Разработка статистической модели. Определение вида функциональной зависимости

Санкт-Петербургский  государственный университет телекоммуникаций

Имени профессора Михаила Александровича Бонч-Бруевича

 

 

 

Пояснительная записка к курсовой работе по предмету моделирование систем

Разработка  статистической модели. Определение  вида функциональной зависимости

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

Студент группы ИСТ-93у

Нестеренко  И.А.

Проверил:

Липанова  И.А.

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ 4

  1 Разработка стохастической модели 6

  2 Оценка нормальности распределения 8

     2.1 Критерий согласия χ² (Пирсона). .8

     2.2 Критерий согласия Колмогорова-Смирнова…………………………………….................9

     2.3 Оценка нормальности распределения конечного систолического объема.…………….10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 13

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ  14

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Очень трудно представить какую-либо человеческую деятельность, в которой бы не использовалось моделирование. Наиболее популярным методом исследования и оптимизации функционирования систем является имитационное моделирование. Имитационное моделирование включает в себя два основных процесса: первый — конструирование модели реальной системы, второй — постановка экспериментов на этой модели. При этом могут преследоваться следующие цели: понять поведение системы; выбрать стратегию, обеспечивающую наиболее эффективное функционирование системы. Как правило, имитационное моделирование осуществляется с помощью компьютеров. Условия применения имитацииного моделирования:

1. Не существует законченной  математической постановки данной  задачи, либо еще не разработаны  аналитические методы решения  сформулированной математической  модели.

2. Аналитические модели имеются,  но процедуры столь сложны и трудоемки, что имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи.

3. Аналитические решения существуют, но их реализация не возможна вследствие недостаточной математической подготовки имеющегося персонала.

Таким образом, основным достоинством имитационного моделирования является то, что этим методом можно решать более сложные задачи. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать случайные воздействия и другие факторы, которые создают трудности при аналитическом исследовании. При имитационном моделировании воспроизводится процесс функционирования системы во времени. Причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Модели не решают, а осуществляют прогон программы с заданными параметрами, меняя параметры, осуществляя прогон за прогоном. Имитационное моделирование имеет ряд существенных недостатков, которые также необходимо учитывать.

1. Исследования с помощью  этого метода обходятся дорого.

Причины:

• для построения модели и экспериментирования на ней необходим высококвалифицированный специалист-программист;
• необходимо большое количество машинного времени, поскольку метод основывается на статистических испытаниях и требует многочисленных прогонов программ;
• модели разрабатываются для конкретных условий и, как правило, не тиражируются.

2. Велика возможность  ложной имитации. Процессы в логистических системах носят вероятностный характер и поддаются моделированию только при введении определенного рода допущений. Поэтому разработка и применение имитационных моделей в большей степени искусство, чем наука. Следовательно успех или неудача в большей степени зависит не от метода, а от того, как он применяется.

Метод имитационного моделирования применяется на этапах разработки сложных проектов. Например, человеческий организм, который описывается большим числом параметров, в частности конечный диастолический объем (КДО) – это параметр, характеризующий состояние сердечной мышцы. Исследование функционального состояния сердечной мышцы производится с помощью эхокардиографа, дающего ультразвуковое изображение структур сердца. Эхокардиография диагностирует пороки сердца, сердечную недостаточность, причины шумов сердца. В последнее время  число людей, занимающихся спортом и не только, с сердечными аномалиями резко увеличивается и поэтому эта задача является актуальной.

      В ходе выполнения данной работы  была разработана стохастическая модель для оценки нормальности распределения конечного систолического объема. А так же определили, оказывает ли лазерная терапия крови на состояние сердечной мышцы.

 

 

 

 

 

 

 

 

РАЗРАБОТКА  СТОХАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Если  некоторые элементы системы ведут  себя стохастически (случайно), возникает  проблема, как проверить совместимость  экспериментальных данных с некоторым теоретическим распределением. Для этого строят гистограмму по экспериментальным данным.

Гистограмма – выборочная функция плотности распределения случайных величин.

По  гистограмме  высказывается гипотеза гипотеза относсительного распределения случайной величины.

Если  случайная величина дискретная , то записывают частоту появления, каждого его значения – это гистограмма для дискретной величины.

В нашей работе случайная величина непрерывная:

1. Рзабиваем диапазон ее значений на равные интервалы τi , число которых k берут в интервале от 15 до 20 (для наших данных от 5 до 10).

2. Записываем частоту появления каждого интервала, как число попаданий ni в соответствующий интервал τi.

3. Рассчитываем относительную частоту каждого интервала fi = ni / N , где N общее число значений. На каждом отрезке τi строится прямоугольник высотой ni / N * τi.

Посторим гистограмму на основе выданных конечных диастолических объемов с помощью эхокардиографа.

Количество экпериментальных данных = 74

Минимальное значение 66,3 , максимальное 176,8.

Разбиваем даипазон значений на равные интервалы. Следовательно, разбиваем для удобства, на 8, где диапазон каждого из интервалов τi = (176,8-66,3)/8≈13,8

Записываем частоту появления  эксперимента на каждом интервале и  рассчитываем относительную частоту появления данных на каждом инетрвале fi=ni/74.

Все подробные расчёты  производились с помощью приложения MS Excel.

Полученные данные:

Таблица 1 – Значения частот появления в  интервалах

№	τi	ni	fi
1	66,3 - 80,1	8	0,11
2	80,2 - 94,0	10	0,14
3	94,1 - 107,4	11	0,15
4	107,5 - 121,3	19	0,26
5	121,4 - 135,2	12	0,16
6	135,3 - 149,1	7	0,09
7	149,2 - 163,0	4	0,05
8	163,1 - 176,8	3	0,04

Рисунок 1 – Гистограмма по экспериментальным данным

 

 

 

 

ОЦЕНКА НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Схема решения:

1. Строят по результатам эксперимента  гистограмму.

2. Выдвигают гипотезу о соответствии  выборочного закона распределения  какому-либо теоретическому.

3. Проверяют гипотезу какого-либо  из критериев – критерии χ² или критерии Колмогорова-Смирнова.

Критерий  согласия χ² (Пирсона).

В качестве критерия χ² выбирают величину, которую характеризует степень расхождения имперического или выборочного и теоретического законов распределения.

 

 

ni – число значений, попавших в этот интервал;

pi – вероятность попадания случайной величины в этот интервал;

k – число разрядов (интервалов) гистограммы;

N – объем выборки.

При N→∞ случайная величина χ² приближается к закону расрпделения χ² к _υ степеням свободы.

Закон распределения или функции плотности  распределения для разных степеней свободы _υ и доверительныхвероятностей – табулирован или сведен к таблице.

Если χ²=0, то выборочное и теоретическое распределения совпадают. Если χ²>0, то совпадений нет.

При малых  объемах выборки критерий χ² не применим.

Условия применения χ²:

1. При вычислении χ² используют абсолютные частоты, а не относительные.

2. Значение частот выборочного  распределения для каждого интервала  должны быть больше, либо равны  5, иначе интервалы объединяют.

3. Число степеней свободы _υ рассчитывают _υ =k-m-1, где k – число интервалов гистограммы; m – число параметров теоретического распрделения (параметры –

математического ожидания и дисперсия).

 

Использование на практике:

1. Высказывается гипотеза, что между выборочным и теоретическом  распределениями расхождений нет.

2. Рассчитывается величина χ². Если рассчетная величина χ² больше критического значения, определенного по таблице, для заданногочисла степеней свободы и заданного уровня доверительной информации, то выборочное распределение значительно отличается от теоретического. Гипотеза отвергается, в противном применяется.

Критеририй согласия Колмогорова-Смирнова

Проверка согласованности  двух распределений, выборочного и  теоретического, делается по интегральному  закону. Сравнение происходит на том  интервале гистограммы в котором  экспериментальное распределение  имеет наибольшее абсолютное отклонение от теоретического. Это отклонение сопоставляют с критическим значением, с целью определения – случается  ли это отклонение случайным.

Если рассчетное значение больше табличного, то гипотеза по согласованности  законов распределения отвергается.

 

 

 

 

 

 

Оценка нормальности распределения конечного систолического объема

Выдвинем гипотезу – параметры КДО распределены по нормальному закону.

Оценим нормальность распределиния критерием согласия Колмогорова-Смирнова.

Опираясь, на условия критерия, в полученной нами гистограмме объединяем два  последних интервала:

Таблица 2 – Значения частот появления в  интервалах

№	τi	ni	fi
1	66,3 - 80,1	8	0,11
2	80,2 - 94,0	10	0,14
3	94,1 - 107,4	11	0,15
4	107,5 - 121,3	19	0,26
5	121,4 - 135,2	12	0,16
6	135,3 - 149,1	7	0,09
7	149,2 - 176,8	7	0,09

 

Рисунок 2 – Гистограмма по экспериментальным данным

 

 

При полученным данным рассчитаем χ² для каждого интервала:

Таблица 3 -  Рассчет χ² на каждом инетрвале

№	τi	ni	fi	Npi	χ2
1	66,3 - 80,1	8	0,11	10,57	0,625483
2	80,2 - 94,0	10	0,14	10,57	0,030888
3	94,1 - 107,4	11	0,15	10,57	0,017375
4	107,5 - 121,3	19	0,26	10,57	6,720077
5	121,4 - 135,2	12	0,16	10,57	0,19305
6	135,3 - 149,1	7	0,09	10,57	1,206564
7	149,2 - 176,8	7	0,09	10,57	1,206564
k=7		ni=74	fi=1	гипотеза	10