Для этого можно определить сумму любой строки, столбца или диагонали и взять получившийся результат, как эталон для сравнения остальных сумм.

    В своей работе в качестве постоянной квадрата я буду использовать сумму  чисел главной диагонали, каждый элемент которой в матрице  будет находиться под номером  а[i,i], где i<=n. Затем данное число нужно сравнить с суммой всех строк и столбцов. На последнем этапе постоянную квадрата нужно сравнить с суммой чисел побочной диагонали, каждый элемент которой находиться под номером а[i,n-i+1], где i<=n.

    Таким образом, алгоритм проверки имеет следующую  структуру:

1. Определение суммы главной диагонали в качестве постоянной квадрата.
2. Сравнение постоянной квадрата с суммой каждой строки.
3. Сравнение постоянной квадрата с суммой каждого столбца.
4. Сравнение постоянной квадрата с суммой побочной диагонали.