Двухфакторный дисперсионный анализ

align="justify">Чтобы исключить варьирование, которое  вызывается не относящимися к опыту причинами, надо из внутригрупповой (остаточной) дисперсии вычленить дисперсию, рассчитанную по повторностям (блокам).

Общая сумма квадратов отклонений подразделяется в этом случае уже на 3 составляющие:

D_о= D_м+ D_повт+D_ост .

Для представленных данных сумма квадратов отклонений, вызванная повторностями, будет  равна:

D_повт = .

D_повт = [(24-26)² + (26-26)² + (26-26)² + (24-26)² + (27-26)² + (27-26)² + (27-26)² + (26-26)²] × 4= 44.

Значит, случайная сумма квадратов отклонений будет равна:

D_ост =D_в –D_повт ; D_ост =106-44= 62.

Для остаточной дисперсии число степеней свободы  равно 28-7=21. Представим результаты дисперсионного анализа в виде таблицы:

Результаты  однофакторного дисперсионного анализа

 

Поскольку фактические значения F-критерия для вероятности 0,95 превышают табличные, то влияние сроков посева и повторностей на урожайность пшеницы следует считать существенным. Рассмотренный способ построения опыта, когда участок предварительно делится на блоки с относительно выравненными условиями, а проверяемы варианты распределяются внутри блока в случайном порядке, называется способом рендомизированных блоков.

Рассмотрим, теперь, дисперсионный анализ опыта, в котором следует выявить  влияние не только сроков посева, но и сортов на урожайность пшеницы.

Сроки посева пшеницы и влияющие факторы (для двухфакторного анализа)

D₀= =170 - это сумма квадратов отклонений индивидуальных значений от общей средней.

Вариация  по совместному влиянию сроков посева и сорта D_пс==96 – это сумма квадратов отклонений средних по подгруппам от общей средней, взвешенных на число повторностей, т.е. на 4.

Вычисление  вариации по влиянию только сроков посева:

D_c== [(26-26)² + (28-26)² + (26-26)² + (24-26)²] ×8= 64

Вычисление  вариации только по влиянию сорта  пшеницы:

D_y== [(25-26)² + (27-26)²] ×16=32.

Остаточная  вариация определяется как разность между общей вариацией и вариацией  по совместному влиянию изучаемых  факторов:

D_ост=D_о -D_пс=170-96=74

Результаты, вновь, приведем в виде таблицы:

Результаты  двухфакторного дисперсионного анализа

Результаты  дисперсионного анализа показывают, что влияние изучаемых факторов, т.е. сроков посева и сорта, на урожайность  пшеницы существенно, так как  F-критерии фактические по каждому из факторов значительно превышают табличные, найденные для соответствующих степеней свободы, и при этом с достаточно высокой вероятностью (р=0,99). Влияние же сочетание факторов в данном случае отсутствует, так как факторы независимы друг от друга. [6]

А теперь проделаем то же самое, но при помощи компьютерной программы. Если дисперсионный  анализ мы выполнили правильно, то результаты нашего решения и результаты, полученные при помощи компьютерной программы  должны совпасть.

2-ФАКТОРНЫЙ  ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ.  Файл:

          Факторный план: неповторяемый

Источник   Сум.квадр  Ст.своб Ср.квадр      F       Значимость     Сила влияния

  Факт.1        32            4       6,6428571  4,3445378   0,06147341   -0,2416484

  Факт.2          64          3    21,333333  7,5294118   0,0016169693   0,072777869

  Остат.        74             24     2,8333333

  Общая          170       31       5,483871

F(фактор1)=4,3445378, Значимость=0,06147341, степ.своб = 4,21

   Гипотеза 0: <Есть влияние фактора на отклик>

F(фактор2)=7,5294118, Значимость=0,0016169693, степ.своб = 3,21

   Гипотеза 1: <Есть влияние фактора  на отклик>

        Параметры модели:

Среднее = 26, доверит.инт.=0,76405521

Эффект1-1 = -1,75, доверит.инт.=2,2210286

Эффект1-2 = -0,5, доверит.инт.=2,2210286

Эффект1-3 = 0,25, доверит.инт.=2,2210286

Эффект1-4 = -2, доверит.инт.=2,2210286

Эффект1-5 = 1,25, доверит.инт.=2,2210286

Эффект1-6 = 0,75, доверит.инт.=2,2210286

Эффект1-7 = 0,75, доверит.инт.=2,2210286

Эффект1-8 = 1,25, доверит.инт.=2,2210286

Эффект2-1 = 0, доверит.инт.=2,0957353

Эффект2-2 = 2, доверит.инт.=2,0957353

Эффект2-3 = 0, доверит.инт.=2,0957353

Эффект2-4 = -2, доверит.инт.=2,0957353

Проанализируя полученные результаты (решение одной  задачи двумя способами) мы теперь можем  придти к выводу, что результаты решения вручную и результаты компьютерной программы совпадают (т.е. оба фактора имеют влияние) и значит мы правильно провели  анализ данных. 

Аналогично  двухфакторному выполняется и многофакторный анализ. При росте количества факторов увеличивается объем расчетных работ, и кроме того, становится затруднительно оформлять исходную информацию в комбинационную таблицу. Отсюда следует, что врятли целесообразно изучать влияние многочисленных факторов на результат с использованием дисперсионного анализа; лучше взять меньшее их число, но выбрать наиболее существенные факторы с точки зрения экономики и сделать их анализ.

Рассмотрим  еще одни данные и применим дисперсионный  анализ.

Рассматривается применение дисперсионного анализа  для обработки результатов педагогического  эксперимента по внедрению интегративных занятий в процесс обучения математике студентов экономических специальностей вузов. Эксперимент заключается в целенаправленном педагогическом воздействии на объект (например, группу учащихся), призванном изменить его состояние определенным образом. Целью проведения эксперимента является эмпирическое подтверждение или опровержение гипотезы исследования и справедливости теоретических результатов. Собственно, педагогическое воздействие – его состав, структура, свойства и т. д. – и есть результат теоретической части педагогического исследования. Примерами воздействия являются новые содержание, формы, методы и средства обучения. Следовательно, при проведении эксперимента необходимо обосновать, что состояние объекта изменилось, причем в требуемую сторону. Но этого недостаточно – необходимо также обосновать, что изменения произошли именно в результате произведенного воздействия.

При планировании эксперимента была выдвинута гипотеза о влиянии на качество усвоения учебного материала двух факторов: уровня математической подготовки обучаемых и технологии обучения (с использованием и без использования интегративных занятий).

Схема формирования экспериментальной и контрольной групп в педагогическом эксперименте состоит в следующем. Были выделены семь учебных групп (175 обучаемых), четыре из которых предполагалось обучать с использованием интегративных занятий, а три – без использования. На первом этапе из выбранных учебных групп были сформированы экспериментальная и контрольная группы (по 60 обучаемых каждая), которые и образовали статистический комплекс для обработки результатов эксперимента. Чтобы повысить достоверность результатов эксперимента, в контрольную и экспериментальную группы были отобраны обучаемые с примерно одинаковым уровнем математической подготовки (по 20 обучаемых с высоким, средним и низким уровнем математической подготовки в каждой группе). Формирование таких групп осуществлялось на основе оценок, полученных по математике на Едином государственном экзамене. Обучаемые, получившие 70 баллов и выше, были отнесены к подгруппе с высоким уровнем математической подготовки; обучаемые, получившие от 55 до 69 баллов включительно, – к подгруппе со средним уровнем математической подготовки; и обучаемые, получившие менее 55 баллов, – к подгруппе с низким уровнем математической подготовки.