Контрольная работа по "Статистике "

 

Средний темп роста  численности рабочих составил 1,00145, средний абсолютный прирост численности  рабочих равен 162,73 чел., средний темп прироста 0,0145%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 7

Изучить методы сглаживания  рядов динамики скользящей средней  и аналитического выравнивания. По показателю фонда заработной платы (данные таблицы 1.1) выполнить подробные  вспомогательные и основные расчеты. Теоретически обосновать расчеты и  полученные результаты.

Методы сглаживания разделяются  на две большие группы:

I) сглаживание или механическое  выравнивание отдельных членов  ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;

2) выравнивание с применением  прямой или кривой линии, согласно  уравнению такой функции, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освободила его от незначительных колебаний.

К основным методам первой группы относятся: метод усреднения по левой и правой половине, метод  укрупнения интервалов, методы простой  и взвешенной скользящей средней. При использовании метода усреднения по левой и правой половине ряд динамики разделяют на две части, находят для каждой из них среднее арифметическое значение и проводят через полученные точки линию тренда на графике.

При методе скользящих средних  исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного  уровня и нескольких симметрично  его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть чётным или нечётным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 7.1

Сглаживание ряда Фонд заработной платы

Месяц	Фонд  заработной платы	Усреднение по левой или правой половине	Усреднение по скользящим средним с интервалом 3
Январь	225236
Февраль	237436		233302,67
Март	237236		237636
Апрель	238236		238636
Май	240436		239636
Июнь	240236	236469,33	240769,33
Июль	241636		241869,33
Август	243736		242536
Сентябрь	242236		243502,67
Октябрь	244536		244236
Ноябрь	245936		245669,33
Декабрь	246536	244102,67

 

К основным методам второй группы можно отнести: аналитическое  выравнивание, дисперсионный и корреляционный анализ.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости уt. На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции, а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

Линейная зависимость (y_t=a_o+a₁t) выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдается более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая зависимость (y_t=a_o+a₁t+a₂t²) используется если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

Экспоненциальные зависимости (у = ехр/а₀ + а₁t) применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный прирост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста), либо, при отсутствии такого постоянства, - устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста ).

Оценка параметров зависимости  может быть сделана методами избранных  точек, наименьших расстояний, наименьших квадратов. В большинстве расчётов используют метод наименьших квадратов, рассматриваемый в курсе математической статистики. По этому методу, например, для нахождения параметров прямой линии необходимо решить следующую систему уравнений:

 

Для линейной зависимости  параметр а₀ обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщённый начальный уровень ряда; а₁ - сила связи, т.е. параметр, показывающий, на сколько изменится результат при изменении времени на единицу.

Проведем поиск линейной зависимости методом наименьших квадратов. Для расчетов построим таблицу.

Таблица 7.2

Сводная таблица для линейной функции

Месяц	Yфакт	t	t2	Y*t	Yрасч.линейн	(Yф-Yр)	(Yф-Yр)2
1	225236	1	1	225236	232378,32	-7142,32	51012734,98
2	237436	2	4	474872	233816,08	3619,92	13103820,81
3	237236	3	9	711708	235253,84	1982,16	3928958,27
4	238236	4	16	952944	236691,6	1544,4	2385171,36
5	240436	5	25	1202180	238129,36	2306,64	5320588,09
6	240236	6	36	1441416	239567,12	668,88	447400,46
7	241636	7	49	1691452	241004,88	631,12	398312,46
8	243736	8	64	1949888	242442,64	1293,36	1672780,09
9	242236	9	81	2189124	243880,4	-1644,4	2704051,36
10	244536	10	100	2445360	245318,16	-782,16	611774,27
11	245936	11	121	2705296	246755,92	-819,92	672268,81
12	246536	12	144	2958432	248193,68	3345,32	11171102,98
Итого	2883432	78	650	18947908	2883432	0	93428963,94

 

Такая процедура позволит упростить расчеты при решении  системы нормальных уравнений. При  данных обозначениях и линейной форме  графика y(t) она будет выглядеть следующим образом:

,

где n – количество точек (уровней) в исходном ряду динамики;

 – коэффициенты  регрессии;

y – фактическое значение исходного ряда.

Выразим .

 

 

===1437,76

===230940,56

Найдя значения , можно построить уравнение

Y(t) = a₀ + a₁t

Y(t) = 230940,56+1437,76t

Подставляя сюда значение t_i , получим выровненный ряд динамики и

теоретические значения показателя (У_рач.).

Линейный прогноз  для фонда заработной платы по месяцам описывается формулой Y(t) = 230940,56+1437,76t, где t – номер месяца в году, Y – прогнозируемый размер фонда заработной платы.

 

 

 

 

 

 

Задание 8

Индексным методом определить влияние на изменение фонда заработной платы в декабре по сравнению с январем средней заработной платы на одного рабочего и их численности.

Таблица 8.1

Показатели оплаты труда  на предприятии за январь и декабрь

Месяц	Численность рабочих (на конец месяца), чел.	Фонд заработной платы, тыс. руб.	Средняя заработная плата, тыс. руб.
	q	pq	p
Январь	11196	225236	20,12
Декабрь	12986	246536	18,99

 

Индексный метод широко применяется  для анализа роли отдельных факторов в динамике какого-либо сложного явления, изменение которого обусловлено  действием нескольких факторов, выступающих  как множители совокупного результата. Если, например, величина объёма товарооборота равна произведению количества продажи товаров на их цены, то индекс товарооборота равен произведению индекса физического объёма на индекс цен:

Ipq = Ip * Iq

Индексный метод позволяет  также представить абсолютный прирост  стоимости как результат влияния  отдельных факторов: изменения цен  и количества:

∆pq^p = ∑p₁*q₁ - ∑p₀*q₁

∆pq^q = ∑p₀*q₁ - ∑p₀*q₀

Общее изменение стоимости  равно алгебраической сумме изменений за счет каждого фактора:

∆pq = ∆pq^p + ∆pq^q

Индексной системой часто  пользуют для расчета третьего показателя, если известны два других, входящих в систему. В общем виде, если 

 а = б*с*д*е, то Iа = Iб * Iс * Iд * Iе

Dа = (б1– б0)*с1*д1*е1 + б0*(с1 –с0)*д1*с1 +б0*с0*(д1 -д0)*с1 +б0*с0*д0(е1-е0)

Оценим влияние изменения  численности и средней заработной платы на изменение фонда заработной платы.

 

∆pq^p = ∑p₁*q₁ - ∑p₀*q₁ =18,99*12986-20,12*12986=246604,14-261278,32=

= -14674,18

∆pq^q = ∑p₀*q₁ - ∑p₀*q₀ =20,12*12986-20,12*11196=261278,32-

-225263,52=36014,8

∆pq = ∆pq^p + ∆pq^q = -14674,18+36014,8=21340,62

∆pq = p₁q₁ - p₀q₀ = 246536-225236=21300

Приведем расчеты индексов для численности рабочих, фонда  заработной платы и средней заработной платы.

Индекс заработной платы  Ip =18,99/20,12=1,1599

Индекс численности рабочих  Iq = 12986/11196=1,0946

Индекс изменения фонда  заработной платы 

Ipq = 246536/225236=1,0946

Ipq = Ip * Iq = 0,9438*1,1599=1,0947

За счет изменения  средней заработной платы в декабре  по сравнению с январем фонд заработной платы изменился на -14674,18 тыс. руб. (т.е. в 1,1599 раза), а за счет изменения численности на 36014,8( т.е. в 1,0946 раза). В общем фонд заработной платы вырос на 21300 тыс. руб. (т.е. в 1,0947 раза).

 

 

 

 

 

 

 

Задание 9

С помощью корреляционно-регрессионного анализа изучить связь между первым и вторым признаками. Для этого:

а) построить эмпирическую линию регрессии:

б) оценить тесноту связи  между признаками;

в) найти уравнение связи, график которого представить в той  же системе координат, что и эмпирическая линия регрессии.

г) сделать выводы.

Парная регрессия характеризует  связь между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитическая связь между ними описывается уравнениями:

- прямой у_х = а_о + а₁х

- гиперболы y_x = a₀ +a₁

- параболы y_x = а_о + а₁х +a₂x²

Определить тип уравнение  можно, исследуя зависимость графически. Однако существуют более o6щиe указания, позволяющие выявить уравнение  связи, не прибегая к графическому изображению, если результативные и факторные  признаки возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, то это  свидетельствует о том, что связь  между ними линейная, а при обратной связи – гиперболическая. Если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативные - значительно быстрее, то используется параболическая, или степенная регрессия.

Оценка параметров уравнений  регрессии осуществляется методом наименьших квадратов. Сущность этого метода заключается в нахождении параметров модели, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических значений результативного признака от теоретических.

Системы нормальных уравнений  для нахождения параметров регрессии  имеют вид:

 

- для линейной зависимости

 

 

- гиперболы

 

- параболы

 

Параметр а_о в уравнениях регрессии - постоянная величина и, как правило, экономического смысла не имеет. Другие параметры при х называются коэффициентами регрессии, которые показывают на сколько единиц в среднем изменится у при изменении х на одну единицу.

Таблица 9.1

Сводная таблица для построения линейной регрессии

	Yфакт	x	x2	Yx	Yрасч.линейн	(Yф-Yр)	(Yф-Yр)2	(Yф)2
1	678236	11196	125350416	7593530256	676609,74	1626,26	2644721,59	460004171696
2	679136	11336	128504896	7698685696	677778,49	1357,51	1842833,4	461225706496
3	679236	11336	128504896	7699819296	677778,49	1457,51	2124335,4	461361543696
4	679436	11836	140090896	8041804496	681952,59	-2516,59	6333225,23	461633278096
5	679836	11886	141276996	8080530696	682369,99	-2533,99	6421105,32	462176986896
6	679336	11836	140090896	8040620896	681952,59	-2616,59	6846543,23	461497400896
7	685536	12056	145347136	8264822016	683789,19	1746,81	3051345,18	469959607296
8	686136	12236	149719696	8395560096	685291,87	844,13	712555,46	470782610496
9	685436	12136	147282496	8318451296	684457,06	978,95	958343,1	469822510096
10	686336	12736	162205696	8741175296	689465,97	-3129,97	9796712,2	471057104896
11	684536	12756	162715536	8731941216	689632,93	-5096,93	25978695,43	468589535296
12	699436	12986	168636196	9082875896	691553,02	7882,98	62141373,68	489210718096
	8202632	144332	1739725752	98689817152	8202632	0	128851789,2	5607321173952