Теоретические основы выборочного наблюдения.Понятие выборочного наблюдения и его задачи

                 К собственно – случайной выборке  относится отбор единиц из  всей генеральной совокупности (без  предварительного расчленения ее  на какие – либо группы) посредством  жеребьевки (преимущественно) или  какого – либо иного подобного  способа, например, с помощью таблицы  случайных чисел. Случайный отбор  – это отбор не беспорядочный.  Принцип случайности предполагает, что на включение или исключение  объекта из выборки не может  повлиять какой – либо фактор, кроме случая. Примером собственно  – случайного отбора могут  служить тиражи выигрышей: из  общего количества выпущенных  билетов наугад отбирается определенная  часть номеров, на которые приходятся  выигрыши. Причем всем номерам  обеспечивается равная возможность  попадания в выборку. При этом  количество отобранных в выборочную  совокупность единиц обычно определяется  исходя из принятой доли выборки. 

                 Доля выборки есть отношение  числа единиц выборочной совокупности  к числу единиц генеральной  совокупности:

                                                     Кв. = n / N.

                 Собственно – случайный отбор  «в чистом виде» применяется  в практике выборочного наблюдения  редко, но он является исходным  среди всех других видов отбора, в нем заключаются и реализуются  основные принципы выборочного  наблюдения.

                 Рассмотрим некоторые вопросы  теории выборочного метода, и  формулы ошибок для простой  случайной выборки.

                 Применяя выборочный метод в  статистике, обычно используют два  основных вида обобщающих показателей:  среднюю величину количественного  признака и относительную величину  альтернативного признака (долю  или удельный вес единиц в  статистической совокупности, которые  отличаются от всех других  единиц этой совокупности только  наличием изучаемого признака).

                 Выборочная доля w, или частость, определяется отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком m, к общему числу единиц выборочной совокупности n:   w = m / n. 

          Например, если из 100 деталей выборки  (n = 100), 95 деталей оказались стандартными (m = 95), то выборочная доля   w = 95 / 100 = 0.95. Даже в том случае, если отбор единиц проведен правильно, выборочные показатели не всегда совпадают с искомыми параметрами генеральной совокупности. Разница между показателями генеральной и выборочной совокупности называется ошибкой выборки. Общая величина возможной ошибки выборочной характеристики слагается из ошибок двух видов: ошибки регистрации и ошибки репрезентативности.

            Ошибки регистрации присущи любому  статистическому наблюдению, и появление  их может быть вызвано несовершенством  измерительных приборов, недостаточной  квалификацией наблюдателя, неточностью  подсчетов.

            Ошибки репрезентативности характерны  только для несплошного наблюдения. Они могут быть систематическими  и случайными. Систематические ошибки могут появляться в связи с особенностями применяемых способов отбора и обработки данных или в связи с нарушением установленных правил отбора. Случайные ошибки репрезентативности возникают в связи с недостаточно равномерным представлением в выборочной совокупности различий единиц генеральной совокупности.

       Особенность выборочного наблюдения состоит  в том, что величину этих ошибок можно  рассчитать и решить вопрос о целесообразности выборки.

            Ошибка выборки зависит от  численности выборки и от вариации  признака в генеральной совокупности. Чем больше численность выборки,  тем меньше ошибка, чем больше  вариация признака, тем больше  ошибка.

            При расчете средней ошибки  случайной бесповторной выборки  необходимо учитывать поправку  на бесповторность отбора.

                Для характеристики надежности  выборочных показателей различают  среднюю и предельную ошибки  выборки.

           Ошибка выборки ε или, иначе  говоря, ошибка репрезентативности  представляет собой разность  соответствующих выборочных и  генеральных характеристик: 

       для средней количественного признака        

         ε = | x* - x |;                                                                                                       

       для доли (альтернативного признака)        

       ε = | w – p |;                                                                                                        

                 Ошибка выборки свойственна только  выборочным наблюдениям. Чем больше  значение этой ошибки, тем в  большей степени выборочные показатели  отличаются от соответствующих  генеральных показателей.

                 Выборочная средняя и выборочная  доля по всей сути являются  случайными величинами, которые  могут принимать различные значения  в зависимости от того, какие  единицы совокупности попали  в выборку. Следовательно, ошибки  выборки также являются случайными  величинами и могут принимать  различные значения. Поэтому определяют  среднюю из возможных ошибок  – среднюю ошибку выборки μ.

         Средняя ошибка выборки – это среднее квадратическое отклонение  всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т. е. от своего математического ожидания.

         От чего зависит средняя ошибка  выборки?       

       При собственно случайном повторном  отборе средняя ошибка выборки зависит  от:

       • вариации изучаемого признака в генеральной  совокупности;

       • объема выборки;

                 Чем больше вариация признака, тем больше ошибка выборки.  Для ее уменьшения необходимо  увеличить объем выборочной совокупности.

                 Отклонение выборочной характеристики  от генеральной называется предельной  ошибкой выборки ∆. Она определяется  в долях средней ошибки с  заданной вероятностью, т. е. ∆  = tμ

       где t – коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой определяется предельная ошибка выборки.

       При  вероятности:                                                                           Таблица 1.

                                      Р(t) = 0,683 t =1

                                      Р(t) = 0,866 t =1,5

                                      Р(t) = 0,954 t =2

                                      Р(t) = 0,988 t =2,5

                                      Р(t) = 0,997 t = 3

                                      Р(t) = 0,999 t = 3,5

           При собственно случайном бесповторном  отборе средняя ошибка выборки  зависит от:

       • вариации изучаемого признака;

       • объема выборки;

       • доли обследованных единиц.

                 Чем больше объем выборки и  доля обследованных единиц, тем  меньше ошибка выборки; вариация  признака связана с ней прямо  пропорционально.

                 Если доля обследованных единиц  невелика, то дополнительный множитель  под знаком радикала практически  не влияет на ошибку выборки.  В этом случае ошибку выборки  при бесповторном отборе можно  найти по формулам, которые применяются  при повторном отборе.

                 Наряду с абсолютной величиной  средней и предельной ошибок  выборки в статистической практике  используется относительная их  величина, рассчитываемая как отношение  ошибки к исследуемому параметру:  ∆отн = ∆ ⁄ x или ∆отн = ∆ ⁄ p. Теоретически в знаменателе должно быть значение исследуемого параметра генеральной совокупности. Однако оно неизвестно, поэтому относительная ошибка рассчитывается через соответствующий параметр выборки:  ∆отн = ∆ ⁄ x* или ∆отн = ∆ ⁄ w. Относительная ошибка выражается в процентах. Выборка считается репрезентативной, если  ∆отн <=5%.

       При соблюдении принципа случайного отбора средняя ошибка выборки определяется, прежде всего, объемом выборки: чем  больше численность при прочих равных условиях, тем меньше величина средней  ошибки выборки. Охватывая выборочным обследованием все большее количество единиц генеральной совокупности, все  более точно характеризуем всю  генеральную совокупность.

                 Средняя ошибка также зависит  от степени варьирования изучаемого  признака. Степень варьирования, как  известно, характеризуется дисперсией  σ² или w (1−w) – для альтернативного признака. Чем меньше вариация признака, а, следовательно, и дисперсия, тем меньше средняя ошибка выборки, и наоборот. При нулевой дисперсии (признак не варьирует) средняя ошибка выборки равна нулю, т.е. любая единица генеральной совокупности будет совершенно точно характеризовать всю совокупность по этому признаку.

                 Зависимость средней ошибки выборки  от ее объема и степени варьирования  признака отражена в формулах, с помощью которых можно рассчитать  среднюю ошибку выборки в условиях  выборочного наблюдения, когда генеральные  характеристики (x, р) неизвестны, и, следовательно, не представляется возможным нахождение реальной ошибки выборки непосредственно по формулам.

                 Поскольку практически дисперсия  признака в генеральной совокупности  σ² точно неизвестна, на практике  пользуются значением дисперсии  S², рассчитанным для выборочной  совокупности на основании закона  больших чисел, согласно которому  выборочная совокупность при  достаточно большом объеме выборки  достаточно точно воспроизводит  характеристики генеральной совокупности.

                 Таким образом, расчетные формулы  средней ошибки выборки при  случайном повторном отборе будут  следующие: 

                 Для средней количественного признака     

       μ = √S² / n;                                                                                

                 Для доли (альтернативного признака)         

       μ = √w(1- w)/n                                                                          

                 Однако дисперсия выборочной  совокупности не равна дисперсии  генеральной совокупности, и, следовательно,  средние ошибки выборки, рассчитанные  по формулам (2.3) и (2.4), будут приближенными.  Но в теории вероятностей доказано, что генеральная дисперсия выражается  через выборную следующим соотношением: σ² = S² n / n – 1                               

                 Так как n/(n-1) при достаточно больших n – величина, близкая к единице, то можно принять, что σ² приблизительно равен S², а, следовательно, в практических расчетах средних ошибок выборки можно использовать формулы (см выше). И только в случаях малой выборки (когда объем выборки не превышает 30) необходимо учитывать коэффициент   

       n/(n-1) и исчислять среднюю ошибку малой выборки по формуле:

       μ= √S²/n-1                                                                                                                       

                 При случайном бесповторном отборе  в приведенные выше формулы  расчеты средних ошибок выборки  необходимо подкоренное выражение  умножить на 1-(n / N), поскольку в процессе бесповторной выборки сокращается численность единиц генеральной совокупности. Следовательно, для бесповторной выборки расчетные формулы средней ошибки выборки примут такой вид: