Понятие средней величины

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО  «Российский заочный институт текстильной  и легкой промышленности»

Средние величины как статистические показатели

Курсовая  работа

по  дисциплине: ’’статистика’’

                                     Выполнила: студентка 2 курса

                                     Специальности 080502 СП

                                     Валеева Регина Радиковна

                                     _____________________2010г.

                                     Проверила: Майский  Р.А.                  

                                     ______________________2010г. 

  

 

СОДЕРЖАНИЕ 

Введение            3

1. Понятие средней  величины. Область применения средних  величин в  5

    статистическом  исследовании

2. Виды средних  величин и методы их расчета      7

3. Понятие вариации. Показатели вариации             14

4. Виды (показатели) дисперсий и правило их сложения           17

5. Заключение                  19

Список литературы                 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     ВВЕДЕНИЕ

     Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

     Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.

     Вычисление  среднего – один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей.

     Для того, чтобы средний показатель был  действительно типизирующим, он должен рассчитываться с учетом определенных принципов.

     Остановимся на некоторых общих принципах  применения средних величин. 
1. Средняя должна определяться для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц.

2. Средняя  должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц.

3. Средняя  должна рассчитываться для совокупности, единицы которой находятся в  нормальном, естественном состоянии.

4. Средняя  должна вычисляться с учетом  экономического содержания исследуемого  показателя. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Средние величины используются на этапе обработки и обобщения полученных первичных статистических данных. Потребность определения средних величин связана с тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы.

     Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.

     Если  исследуется совокупность с качественно  однородными признаками, то средняя  величина выступает здесь как типическая средняя. Например, для групп работников определенной отрасли с фиксированным уровнем дохода определяется типическая средняя расходов на предметы первой необходимости, т.е. типическая средняя обобщает качественно однородные значения признака в данной совокупности, каковым является доля расходов у работников данной группы на товары первой необходимости.

     При исследовании совокупности с качественно  разнородными признаками на первый план может выступить нетипичность средних  показателей. Такими, к примеру, являются средние показатели произведенного национального дохода на душу населения (разные возрастные группы), средние показатели урожайности зерновых культур по всей территории России (районы разных климатических зон и разных зерновых культур), средние показатели рождаемости населения по всем регионам страны, средние температуры за определенный период и т.д. Здесь средние величины обобщают качественно разнородные значения признаков или системных пространственных совокупностей (международное сообщество, континент, государство, регион, район и т.д.) или динамических совокупностей, протяженных во времени (век, десятилетие, год, сезон и т.д.). Такие средние величины называют системными средними.

Таким образом, значение средних величин  состоит в их обобщающей функции. Средняя величина заменяет большое число индивидуальных значений признака, обнаруживая общие свойства, присущие всем единицам совокупности. Это, в свою очередь, позволяет избежать случайных причин и выявить общие закономерности, обусловленные общими причинами. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.

Используются  две категории средних величин:

- степенные средние;

- структурные средние.

     Первая  категория степенных средних  включает: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, среднюю квадратическую и среднюю геометрическую.

     Вторая  категория (структурные средние) - это  мода и медиана.

Введем  следующие условные обозначения:

- величины, для которых исчисляется  средняя;

- средняя, где черта сверху  свидетельствует о том, что  имеет место осреднение индивидуальных значений;

- частота (повторяемость индивидуальных  значений признака).

Различные средние выводятся из общей формулы  степенной средней:

(5.1)

при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя  гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая.

     Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней.

     Средняя арифметическая - самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности.

Формула средней арифметической (простой) имеет вид

(5.2)

где n - численность совокупности.

Например, средняя заработная плата работников предприятия вычисляется как  средняя арифметическая:

Определяющими показателями здесь являются заработная плата каждого работника и  число работников предприятия. При  вычислении средней общая сумма заработной платы осталась прежней, но распределенной как бы между всеми работниками поровну. К примеру, необходимо вычислить среднюю заработную плату работников небольшой фирмы, где заняты 8 человек:

При расчете  средних величин отдельные значения признака, который усредняется, могут  повторяться, поэтому расчет средней  величины производится по сгруппированным  данным. В этом случае речь идет об использовании средней арифметической взвешенной, которая имеет вид

(5.3)

Так, нам  необходимо рассчитать средний курс акций какого-то акционерного общества на торгах фондовой биржи. Известно, что сделки осуществлялись в течение 5 дней (5 сделок), количество проданных акций по курсу продаж распределилось следующим образом:

1 - 800 ак. - 1010 руб.

2 - 650 ак. - 990 руб.

3 - 700 ак. - 1015 руб.

4 - 550 ак. - 900 руб.

5 - 850 ак. - 1150 руб.

Исходным  соотношением для определения среднего курса стоимости акций является отношение общей суммы сделок (ОСС) к количеству проданных акций (КПА):

ОСС = 1010 ·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3 634 500;

КПА = 800+650+700+550+850=3550.

В этом случае средний курс стоимости акций  был равен

     Необходимо  знать свойства арифметической средней, что очень важно как для  ее использования, так и при ее расчете. Можно выделить три основных свойства, которые наиболее всего обусловили широкое применение арифметической средней в статистико-экономических расчетах.

Свойство первое (нулевое): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены.

Доказательство:

Свойство второе (минимальное): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное.

Доказательство.

Составим  сумму квадратов отклонений от переменной а:

(5.4)

Чтобы найти экстремум этой функции, необходимо ее производную по а приравнять нулю:

Отсюда  получаем:

(5.5)

Следовательно, экстремум суммы квадратов отклонений достигается при  . Этот экстремум - минимум, так как функция не может иметь максимума.

Свойство третье: средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: при а = const.

     Кроме этих трех важнейших свойств средней  арифметической существуют так называемые расчетные свойства, которые постепенно теряют свою значимость в связи с использованием электронно-вычислительной техники: