Теория нечеткой логики с применением в Delphi

4. Хай E = { Запоріжець, Жигулі, Мерседес....} - безліч марок автомобілів, а  E' = [0,µ] - універсальна множина "вартість", тоді на E' ми можемо визначити нечітку множину типу: "для небагатих ", "для середнього класу", "престижні", з функціями приналежності типа: 

Маючи ці функції і знаючи ціни автомобілів  з E в даний момент часу, визначимо  на E' нечітку безліч з цими ж назвами.

Так, наприклад, нечітка множина "для небагатих", задана на універсальній множині E = { Запорожець, Жигулі, Мерседес....} виглядає таким чином:

Аналогічно можна визначити нечітку множину "швидкісні", "середні", "тихохідні" і так далі

Методи  побудови функцій приналежності нечітких множин

У наведених вище прикладах використані  прямі методи, коли експерт або  просто задає для будь-якого x E значення  A(x), або визначає функцію приналежності. Як правило, прямі методи завдання функції приналежності використовуються для вимірних понять, таких як швидкість, година, відстань, тиск, температура і так далі, тобто коли виділяються полярні значення.

У багатьох завданнях при характеристиці об'єкту можна виділити набір ознак і для будь-якого з них визначити полярні значення, що відповідають значенням функції приналежності, 0 або 1.

Наприклад, в завданні розпізнавання особи  можна виділити наступні пункти: 
 
 
 
 

Для конкретної особи А експерт, виходячи з приведеної шкали, задає mA(x)O [0,1], формуючи векторну функцію приналежності { mA(x1), mA(x2)... mA(x9)}.

Непрямі методи визначення значень функції  приналежності використовуються у випадках, коли немає елементарних вимірних властивостей для визначення нечіткої множини. Як правило, це методи попарних порівнянь. Якби значення функцій приналежності були відомі, наприклад, mA(xi)= wi, i=1,2...,n, тоді попарні порівняння можна представити матрицею стосунків A = {aij}, де aij=wi/wj (операція ділення).

2. Операції  над нечіткими множинами

Вміщення

Хай A і B - нечітка  множина на універсальній множині E.

Говорять, що A міститься  в B, якщо "x ОE mA(x) <mB(x).

Позначення: A М B.

Інколи використовують термін "домінування", тобто у випадку якщо A М B, говорять, що B домінує A.

Рівність

A і B рівні, якщо "xОE mA(x)= mB (x).

Позначення: A = B.

Доповнення

Хай M = [0,1], A і B – нечіткі множини, задані на E. A і B доповнюють один одного, якщо

"xОE mA(x)= 1 - m B(x).

Позначення: B=    або A =

Очевидно, що = A. (Доповнення визначене для M = [0,1], але очевидно, що його можна визначити для будь-якого впорядкованого M).

Перетинання

AЗB - найбільша нечітка підмножина, яка міститься одночасно в A і B.

mAЗB(x)= min( mA(x), mB(x)).

Об'єднання

А І  В - найменша нечітка підмножина, яка  включає як А, так і В, з функцією приналежності:

mAИ B(x)= max(mA(x), m B(x)).

Різниця

А - B = АЗ з функцією приналежності:

mA-B(x)= mA З  (x) = min( mA(x), 1 - m B(x)).

Диз'юнктивна сума

АЄB = (А - B)І(B - А)= (А З ) І( З B) з функцією приналежності:

mA-B(x)= max{[min{m A(x), 1 - mB(x)}];[min{1 - mA(x), mB(x)}] }

Приклади

Хай:

A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2+0/ x3+1/ x4;

B = 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4;

C = 0,1/ x1+1/ x2+0,2/ x3+0,9/ x4.

Тут:

1. AĢB, тобто A міститься в B або B домінує A, З незрівняно ні з A, ні з B, тобто парі {A, З} і {A, З} -парі недомінуємих нечітких множин..

2. A Na B NaC.

3. = 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4;

= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.

4. AЗB = 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.

5. АИС = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.

6. А - С = АЗ = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;

В - А = З С = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

7. А Е В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

Наочне  представлення операцій над нечіткими множинами

Для нечітких множин можна будувати візуальне  представлення. Розглянемо прямокутну систему координат, на осі ординат якої відкладаються значення mA(x), на осі абсцис у довільному порядку розташовані елементи E (мі вже використовували таке представлення в прикладах нечітких множин). Якщо E по своїй природі впорядковано, те цей порядок бажано зберегти в розташуванні елементів на осі абсцис. Таке представлення робить наочними прості операції над нечіткими множинами.

Нехай A нечіткий інтервал між 5 до 8 і B нечітке  число близько 4, як показано на рисунку.

Хай A нечіткий інтервал між 5 до 8 і B нечітке  число близько 4, як показано на малюнку.

Нечітка множина між 5 і 8 АБО (OR) близько 4 показано на наступному малюнку (знову синя лінія).  

Наступний малюнок ілюструє операцію заперечення. Синя лінія - це ЗАПЕРЕЧЕННЯ нечіткої множини A. 

 

На наступному малюнку заштрихована частина відповідає нечіткій множині A і змальовує область значень А і всієї нечіткої безлічі, що міститься в A. Останні малюнки змальовують відповідно , AЗ , AИ . 

           

              

Властивості операцій И і З

Хай А, В, З - нечітка множина, тоді виконуються наступні властивості:

- комутативність;

- асоціативність;

 - ідемпотентність;

- дистрибутивність;

AИЖ = A, де Ж - порожня множина, тобто mЖ(x) = 0 "xОE;

AЗЖ = Ж;

AЗE = A, где E - універсальна множина;

AИE = E;

- теореми де Моргана.  

На відміну  від чітких множин, для нечітких множин в спільному випадку: 

AЗ NaЖ,

AИ NaE.

(Що, зокрема,  проілюстровано вище в прикладі представлення нечіткої множини).

CON(A)= A2 - операція концентрації

DIL(A)= A0,5 - операція розмивання 

які використовуються при роботі з лінгвістичними змінними. 
 

Множення  на число

Якщо  а - позитивне число, таке, що а m A(x)Ј1, тоді нечітка множина aA має функцію приналежності:

maA(x)= amA(x).

3. Нечітка і лінгвістична змінні

При описі об'єктів і явищ за допомогою нечітких множин використовується поняття нечіткою і лінгвістичною змінних.

Нечітка змінна характеризується трійкою <а, X, A>, де

· а - ім'я змінної

· X - універсальна множина (область визначення а)

· A - нечітка множина на X, що описує обмеження (тобто m A(x)) на значення нечіткої змінної а.

Лінгвістичною змінною називається набір <b>,T,X,G,M, де

· b - ім'я лінгвістичної змінної;

· Т - множина його значень (терм-множина), що представляють імена нечітких змінних, областю визначення, яких є множина X. Множина T називається базовою терм-множиною лінгвістичної змінної;

· G - синтаксична процедура, що дозволяє оперувати елементами терм-множин T, зокрема, генерувати нові терми (значення). Множина TИG(T), де G(T) - безліч термів, що згенерували, називається розширеним терм-безліччю лінгвістичної змінної;

· М - семантична процедура, що дозволяє перетворити нове значення лінгвістичної змінної, освіченою процедурою G, в нечітку змінну, тобто сформувати відповідну нечітку безліч.

Щоб уникнути великої кількості символів:

· символ b використовують як для назви самою змінною, так і для всіх його значень;

· для позначення нечіткої безлічі і його назви користуються одним символом, наприклад, терм "молодий", є значенням лінгвістичної змінної b = "вік", і одночасно нечітким безліччю М ("молодий").

Привласнення  декількох значень символам передбачає, що контекст допускає невизначеності.  
 
 

Приклад

Хай експерт визначає товщину виробу, за допомогою поняття "Маленька товщина", "середня товщина" і "велика товщина", при цьому мінімальна товщина дорівнює 10 мм, а максимальна - 80 мм.