Ряды динамики

                                                                (13)

    В моментном ряду динамики с неравноотстоящими  датами средний уровень определяется по формуле 14:

                                                     ,                                 (14)

    где – уровни ряда динамики, сохранившиеся без изменения в течение промежутка времени .

    Средний абсолютный прирост представляет собой  обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики. Для определения среднего абсолютного  прироста сумма цепных абсолютных приростов делится на их число n (формула 15):

                                                                              (15)

    Средний абсолютный прирост может определяться по абсолютным уровням ряда динамики. Для этого определяется разность между конечным и базисным уровнями изучаемого периода , которая делится на m – 1 субпериодов (формула 16):

                                                                                 (16)

    Основываясь на взаимосвязи между цепными  и базисными абсолютными приростами, показатель среднего абсолютного прироста можно определить по формуле 17:

                                                                                     (17)

    Средний темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики . Для определения среднего темпа  роста  применяется формула 18:

                                                            (18)

    где Тр1 , Тр2  , ... , Трn  -- индивидуальные (цепные) темпы роста (в коэффициентах), n - число индивидуальных темпов роста.

    Средний темп роста можно определить и  по абсолютным уровням ряда динамики по формуле 19:

                                                                             (19)

       На основе взаимосвязи между  цепными и базисными темпами  роста средний темп роста можно  определить по формуле 20:

                                                                               (20)

    Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между темпами  роста и прироста . При наличии  данных о средних темпах роста  для получения средних темпов прироста используется зависимость , выраженная формулой 21:

                                                                                    (21)

    (при  выражении среднего темпа роста  в коэффициентах)

          
 

3. Проверка  ряда на наличие тренда. Непосредственное выделение  тренда

    Изучение  тренда включает в себя два основных этапа:

1. Ряд динамики проверяется на наличие тренда
2. Производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных показателей – результатов.

    Проверка  на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям.

1. Метод средних. Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два), для каждого из которых определяется средняя величина ( ). Выдвигается гипотеза о существенном различии средних . Если эта гипотеза принимается , то признается наличие тренда.
2. Фазочастотный критерий знаков первой разности (критерий Валлиса и Мура). Суть его заключается в следующем: наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае, если этот ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы – изменение знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста).
3. Критерий Кокса и Стюарта. Весь анализируемый ряд динамики разбивают на три равные по числу уровней группы (в том случае , когда число уровней ряда не делится на три , недостающие уровни надо добавить) и сравнивают между собой уровни первой и последней групп.
4. Метод серий. По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов: например, если уровень ряда меньше медианного значения, то считается, что он имеет тип А, в противном случае – тип В. Теперь последовательность уровней выступает как последовательность типов. В образовавшейся последовательности типов определяется число серий (серия – любая последовательность элементов одинакового типа, с обоих сторон граничащая с элементами другого типа).

          Если в ряду динамики общая тенденция к росту или  снижению отсутствует, то количество серий  является случайной величиной, распределенной приближенно по нормальному закону (для n > 10). Следовательно, если закономерности в изменениях уровней нет, то случайная величина R оказывается в доверительном интервале

     .

    Параметр  t назначается в соответствии с принятым уровнем доверительной вероятности Р.

    Среднее число серий вычисляется по формуле 22 :

                                               .                                  (22)

    Среднее квадратическое отклонение числа серий  вычисляется по формуле 23:

                                              .                             (23)

    здесь n - число уровней ряда .

    Выражение для доверительного интервала приобретает  вид 

    

    Полученные  границы доверительного интервала  округляют до целых чисел, уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю.

    Непосредственное  выделение тренда может быть произведено тремя методами:

1. Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов . Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления , переходят к расчету уровней за большие промежутки времени , увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов) .
2. Скользящая средняя. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами , которые получают из данного уровня и нескольких  симметрично его окружающих . Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение , называют интервалом сглаживания. Интервал может быть нечетным (3,5,7 и т.д. точек) или четным (2,4,6 и т.д. точек).

          При нечетном сглаживании  полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала , при четном это делать нельзя . Поэтому при обработке  ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными , для чего образуют ближайший больший нечетный интервал , но из крайних его уровней берут  только 50%.

    Недостаток  методики сглаживания скользящими  средними состоит в условности определения  сглаженных уровней для точек  в начале и конце ряда . Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной . Так , при сглаживании по трем точкам выровненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле 24 : 

                           .                              (24) 

    Для последней точки расчет симметричен .

    При сглаживании по пяти точкам имеем  такие уравнения (формулы 25): 

                                        (25) 

    Для последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью симметричен  сглаживанию в двух начальных  точках .

    Формулы расчета по скользящей средней выглядят , в частности , следующим образом (формула 26): 

    для 3-членной    .                                 (26) 

3. Аналитическое выравнивание. Под этим понимают определение  основной проявляющейся во времени  тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени . В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий , суммарный , проявляющийся во времени  результат действия всех причинных  факторов. Отклонение конкретных уровней  ряда от уровней , соответствующих общей  тенденции, объясняют действием  факторов , проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели , выраженной формулой 27:

 

                                           ,                                     (27) 

    где f(t) – уровень, определяемый тенденцией развития;

              - случайное и циклическое отклонение от тенденции.

    Целью аналитического выравнивания динамического  ряда является определение аналитической  или графической зависимости  f(t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом , чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса .

    Чаще  всего при выравнивании используются следующий зависимости :

    линейная  ;

    параболическая  ;

    экспоненциальная 

    или ).

1. Линейная зависимость выбирается в тех случаях , когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты , не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.
2. Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.
3. Экспоненциальные зависимости применяются , если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста , темпов прироста , коэффициентов роста) , либо , при отсутствии такого постоянства , -- устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.д.).

          Оценка параметров ( ) осуществляется следующими методами:

1. Методом избранных точек,
2. Методом наименьших расстояний,
3. Методом наименьших квадратов (МНК)

    В большинстве расчетов используется метод наименьших квадратов , который  обеспечивает наименьшую сумму квадратов  отклонений фактических уровней  от выравненных :

     .

    Для линейной зависимости ( ) параметр обычно интерпретации не имеет , но иногда его рассматривают , как обобщенный начальный уровень ряда ; -- сила связи , т. е. параметр , показывающий , насколько изменится результат при изменении времени на единицу . Таким образом , можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост .

    Построив  уравнение регрессии , проводят оценку его надежности . Это делается посредством  критерия Фишера (F) . Фактический уровень ( ) , вычисленный по формуле 28, сравнивается с теоретическим (табличным) значением: 

                ,         (28) 

    где k - число параметров функции , описывающей тенденцию;

          n  - число уровней ряда.