Основные теоретические сведения по задачам линейного программирования и теории двойственности

Канонической называется следующая форма записи ЗЛП:

Чтобы привести к виду равенства  ограничение вида

,

в левую часть неравенства  прибавляют дополнительную переменную:

.

Аналогично, чтобы привести к каноническому виду ограничение  вида

,

из левой части неравенства  вычитают дополнительную переменную:

.

Дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с  коэффициентами, равными 0:

.

Таким образом, задача может  быть записана в следующем каноническом виде:

 

Экономический смысл переменных y_i (i = 1, …, m) следующий: это остатки ресурсов каждого вида. Если при оптимальном решении какой-либо ресурс будет использован полностью, то ограничение исходной задачи  будет выполнено в виде равенства, а y_i = 0. Такое ограничение в отчетах Exсel называется связанным.

 

Двойственность в линейном программировании.

С каждой задачей  линейного программирования тесно  связана другая линейная задача, называемая двойственной. Первоначальная задача при этом называется исходной, или  прямой. Связь этих задач заключается, в частности, в том, что решение  одной из них может быть получено непосредственно из решения другой.

Рассмотрим двойственную задачу, связанную с рассматриваемой  нами задачей планирования производства продукции.

 

Исходная задача	Двойственная задача

 

Эта задача составляется по следующим правилам:

Поскольку исходная задача составляется на максимум, то двойственная — на минимум целевой функции.

В исходной задаче ограничения имеют знаки неравенств “£”,

 а в двойственной  — “³”.

Каждому ограничению  исходной задачи соответствует переменная двойственной задачи, а каждой переменной исходной задачи — ограничение двойственной задачи.

Матрица системы  ограничений двойственной задачи является транспонированной матрицей системы  ограничений исходной задачи.

Правые части  ограничений в двойственной задаче равны коэффициентам при переменных в целевой функции исходной задачи.

Коэффициенты  при переменных в целевой функции  двойственной задачи равны правым частям ограничений исходной задачи.

В двойственной задаче, как и в исходной, накладываются  ограничения на неотрицательности  переменных.

 

Экономический смысл двойственной задачи.

 Допустим, что  у предприятия есть возможность  реализации всех ресурсов некоторой  организации вместо того, чтобы  организовывать свое производство. Необходимо установить прикидочные  цены на ресурсы. Обозначим  эти цены как z₁, z₂, …, z_m. Они должны быть установлены исходя из несовпадающих интересов предприятия и покупающей организации.

Предприятие согласно продать ресурсы только по таким  ценам, при которых оно получит  за них выручку, не меньшую той, которую  могло бы получить, организовав собственное  производство.

В отчетах Excel, получаемых с помощью надстройки Поиск решения, оптимальное значение двойственной переменной z_i^* называется теневой ценой, или множителем Лагранжа. Отметим, что теневая цена не есть некоторая реальная цена на рынке. Это лишь оценка значимости ресурса, вытекающая из конкретных условий задачи.

 

1-я теорема двойственности.

Если существует единственное решение исходной задачи, то существует и единственное решение  двойственной задачи, причем значения целевых функций на оптимальных  решениях совпадают:

max F = min F_Д.

Эту теорему можно  интерпретировать так: предприятию  безразлично, производить ли продукцию  по оптимальному плану X^* и получить максимальную прибыль либо продать ресурсы по оптимальным ценам Z^* и получить такую же сумму. Для всех других (неоптимальных) планов X и Z прибыль от выпуска продукции всегда меньше внутренней стоимости затраченных ресурсов. Таким образом, F < F_Д, а величина F_Д – F характеризует производственные потери.

 

Следствие (теорема об оценках).

Двойственная  оценка z_i^* (теневая цена) показывает, как изменится целевая функция исходной задачи при изменении ресурса b_i на одну единицу:

D F = Db_iz_i^*.

Таким образом, по теневым ценам можно судить о  том, насколько целесообразно изыскивать резервы для увеличения количества i-го ресурса: если соответствующая теневая цена равна нулю, то увеличение количества этого ресурса никак не повлияет на рост прибыли. С другой стороны, чем больше теневая цена ресурса, тем больше увеличится прибыль при увеличении количества этого ресурса на одну единицу. Поэтому тот ресурс, который имеет большую теневую цену, считается более дефицитным.

Однако эта  теорема справедлива только тогда, когда при изменении количества ресурса b_i значения переменных z_i^* в оптимальном плане двойственной задачи остаются неизменными. В отчете Excel по устойчивости можно получить границы изменения b_i (Db^– и Db⁺), в пределах которых теневая цена есть коэффициент увеличения (уменьшения) целевой функции исходной задачи при изменении доступного количества ресурсов.

 

 

Понятие нормированной стоимости.

Ограничения двойственной задачи так же, как и исходной, можно привести к виду равенства:

Экономический смысл  дополнительных двойственных переменных v_j следующий: это производственные потери на одну единицу изделия j-го типа.

Если это ограничение  выполняется в виде равенства, то оценка затраченных ресурсов равна  прибыли и потерь нет. В этом случае v_j = 0.

Если же это  ограничение выполняется в виде строгого неравенства, то затраты на производство одной единицы продукции j-го типа больше прибыли, и следовательно производить этот вид продукции невыгодно. Разница между стоимостью ресурсов и прибылью представляет собой производственные потери:

.

В отчетах Excel оптимальное значение дополнительной двойственной переменной v_j^* называется нормированной, или редуцированной, стоимостью.

 

2-я теорема двойственности  (теорема о дополняющей нежесткости).

Оптимальные решения  исходной и двойственной задач связаны  соотношениями

z_i^* × y_i^* = 0;

v_j^* × x_j^* = 0.

 

Эта теорема означает, что между переменными исходной и двойственной задач существует взаимосвязь.

 

Рассмотрим связь y_i^* (остаток ресурса i-го вида) и z_i^*(теневую цену ресурса i-го вида).

Если y_i^* = 0, то i-й ресурс использован полностью. Следовательно, он ограничивает дальнейшее увеличение целевой функции, является дефицитным. При увеличении количества этого ресурса может быть произведено больше продукции, следовательно, возрастет прибыль. Соответствующая теневая цена z_i^* > 0.

Если же y_i^* > 0, то имеется остаток ресурса i-го вида, т. е. ресурс не дефицитен. Увеличение количества этого ресурса не вызовет увеличение прибыли. Соответствующая теневая цена z_i^* = 0.

Рассмотрим связь x_j^* (оптимальный объем производства изделий j-го типа) и v_j^* (производственные потери на одну единицу изделия j-го типа).

Если x_j^* > 0, т. е. j-е изделие вошло в оптимальный план производства, то соответствующие потери для этого изделия составляют0 : v_j^* = 0.

Если же x_j^* = 0, т. е. изделие не вошло в оптимальный план производства, то это произошло потому, что данный вид продукции убыточен, т. е. соответствующие потери v_j^* > 0.

Свойство нормированной  стоимости.

Нормированная стоимость v_j^* показывает, насколько уменьшится целевая функция при принудительном выпуске одной единицы продукции j-го типа.

Пусть, например, продукция k-го вида не вошла в оптимальный план производства, т. е. x_k^* = 0. Однако существует некоторое плановое задание, предписывающее выпуск этого вида продукции в количестве T_k единиц. Тогда при производстве этого невыгодного вида продукции на него будут оттянуты ресурсы, и выгодной продукции будет выпущено меньше. Целевая функция (общая прибыль) уменьшится, причем это уменьшение можно количественно измерить:

D F = T_k × v_k^*.

Следует отметить, что равенство  справедливо только в том случае, когда плановое задание T_k не нарушает номенклатуру остальных выпускаемых изделий, т. е., кроме “принудительно производимого” k-го изделия, ассортимент остальных выпускаемых “выгодных” изделий не изменится, а изменится только их количество. Определить предельную величину T_k, при которой равенство (22) справедливо, можно экспериментально.

Анализ устойчивости оптимального решения.

Основные исходные данные рассматриваемой задачи —  это запасы ресурсов (b_i, где i = 1, ..., m) и величина прибыли на одну единицу выпускаемой продукции (C_j, где j = 1, ..., n). Исследовать устойчивость — значит определить пределы изменения исходных данных, при которых не изменяется решение или же его структура. Отчет Excel по устойчивости дает допустимое увеличение и допустимое уменьшение по целевому коэффициенту C_j, при которых решение задачи, остается прежним. Кроме того, в отчете по устойчивости приведены пределы увеличения и уменьшения правых частей ограничений b_i, при которых прежней остается структура решения. Под неизменностью структуры решения понимается следующее: те ресурсы, которые были дефицитными в исходном решении, остаются дефицитными и в новом оптимальном решении, хотя само решение (количество выпускаемых изделий) и значение целевой функции могут изменяться.

 

2. Постановка задачи

 

В распоряжении фабрики имеется  определенное количество ресурсов: рабочая  сила (80 чел./дней), сырье (480 кг) и оборудование (130 станко/час). Фабрика может выпускать  ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида, и доходах, получаемых предприятием от одного ковра, приведена в таблице. Требуется  найти такой план выпуска продукции, при котором общая стоимость  продукции будет максимальной.

Ресурсы	Нормы расхода ресурсов на единицу  изделия				Наличие ресурсов
	Ковер   “Лужайка”	Ковер “Силуэт”	Ковер “Детский”	Ковер “Дымка”
Труд, чел/дн	7	2	2	6	80
Сырье, кг	5	8	4	3	480
Оборудование,станко/ч	2	4	1	8	130
Цена ед. изделия (тыс.руб.)	3	4	3	1

 В курсовой  работе требуется:

1) Построить математическую модель  задачи определения оптимального  плана выпуска продукции, привести  ее к канонической форме. 

2) Построить математическую модель  двойственной задачи и привести  ее ограничения к виду равенства.

3) Решить исходную задачу с  помощью надстройки MS Excel “Поиск решения” и получить отчеты по устойчивости и по результатам.

4) На основе анализа этих отчетов  выписать оптимальные значения  основных и дополнительных переменных  исходной и двойственной задач  и ответить на вопросы:

1. Каков оптимальный  план выпуска ковров? Какая будет  получена при этом общая стоимость  продукции?

2. Имеется ли остаток какого-либо  ресурса?

3. Как изменится  общая стоимость продукции, если  количество трудовых ресурсов  увеличить на 100 чел/дн (нанять еще  рабочих)? Стоит ли увеличивать  трудовые ресурсы на 200 чел/дн?

4. К чему приведет плановое  задание по выпуску ковров  “Дымка” в количестве 10 шт.?

3. Математические модели исходной и двойственной задач планирования выпуска ковров.

 

Составляя математическую модель задачи, обозначаем количество продукции: Ковер “Лужайка” переменной — х₁, ковер “Силуэт” — х_2, ковер “Детский” — х₃, ковер “Дымка” — х4.

Прибыль от реализации ковров “Лужайка” составляет 3x₁ тыс.руб., ковров “Силуэт” — 4x₂ тыс.руб., ковров “Детский”  — 3x₃ тыс.руб., ковров “Дымка” — x₄ тыс.руб., общая прибыль рассчитывается по функции