Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений

                                         (1.17)

для параболы второго порядка (yt = a0 + a1t + a2t2):

                             (1.18)

Решение системы (1.17) относительно искомых параметров а0 и а1 дает:

В статической практике применяется упрощенный расчет параметров уравнений, который заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. В этом случае упрощаются сами нормальные уравнения, кроме того уменьшаются абсолютные значения величин, участвующих в расчете. В самом деле, если до переноса начала координат t было равно 1, 2, 3, …, n, то после переноса t = … -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …, если число членов ряда нечетное. Если же число членов ряда четное, то t = …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … Следовательно, t и все tp у которых "р" - нечетное число, равны 0. Таким образом, все члены уравнений, содержащие t с такими степенями могут быть исключены. Системы нормальных уравнений теперь упрощаются для прямой:

                                          (1.19)

для параболы второго порядка:

                                    (1.20)

Решая системы (1.19), (1.20) относительно неизвестных параметров, получим величины параметров соответствующих полиномов.

Параметр а1 выражает начальную скорость роста, а коэффициент а2 - постоянную скорость изменения прироста.

При сглаживании ряда динамики по показательной кривой (yt = abt) для определения параметров применяется метод наименьших квадратов к логарифмам исходных данных. Так, для нахождения параметров показательной функции необходимо решить следующую систему уравнений:

                                 (1.21)

Если , то параметры уравнения lg a0 и lg a1 находим по формулам:

Пример.

Необходимо определить основную тенденцию ряда динамики поголовья коров в хозяйстве за 1995-2004 гг. по следующим данным (см. табл. 1.4).

Таблица 1.4

Объем продаж (млн. руб.)

Проиллюстрируем выравнивание по прямой. Из данных таблицы 1.4. находим

Отсюда

Уравнение прямой будет иметь вид: . По уравнению найдем расчетные значения выровненных рядов динамики.

Полученное уравнение показывает, что объем продаж растет в среднем на 0,25 млн. руб. в год. Таким образом, величина параметра а1 в уравнении прямой показывает среднюю величину абсолютного прироста выровненного ряда динамики.

Сумма уровней эмпирического ряда () полностью совпало с суммой расчетных значений выровненного ряда ().

Результаты произведенного аналитического выравнивания ряда динамики коров за 1995 - 2004 гг. и фактические данные отражены на рисунке 1.2.

Рис. 1.2. Динамика объема продаж торговой компании за 1995-2004 гг.

1.6. Методы выявления сезонной компоненты

При рассмотрении квартальных или месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются определенные, постоянно повторяющиеся колебания, которые существенно не изменяются за длительный период времени. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также ряда многочисленных разнообразных факторов, которые частично являются регулируемыми. В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название "сезонных колебаний" или "сезонных волн", а динамический ряд в этом случае называют тренд-сезонным, или простосезонным рядом динамики.

Сезонные колебания характеризуются специальным показателями, которые называются индексами сезонности (Is). Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней.

Для выявления сезонных колебаний обычно берут данные за несколько лет, распределенные по месяцам. Данные за несколько лет (обычно не менее трех) берутся для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года.

Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания.

Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например, за три года (), затем из них рассчитывается среднемесячный уровень для всего ряда () и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, то есть:

                                                 (1.22)

Пример.

За 2002-2004 гг. по месяцам имеются данные о продаже молока на рынках сельхозпродуктов города. Рассчитать индексы сезонности методом постоянной средней (табл. 1.5).

Таблица 1.5

Рассчитанные индексы сезонности характеризуют сезонную волну продажи молока во внутригодовой динамике, где пики продаж приводятся на февраль и июль месяцы.

Если же ряд динамики содержит определенную тенденцию в развитии, то прежде чем вычислить сезонную волну, фактические данные должны быть обработаны так, чтобы была выявлена общая тенденция. Обычно для этого прибегают к аналитическому выравниванию ряда динамики.

При использовании способа аналитического выравнивания ход вычислений индексов сезонности следующий:

по соответствующему полиному вычисляются для каждого месяца (квартала) выравненные уровни на момент времени (t);

вычисляются отношения фактических месячных (квартальных) данных (yi) к соответствующим выравненным данным () в процентах 

находятся средние арифметические из процентных отношений, рассчитанных по одноименным периодам в процентах

Ii = (I1 + I2 + I3 + … + In) / n,                                    (1.23)

где:

n - число одноименных периодов.

В общем виде формулу расчета индекса сезонности данным способом можно записать так:

                                                 (1.24)

1.7. Элементы прогнозирования и интерполяции

Анализ динамики социально-экономических явлений, выявление и характеристика основной тенденции развития дают основание для прогнозирования - определения будущих размеров уровня экономического явления.

Процесс прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем, то есть прогноз основан на экстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективой и в прошлое - ретроспективой. Обычно, говоря об экстраполяции рядов динамики, подразумевают чаще всего перспективную экстраполяцию. Первоначальные прогнозы, как правило, сводятся к экстраполяции тенденции. При этом могут использоваться разные методы, в зависимости от исходной информации. Можно выделить следующие элементарные методы экстраполяции: среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и экстраполяция на основе применения метода наименьших квадратов к динамическому ряду и представления развития явлений во времени в виде уравнения тренда, т.е. математической функции уровней ряда (y) от фактора времени (t).

Прогнозирование по среднему абсолютному приросту может быть выполнено в том случае, если есть уверенность считать общую тенденцию линейной, то есть представленной в виде прямой, проведенной через две крайние точки.

Для нахождения интересующего нас аналитического выражения тенденции на t шагов вперед (t - период упреждения) необходимо определить средний абсолютный прирост и последовательно прибавить его к последнему уровню ряда столько раз, на сколько периодов экстраполируется ряд, то есть достаточно воспользоваться следующей формулой:

                                           (1.25)

где:

- экстраполируемой уровень, (i+t) - номер этого уровня (года);

i - номер последнего уровня (года) исследуемого периода, за который рассчитан ;

t - срок прогноза (период упреждения);

- средний абсолютный прирост.

Прогнозирование по среднему темпу роста можно осуществлять в случае, когда есть основание считать, что общая тенденция ряда характеризуется показательной (экспоненциальной) кривой. Для нахождения тенденции в этом случае необходимо определить средний коэффициент роста, возведенный в степень, соответствующую периоду экстраполяции, то есть по формуле:

                                       (1.26)

где:

yi - последний уровень ряда динамики;

t - срок прогноза;

- средний коэффициент роста.

Если же ряду динамики свойственна иная закономерность, то данные, полученные при экстраполяции на основе среднего темпа роста, будут отличаться от данных, полученных другими способами экстраполяции.

Рассмотренные способы экстраполяции тренда, будучи простейшими, в то же время являются и самыми приближенными.

Поэтому наиболее распространенным методом прогнозирования является аналитическое выражение тренда. При этом для выхода за границы исследуемого периода достаточно продолжить значения независимой переменной времени (t).

При таком подходе к прогнозированию предполагается, что размер уровня, характеризирующего явление, формируется под воздействием множества факторов, причем не представляется возможным выделить отдельно их влияние. В связи с этим ход развития связывается не с какими-либо конкретными факторами, а с течением времени, то есть y = f(t).

Поэтому целесообразно определение доверительных интервалов прогноза.

Величина доверительного интервала определяется следующим образом:

                                            (1.27)

где:

- средняя квадратическая ошибка тренда;

- расчетное значение уровня;

- табличное значение t-критерия Стьюдента с n-1 степенями свободы и уровнем вероятности p.

Вместо - критерия удобно использовать коэффициент (К*).

                     (1.28)

Значение К зависит только от n и L, т.е. продолжительности наблюдения и периода упреждения. При увеличении продолжительности наблюдения (n) значения К* уменьшаются, наоборот, с ростом величины L они растут.