Пакет символьной математики MathCAD в инженерных расчетах

     Отдельно  следует отметить возможность использования  в расчетах Mathcad величин с размерностями, причем можно выбрать систему  единиц: СИ, СГС, МКС, английскую или  построить собственную. Результаты вычислений, разумеется, также получают соответствующую размерность. Польза от такой возможности трудно переоценить, поскольку значительно упрощается отслеживание ошибок в расчетах, особенно в физических и инженерных. 

     Графика

     В среде Mathcad фактически нет графиков функций в математическом понимании термина, а есть визуализация данных, находящихся в векторах и матрицах (то есть осуществляется построение как линий так и поверхностей по точкам с интерполяцией), хотя пользователь может об этом и не знать, поскольку у него есть возможность использования непосредственно функций одной или двух переменных для построения графиков или поверхностей соответственно. Так или иначе, механизм визуализации Mathcad значительно уступает таковому у Maple, где достаточно иметь только вид функции, чтобы построить график или поверхность любого уровня сложности. По сравнению с Maple, графика Mathcad имеет еще такие недостатки, как: невозможность построения поверхностей, заданных параметрически, с непрямоугольной областью определения двух параметров; создание и форматирование графиков только через меню, что ограничивает возможности программного управления параметрами графики.

Однако  следует помнить об основной области  применения Mathcad — для задач инженерного  характера и создание учебных интерактивных документов, возможностей визуализации вполне достаточно. Опытные пользователи Mathcad демонстрируют возможность визуализации сложнейших математических конструкций, но объективно это уже выходит за рамки назначения пакета. 
 

     Расширение  функциональности 

     Возможно  дополнение Mathcad новыми возможностями  с помощью специализированных пакетов  расширений и библиотек, которые  пополняют систему дополнительными  функциями и константами для  решения специализированных задач:

     Пакет для анализа данных (англ. Data Analysis Extension Pack) — обеспечивает Mathcad необходимыми инструментами для анализа данных.

     Пакет для обработки сигналов (англ. Signal Processing Extension Pack) содержит более 70 встроенных функций для аналоговой и цифровой обработки сигналов, анализа и представления результатов в графическом виде.

     Пакет для обработки изображений (англ. Image Processing Extension Pack) — обеспечивает Mathcad необходимыми инструментами для  обработки изображений, анализа  и визуализации.

     Пакет для работы с функциями волнового преобразования (англ. Wavelets Extension Pack) — содержит большой набор дополнительных вейвлет-функций, которые можно добавить в библиотеку встроенных функций базового модуля Mathcad Professional. Пакет предоставляет возможность применить новый подход к анализу сигналов и изображений, статистической оценки сигналов, анализа сжатия данных, а также специальных численных методов. Функциональность включает одно- и двухмерные вейвлеты, дискретные вейвлет-преобразования, мультианализ разрешения и многое другое. Пакет объединяет более 60 функций ключевых вейвлетов. Включены ортогональные и биортогональные семейства вейвлетов, среди прочего — вейвлет Хаара, вейвлет Добеши, симлет, койфлет и B-сплайны. Пакет также содержит обширную диалоговую документацию по основным принципам вейвлетов, приложения, примеры и таблицы ссылок.

     Библиотека  строительства (англ. Civil Engineering Library) —  включает справочник англ. Roark's Formulas for Stress and Strain (Формулы Роарка для расчета  напряжений и деформаций), настраиваемые шаблоны для строительного проектирования и примеры тепловых расчётов.

     Электротехническая  библиотека (англ. Electrical Engineering Library ) содержит стандартные вычислительные процедуры, формулы и справочные таблицы, используемые в электротехнике. Текстовые пояснения и примеры облегчают работу с библиотекой — каждый заголовок имеет гиперссылку на оглавление и указатель, и его можно найти в системе поиска.

     Библиотека  машиностроения (англ. Mechanical Engineering Library) — включает справочник англ. Roark's Formulas for Stress and Strain (Формулы Роарка для расчета напряжений и деформаций), содержащий более пяти тысяч формул, вычислительные процедуры из справочника McGraw-Hill и метод конечных элементов. Текстовые пояснения, поисковая система и примеры облегчают работу. В состав библиотеки включена электронная книга Дэвида Пинтура «Введение в метод конечных элементов». 

     Взаимодействие  с другими программами 

     Mathcad интегрируется с программами  SmartSketch, VisSim/ Comm PE, Pro/ENGINEER.

     Приложение SmartSketch позволяет инженерам, дизайнерам, архитекторам, чертежникам, системным и сетевым администраторам работать с точными чертежами и графиками.

     VisSim/Comm PE — это Windows-приложение для  моделирования аналоговых, цифровых  или смешанных систем сообщения на сигнальном или физическом уровне.

     В документах-программах Mathcad есть возможность  вставки модулей (component) других приложений для расширения возможностей визуализации, анализа данных, выполнение специфических  вычислений.

     Для расширенной визуализации данных предназначен компонент Axum Graph. Для работы с табличными данными — Microsoft Excel.

     Компоненты Data Acquisition, ODBC Input позволяют пользоваться внешними базами данных.

     Предлагаются  также бесплатные модули (add-in) для  интеграции Mathcad с программами Excel, AutoCAD.

     Для статистического анализа предназначен компонент Axum S-PLUS Script.

     Значительное  расширение возможностей пакета достигается  при интеграции со сверхмощным приложением MATLAB.

 

2. Описание индивидуальных  заданий с анализом  их решения 

Задание1. (ИДЗ 2.2-2.7) Вершины пирамиды находятся в точках А(-4,6,3);  В(3,-5,1);  С(2,6,-4); D(2,4,-5).

Вычислить : а)площадь  грани ACD; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра AD и вершины В и С; в) объём пирамиды ABCD.

 
Решение 

а) Известно, что SACD=

Находим координаты векторов АС=(6,0,-7) и AD=(6,-2-8)

                                                           i       j       k 

                                        AC×AD=  6       0     -7=-14i+6j-12k 

                                                          6       -2     -8 

Окончательно  имеем: SACD= =  

б) Пусть середина ребра АD находится в точке М(-1,5,-1)

Площадь сечения  МВС находится по формуле аналогичной  пункту а).

Вычисляя, получим, Scеч=  

в) Объём пирамиды находится как 1/6 модуля смешанного произведения векторов AB, AC, AD

      7   -11   -2

      6     0     -7=|-140|

      6    -7     -8 

V=23,(3) 
 

Задание 2.(ИДЗ 6.4- 2.2) Провести полное исследование функции  и построить её график. Дана функция: y=  

Решение 

1. Найдём область  определения, т.к. знаменатель  не должен быть равен нулю, то: (-∞;1) (1;+ ∞) 

2. Ордината точки  графика у>0 при х>0, y<0 при х<0 

3. Точки пересечения графика с осями координат:

с ОХ: у=0, =0, х=-1. Получаем точку (-1,0)

С ОY: х=0, y=1. Получили точку (0,1) 

4. Вертикальная  асимптота х=-1. Горизонтальная – y=0 (находим с помощью пределов) 

5. Исследуем функцию на возрастание, убывание, локальный экстремум при помощи первой производной. 

6. Исследуем график функции на выпуклость/вогнутость и определим точки перегиба при помощи второй производной. 

7. Построим график  функции. 
 
 
 

Задание 3. (ИДЗ 8.1-4.1) Найти неопределённый интеграл. Результат интегрирования проверить дифференцированием.

Решение

= =- (сos(2-3x)) 

Проверка: (- (cos(2-3x))’=sin(2-3x)  
 
 

Задание4. (ИДЗ 9.2-2.1) Вычислить (с точностью до 2х знаков после запятой) длину дуги данной линии.

х=2* t;        y=2* t

Решение

Для нахождения длины дуги воспользуемся следующей  формулой: 

L=

Для этого:

1.найдём производные  функции, заданной параметрически  по t.

x’(t)=-6*sin(t)*

y’(t)=6* *cos(t)

2.Вычислим подынтегральное  выражение

3. Вычислим определённый  интеграл (взяв пределы интегрирования от 0 до 2π)

Ответ: длина  дуги данной линии равна 12 
 
 

Задание5. (ИДЗ 10.1-3.10) Вычислить значения частных производных для данной функции f(x,y,z)= *sin(y/x) в точке М0=(2,0,4) 

Решение

Найдём частные  производные данной функции по х, по у, по z. В полученные выражения подставим значения координат точки М0. 
 
 

Задание 6. (ИДЗ 11.1-4.1) Найти частное решение дифференциального уравнения ( +1)*y’+4xy=3 при начальном условии у(0)=0 

Решение

Данное уравнение  является неоднородным линейным ДУ первого порядка, т.к. его можно привести к виду: y’+4xy/( +1)=3/( +1)

Здесь Р(х)= 4xy/( +1);    Q(x)= 3/( +1)

Общее решение  находится по формуле:

у= )

Из полученного  общего выделяем частное решение, соответствующее  начальному условию у(0)=0

 

3.Листинги  выполнения задания

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Выводы  и предложения 

       В данной курсовой работе мы ознакомились с возможностями математического пакета Mathcad, применили полученные знания на практике, решая индивидуальные задания из курса высшей математики.

       Работая над этим проектом, я   тем самым углубил свои теоретические и прикладные знания, полученные ранее при изучении дисциплины «высшая математика», укрепил навыки самостоятельной научно-исследовательской, учебно-методической и практической деятельности.

     Трудность вызвало незнание некоторого материала  из области высшей математики.

               В дальнейшей своей учебной и рабочей деятельности обязательно буду применять данный математический пакет с его богатыми возможностями.

 

Использованная  литература 

1.В.Очков. Советы пользователям Mathcad 2001. Издательство МЭИ. 2001.  

2.Д.Кирьянов. Самоучитель Mathcad 2001. BHV-Петербург. 2001.  

3.Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука.- 1973.-832 с.  

4.Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы. Минск: Вышэйшая школа.-1988.- 270 с.