Контрольная работа по "Статистике"

Содержание

 

 

Задача 1

 

Данные опроса респондентов о доле расходов домохозяйств на алкоголь (% от бюджета):

Доля расходов на алкоголь, %	Число домохозяйств
0,5	2
1,0	7
1,5	25
2,0	44
2,5	50
3,0	71
10,0	10

 

Вычислить: 1) среднее арифметическое значение, моду и медиану;

2) размах вариации, дисперсию, среднее  квадратическое отклонение, коэффициент  вариации.

 

Решение:

 

Средняя арифметическая рассчитывается по формуле:

где   - знак суммирования от 1 до k; x_i-варианты с порядковым номером i; 

  = (0,5*2 + 1*7 + 1,5*25 + 2*44 + 2,5 * 50 + 3 *71 + 10 * 10) / (2 + 7+ 25 + 44 + 50 + 71 + 10) = 571,5/209 = 2,73 (%),

 

Модой называется величина признака (варианта), которая чаще всего встречается  в данной совокупности. В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту.

В нашем примере мода – 3%, поскольку  этому значению соответствует наибольшее число домохозяйств.

Медианной в статистике называется варианта, которая находится в  середине вариационного ряда. Медиана  делит ряд пополам, по обе стороны  от нее (вверх и вниз) находится одинаковое количество единиц совокупности.

Чтобы найти медиану в дискретном вариационном ряд, нужно сумму частот разделить пополам и к полученному  результату добавить ½.

 

Доля расходов на алкоголь, %	Число домохозяйств
0,5	2
1	7
1,5	25
2	44
2,5	50
3	71
10	10
итого	209

 

Так, в распределении 209 домохозяйств по доле расходов на алкоголь медианой будет: 209/2 + ½ = 105, т.е. 105-я варианта, которая делит упорядоченный ряд пополам. Для того чтобы выяснить значение 105 варианты, нужно накапливать частоты, начиная, от наименьшей варианты. Сумма частот 1-й и 2-й вариант равна 9. Ясно, что здесь 105 варианты нет. Если прибавить к 9 частоту 3-й варианты, то получим сумму, равную 9+25 = 34 – здесь 105 варианты также нет. Если прибавить к 34 частоту 4-й варианты, то получим сумму, равную 34+44 = 78 – здесь 105 варианты также нет. Если прибавить к 78 частоту 5-й варианты, то получим сумму, равную 78+50 = 128. Следовательно, 105-я варианта соответствует пятому значению варьирующего признака, и медианой будет домохозяйство, имеющее долю расходов на алкоголь 2,5%.

Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности (R = Х_max- X_min). 

Rрасх = 10-0,5 = 9,5,

Rдомохоз = 71-2 = 69.

Дисперсия - это средний квадрат отклонений, мера характеризующая разброс данных вокруг среднего значения. Математическая формула дисперсии по генеральной совокупности имеет вид:

Где D – дисперсия, x – анализируемый показатель, с черточкой сверху – среднее значение показателя, n – количество значений в анализируемой совокупности данных.

Среднее квадратическое отклонение выборки определяется формулой

σ = .

Коэффициент вариации характеризует  относительную меру отклонения измеренных значений от среднеарифметического:

V = Q/х _ср * 100%,

Где Q- среднеквадратическое отклонение, Хср – среднее арифметическое.

Хсреднее равно:

20,5/7 = 2,93 (%).

Для расчета составим промежуточную  таблицу:

Доля расходов на алкоголь, % (х)	Число домохозяйств (n)	х-хср	(х-хср)2
0,5	2	-2,43	5,9049
1	7	-1,93	3,7249
1,5	25	-1,43	2,0449
2	44	-0,93	0,8649
2,5	50	-0,43	0,1849
3	71	0,07	0,0049
10	10	7,07	49,9849
итого	209		62,7143

D= ((0,5-2,93)² + (1-2,93)² + (1,5-2,93)² + (2,5-2,93)² + (3-2,93)² + (10-2,93)²) /6 = 62,714/ 6 = 10,45

σ = = 3,23

V = 3,23/2,93 *100 % = 110,24%

Коэффициент вариации является относительной  величиной и изменяется от 1 до 100%. Если коэффициент вариации больше 100%, то это означает, что среднее квадратическое отклонение больше чем средняя величина и, следовательно, распределение результатов отличается от нормального ( Гаусса - Лапласа ) и описывать его средним и среднеквадратическим отклонением неправильно.

Задача 2

 

Данные о годовой выработке  продукции:

Группы рабочих по выработке продукции, тыс. руб.	Число рабочих, чел.
До 14,0	10
14,0 – 16,0	15
16,0 – 18,0	35
18,0-20,0	25
20,0 и более	15
Итого	100

Определить среднюю выработку  одного рабочего и моду, медиану.

 

Решение:

 

Среднюю выработку одного рабочего найдем при помощи средней арифметической взвешенной.

Для расчёта средней арифметической взвешенной интервального ряда распределения определим центральное (серединное) значение признака в каждом интервале. На каждый открытый интервал условно распространим величину смежного закрытого интервала:

Группы рабочих по выработке продукции, тыс. руб. (Х)	Число рабочих, чел. (F)	Центральное (серединное) значение интервала (Xc), руб
До 14,0	10	((14-2)+14)/2 = 13
14,0 – 16,0	15	(14+16)/2 = 15
16,0 – 18,0	35	(16+18)/2 = 17
18,0-20,0	25	(18+20)/2 = 19
20,0 и более	15	(20+(20+2))/2 = 21
Итого	100

 

Средняя выработка одного работника организации составляет:

 

Хср. = (13*10+15*15+17*35+19*25+21*15)/100 = 1740/100 = 17,4 тыс. руб.

 

В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле:   

• _ХМ0 – нижняя граница модального интервала;
• h  - величина (шаг, ширина) модального интервала;
• f₁ - локальная частота интервала, предшествующего модальному;
• f₂ - локальная частота модального интервала;
• f₃ - локальная частота интервала, следующего за модальным.

Модой называется величина признака (варианта), которая чаще всего встречается  в данной совокупности.

Модальным интервалом будет 16,0-18,0, поскольку вариация числа рабочих с данным признаком  чаще других.

Соответственно нижней границей модального интервала будет 16,0 (тыс. руб.).

Мо = 16 + 2* = 16+2*20/30 = 17,33 тыс. руб.

 

Медиана интервального вариационного  ряда распределения определяется по формуле:

Где  Х_Ме – нижняя граница медианного интервала;

h_Me – величина медианного интервала;

∑f  - сумма частот ряда;

S_Me-1-сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному интервалу;

f_Ме – частота медианного интервала.

Медианной - это варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам, по обе стороны от нее (вверх и вниз) находится одинаковое количество единиц совокупности.

Для интервально вариационного  ряда медианой будет являться сумма накопленных частот, превышающих половину суммы всех значений ряда.

Группы рабочих по выработке продукции, тыс. руб. (Х)	Число рабочих, чел. (F)	Сумма накопленных частот
До 14,0	10	10
14,0 – 16,0	15	25
16,0 – 18,0	35	60
18,0-20,0	25	-
20,0 и более	15	-
Итого	100	-

 

В данном примере сумма накопленных  частот, превышающих половину суммы всех значений ряда, соответствует интервалу 16,0-18,0. .Это и есть медианный интервал, т.е. интервал, в котором находится медиана ряда. Т.е. в нашем случае модальный и медианный интервалы одинаковы.

Определим значение медианы:

Ме = 16 + 2*((100/2 – 25)/35) = 17,43 тыс. руб.

 

Ответ: Средняя выработка одного рабочего – 17,4 тыс. руб., мода – 17,33 тыс. руб., медиана – 17,43 тыс. руб.

Задача 3

 

Регионы	Уровень краж (на 100 000 жителей)	Уровень доходов (руб./чел.)
Республика Башкортостан	507	3144
Република Марий Эл	594	1769
Республика Мордовия	442	2080
Республика Татарстан	570	3266
Удмурская Республика	574	2467
Чувашская Республика	425	2031
Кировская область	560	2450
Нижегородская область	642	3175
Оренбургская область	578	2466
Пензенская область	322	2164
Пермская область	962	3992
Самарская область	614	4239
Саратовская область	512	2625
Ульяновская область	449	2297

 Найти результативный признак,  по формуле найти коэффициент,  по результативному признаку  найти Xmin и Xmax.

 

Решение:

Построим график

 

Наблюдается линейная зависимость  показателей – уровень краж зависит  от доходов населения.

При прямолинейной форме связи  показатель тесноты связи определяется по формуле линейного коэффициента корреляции r:

 

Построим модель линейной парной регрессии

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
X	3144	1769	2080	3266	2467	2031	2450	3175	2466	2164	3992	4239	2625	2297
Y	507	594	442	570	574	425	560	642	578	322	962	614	512	449

 

Уравнение линейной регрессии имеет  вид:

Y = a₀ + a₁*t

Параметры уравнения a₀ и a₁ определим при помощи системы двух нормальных уравнений, отвечающих требованию метода наименьших квадратов.

Система уравнений примет вид:

Построим таблицу предварительных  расчетов:

T	X	Y	Xi * Yi	X2	Y2
1	2	3	4	5	6
1	3144	507	1594008	9884736	257049
2	1769	594	1050786	3129361	352836
3	2080	442	919360	4326400	195364
4	3266	570	1861620	10666756	324900
5	2467	574	1416058	6086089	329476
6	2031	425	863175	4124961	180625
7	2450	560	1372000	6002500	313600
8	3175	642	2038350	10080625	412164
9	2466	578	1425348	6081156	334084
10	2164	322	696808	4682896	103684
11	3992	962	3840304	15936064	925444
12	4239	614	2602746	17969121	376996
13	2625	512	1344000	6890625	262144
14	2297	449	1031353	5276209	201601
ИТОГО:	38165	7751	22055916	111137499	4569967