Использование статистики при построении моделей надежности автомобилей

 

• Необходимо определить среднее количество километров, которое показывает, какой путь пройдут автомобили без серьезных поломок:

 

 

= = 203,8 тыс. км.

• Определим размах вариации:

R = X_max – X_min ,

где Х_max – максимальное значение признака;

Х_min – минимальное значение признака.

_{R = 250 – 50 = 200 тыс. км.}

• Определим среднее линейное отклонение:

,

  ₂₉,9 тыс. км.

• Определим среднее квадратическое отклонение:

 

 

• Найдем коэффициент корреляции:

,

Вывод:

Средний километраж без серьезных поломок всех рассматриваемых автомобилей равен 203,8 тыс. км., он колеблется в пределах от 143, тыс. км. до 264,5 тыс. км. (203,8 ± 60,7). При этом вариация километража составляет 200 тыс. км. Величина коэффициента вариации меньше 40%, значит средняя надежна и её можно использовать при анализе.

 

2.4. Выборочное  наблюдение

 

⁵Одним из наиболее распространенных в статистике методов, применяющим несплошное наблюдение, является выборочный метод – метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части на основе положений случайного отбора.

В результате проведения случайной  бесповторной 10%-ой выборки были получены следующие данные о надежности автомобилей. Определим с вероятностью 0,954 (t=2) предельную ошибку выборочной средней и возможные пределы отклонения надежности автомобиля (табл. 5).

Для определения предельной ошибки выборочной средней воспользуемся  формулой:

где σ² – дисперсия;

n – численность выборки, n = 814 шт.;

N – объем генеральной совокупности, N = 8140 шт.

Средний километраж автомобилей  без поломок составляет

Для начала необходимо определить дисперсию:

Подсчитаем, чему равна предельная ошибка выборочной средней:

 тыс. км.

Таблица 5

Вспомогательная таблица

№ п/п	Середины интервалов (тыс. км.)   ( )	Количество автомобилей  вышедших из строя (ni)
1	50	49	23654,44	1159067,56
2	150	278	2894,44	804654,32
3	250	487	2134,44	1039472,28
Итого:		814	28683,32	3003194,16

 

 

Следовательно, средний километраж автомобиля без серьезных поломок находится в пределах:

То есть с помощью выборочного  наблюдения мы определили пределы колебания  среднего километража автомобиля без серьезных поломок. Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний километраж автомобиля без серьезных поломок колеблется в пределах от 199,7 тыс. км. до 207,9 тыс. км.

2. 5. Корреляционный анализ

 

⁶Корреляционная связь является частным случаем статистической связи, при которой изменение среднего значения результативного признака изменением значений факторного признака (парная корреляция) или множества факторных признаков.

Признаки, обуславливающие  изменение других, связанных с  ними признаков, называют факторными, или просто факторами. Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называют результативными.

Корреляционно-регрессионный  анализ включает в себя измерение  тесноты связи, а также установление аналитического выражения (формы) связи. Построим таблицу для расчета  показателей вариации (табл.6).

В данной таблице  рассмотрим оценки надежности автомобилей экспертов  Which и экспертов Consumer Report. В этой таблице, мы рассмотрим, насколько тесно связаны эти два показателя, как один влияет на другой.

 

Таблица 6

Промежуточные расчеты корреляционного  анализа

Модель автомобиля	Оценка экспертов Which, % (х)	Оценка экспертов Consumer Report, % (у)	Расчетные показатели
			х2	у2										×
Honda Accord	84	100	7056	10000	8400	96,52	5,875	34,52	3,5	12,25	0,0004	12,1104		20,5625
Toyota Corolla	74	99	5476	5476	7326	96,49	-4,125	17,02	2,5	6,25	0,0001	6,3001		-10,3125
Nissan Almera	71	98	5041	5041	6958	96,48	-7,125	50,77	1,5	2,25	0,0004	2,3104		-10,6875
Opel Vectra	84	98	7056	7056	8232	96,52	5,875	34,52	1,5	2,25	0,0004	2,1904		8,8125
Ford Focus	77	96	5929	5929	7392	96,50	-1,125	1,27	-0,5	0,25	0	0,25		0,5625
Skoda Octavia	77	96	5929	5929	7392	96,50	-1,125	1,27	-0,5	0,25	0	0,25		0,5625
VW Golf	77	93	5929	5929	7161	96,50	-1,125	1,27	-3,5	12,25	0	12,25		3,9375
BMW 3	81	92	6561	6561	7452	96,51	2,875	8,27	-4,5	20,25	0,0001	20,3401		-12,9375
Итого:	625	772	48977	51921	60313	772		148,91	0	56	0,0014	56,0014		0,5
В среднем	78,125	96,5	6122,125	6490,125	7539,125	78,125		18,614	0	7	0,000175	7,000175	0,0625

 

В основе зависимости между  х и у лежит прямая линейная связь, которая может быть выражена простым линейным уравнением регресссии:

y= a

+a x, где

                                                          

a - коэффициент регрессии, который показывает на сколько в среднем отклоняется величина результативного признака (y) при отклонении факторного признака (x) на единицу

 

                                                               

      

Уравнение линии связи  между х и у выгладит следующим образом: . Построим графики (рис. 1) для у теоретического (уравнение регрессии) и у практического (по исходным данным).

Рис. 1. Связь оценок экспертов Which и экспертов Consumer Report

 

Графический анализ показывает, что если оценки надежности автомобилей экспертов Which высоки то и оценки экспертов Consumer Report примерно также велеки.                                  

Значимость коэффициентов  в простой линейной регрессии  осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента по следующим зависимостям:

                                                     

Где среднее квадратическое отклонение результативного признака y от выровненных значений y :

                                          

  Среднее квадратическое  отклонение факторного признака  x от       общей средней :

                                                    

 

(n- ) – число степеней свободы вариации, представляет собой число свободных варьирующих элементов совокупности, где n –число факторных признаков в уравнении.

- это вероятность с которой  может быть опровергнута гипотеза  о том или ином законе распределения.

 

 

 

 

                                                   

Вычисленные значения сравнивают с критическими по таблицам Стьюдента с учетом принятого уровня значимости и числом степени свободы (n-2). Обычно выбирают =0,05. По таблице Стьюдента

Параметр значим, если  , следовательно а₀ признается значимым и а₁ незначимым.

 

Для установления тесноты связи применяется объективно-числовой показатель линейный коэффициент корреляции.

   

 

_{Таблица 7}

⁷Количественные критерии оценки тесноты связи (шкала Чеддока)

Величина коэффициента корреляции	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 1
Характеристика силы связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

 

Средние Сильные

 

Вывод: По шкале Чеддока видно, что степень связи слабая, что свидетельствует о большом разбросе между парным коэффициентом корреляции и коэффициентом теоретического корреляционного отношения.

Так как  >0, то  связь прямая.

2. 6. Анализ рядов динамики

 

Развитие явлений во времени называется динамикой, а показатели, характеризующие это развитие, называются рядами динамики. Для проведения анализа выберем интервальный динамический ряд – оценку экспертов надежности автомобиля Ваз 21110 (табл. 8).

Таблица 8

Надежность автомобиля

Год		2004	2005	2006	2007	2008	2009	Σ	Ср. знач.
Оценка экспертов          автомобиля  Ваз 21110, % Показатели		37	40	42	43	44	45	251	42
Абсолютный прирост	Цепной	-	3	2	1	1	1	8	1,6
	Базисный	-	3	5	6	7	8	-	-
Коэффициент роста	Цепной	-	1,08	1,05	1,02	1,02	1,02	-	1,038
	Базисный	-	1,08	1,14	1,16	1,19	1.22	-	-
Темп роста, %	Цепной	-	108	105	102	102	102	-	103,8
	Базисный	-	108	114	116	119	122	-	-
Темп прироста, %	Цепной	-	8	5	2	2	2	-	3,8
	Базисный	-	8	14	116	19	22	-	-
Абсолютное значение 1 % прироста	-	-	0,37	0,4	0,42	0,43	0,44	2,06	0,412

 

 

Проследим динамику изменения средней оценки надежности автомобиля Ваз 21110:

• Средний уровень интервального ряда:

 %

• Абсолютный прирост:  ,   ,

где у_i – текущий уровень ряда;

y_i-1 – предыдущий уровень;

y₀ – базисный (начальный) уровень ряда.

• Средний абсолютный прирост:

• Коэффициент роста: ,   .
• Темп роста: ,   .
• Темп прироста: ,  
• Абсолютное значение 1% прироста:
• Средний темп роста:

.

• Средний темп прироста: .

Одной из важнейших задач  статистики является определение в  рядах динамики общей тенденции  развития явления. С этой целью проведем сглаживание с помощью двухгодовой и трехгодовой скользящей средней (табл.9).

Таблица 9

Вспомогательная таблица  для расчета сглаженных средних

Годы	Оценка экспертов автомобиля  Ваз 21110, %	2 – ой подвижный итог	2 – ая подвижная средняя	3 – ой подвижный итог	3 – ая подвижная средняя
2004	37	-	-	-	-
2005	40	77	38,5	-	-
2006	42	82	41	119	39,7
2007	43	85	42,5	125	41,7
2008	44	87	43,5	129	43
2009	45	89	44,5	132	44
Итого:	251	-	210	-	168,4