;                       (3.15) 

• ПИД –  регулятор

 

.                    (3.17) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      4 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УТРАВЛЕНИЯ ПО КРИТЕРИЮ ДЖУРИ И ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ 

 При анализе  цифровых систем управления их представляют в виде трех элементов: цифрового фильтра (регулятора), фиксатора и приведенной непрерывной части. 

где  y – дискретное значение регулируемой величины;

       f – заданное значение регулируемой величины;

       e – ошибка управления;

       u – управляющее воздействие. 

      Рисунок 4.1 Структурная схема цифровой системы  автоматического управления 

      Так как в системе имеет мести  фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией вида: 

,                (4.1) 

то с учетом того, что z = e ^–pT , эту функцию можно записать в следующем далее виде: 

.                  (4.2) 

      Сомножитель 1/р относят к линейной части, поэтому  передаточная функция приведенной  непрерывной части может быть записана в следующем виде:

.                  (4.3)

      Так как

, 

переходная фнукция  ленейной части системы, то z – передаточную функцию линейной части находим по следующему выражению: 

.              (4.4) 

      Найдем  выражение для передаточной функции  линейной части: 

.                  (4.5) 

      Для вычисления h(t) воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Необходимо определить полюса. Для этого необходимо найти корни следйющего уравнения: 

(

)*р = 0. 

      Решив данное уравнение мы получили , что его корни следующего вида:

p₁ = 0;

p₂ = - 0,2;

p₃ = - 0,33;

p₄= -0,25. 

      Переходная  функция линейной части имеет  следующий вид: 

h(t) = -21,93e^-0.2t –4.03e^-0.33t +22.86e^-0.25t +3.1 .       (4.6) 

      С учетом формулы (4.4) получаем 

. 

      После раскрытия скобок и приведения подобных мы получаем равенство в следующем виде:

.                    (4.7) 

      Результирующая  передаточная функция разомкнутой  системы может быть определена как произведение передаточной функции приведенной непрерывной чати и передаточной функции цифрового фильтра: 

.                (4.8) 

      Дискретная  передаточная функция замкнутой  системы: 

.                      (4.9) 

      Определим значение W₃(z) для каждой из систем: 

• система с  П – регулятором. W_р(z) = 1.01, W_н.ч.(z) – определеня по формуле (4.7), тогда:

 

;           (4.10) 
 

• система с  ПИ – регулятором.

 

; 

W_н.ч.(z) – определена по формуле (4.7), тогда: 

;           (4.11) 

• система с  ПИД – регулятором.

 

,

W_н.ч.(z) – определена по формуле (4.7), тогда: 

.              (4.12) 

      После того , как получим выражение дискрктных передаточных функций для всех систем, проанализируем устойчивость этих систем по критерию Джури.

      Критерий  устойчивости заключается в следующем.

      Пусть задан А(z) – характкристический полином: 

A(z) = a₀zⁿ + a₁^n-1 + … + a_n,    a₀ > 0. 

      Введем  понятие обратного полинома, получаемого перестановкой коэффициентов исходного в обратном порядке: 

A(z) = a_nzⁿ + a_n-1^n-1 + … + a₀. 

      Разделим  A(z) на обратной ему. В итоге получаем частное от деления число q₀ и остаток А₁(z) – полином n-1 степени.

      Домножим  полученый результат на z^-1 получаем: 

A₁(z) = (a₀-a_nq₀)z^n-1 + … + (a_n-1-a₁q₀). 

      Затем делим остаток A₁(z) на обратный ему A₁₀(z) и определяем новое q₁ и A₂(z) 

       

 и т.д. 

      Выполняя  деление полиномов A_i(z) на обратные ему A_i0(z), получаем последовательность чисел q_i = {q₀, q₁, q₂,…,q_n-2}.

      Необходимым и достаточным условием устойчивости цифровой системы является неравенства: 

       А(1)=(a₀+ a₁+ a₂+…+a_n)>0;

       (-1)ⁿА(-1)=(a₀(-1)ⁿ + a₁(-1)^n-1 +…+a_n)>0;

       |q_i|<1, i=0,1,2,…,n-2. 

      Используя выше изложенное, определим устойчивость наших систем. 

      Система с П-регулятором.

      Характеристический  полином имеет следующий вид: 

      А(1)= 1 - 2.7544 + 2.5359 - 0.7817=0.003039>0 .

      (-1)³A(-1)= -(1 - 2.7544 + 2.5359 - 0.7817) >0.

      А(z) = z³-2.7544z²+2.5359z - 0.7817

      Обратный  полином

       . 

      Разделим  A(z) на A₀(z). 

0,3852z-0,7686z²+0,3888z³ 

      Домножим  полученный результат на z^-1, тогда: 

      A₁(z)= 0,3852-0,7686z+0,3888z²,

      A₁₀(z)= 0,3888-0,7686z+0,3852z². 

      Разделим  A₁(z) на A₁₀(z). 

-0.00718z+0.00723z² 

      Домножим  полученный результат на z^-1, тогда: 

      A₂(z)= 0.007238z-0.007187. 

      В результате расчетов получили, что q₀, q₁, q₂ по модулю меньше еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно цифровая система устойчива. 

       Система с ПИ-регулятором.

      Характеристический  полином имеет вид:

      Степень полинома n=4. Множество q_i = {q₀, q₁, q₂}.

      А(1)= >0.

      (-1)⁴A(-1)= >0.

       .

      Обратный  полином:

       . 

      Разделим  A(z) на A₀(z). 

-0,383z+1.147z²-1.1506z³+0,3861 z⁴ 

      Домножим  полученный результат на z^-1, тогда: 

      A₁(z)= -0,383+1.147z-1.1506z² +0,3861 z³,

      A₁₀(z)= -0,361+1.1506z-1.147z² +0,383 z³. 

      Разделим  A₁(z) на A₁₀(z). 

0,006046z-0,01207z²+0,00605z³ 

      Домножим  полученный результат на z^-1, тогда: 

      A₂(z)= 0,006046z-0,01207z²+0,00605z³,

      A₂₀(z)= 0,00605-0,005474z²-0,006046z³. 

      Разделим  A₂(z) на A₂₀(z). 

-0,000027278z+0,000027353z² 

      Домножим  полученный результат на z^-1, тогда: 

      A₃(z) = -0,000027278z+0,000027353z² 

      В результате расчетов получили, что q₀, q₁, q₂ по модулю меньше еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно цифровая система устойчива. 

       Система с ПИД-регулятором. 

      Характеристический  полином имеет вид:

      Степень полинома n=5. Множество q_i = {q₀, q₁, q₂, q₃}.

А(1)= >0.

(-1)⁵A(-1)= >0.

,

      Обратный  полином:

. 

      Разделим  A(z) на A₀(z). 

0,7347z-3,1644z²+5,102835z³-3,6802818z⁴+0,999747z⁵ 

      Домножим  полученный результат на z^-1, тогда: