Выборочное наблюдение в статистике

(повторный отбор)                                                (3.17)

(бесповторный отбор)                                    (3.18)

Межгрупповую (межсерийную) дисперсию доли серийной выборки определяют по формуле:

                                                                                   (3.19)

Где - доля признака в i-й серии;

- общая доля признака во всей выборочной совокупности.

Все вышеприведенные формулы применимы для большой выборки. Кроме большой выборки используются так называемые малые выборки (где n < 30), которые могут иметь место в случаях нецелесообразности использования больших выборок.

При расчете ошибок малой выборки используют формулу средней ошибки:             

2) при определении доверительных интервалов исследуемого показателя в генеральной совокупности или при нахождении вероятности допуска той или иной ошибки необходимо использовать таблицы вероятности Стьюдента, где Р = S (t, n), при этом Р определяется в зависимости от объема выборки и t.

3.2  Предельная ошибка

Выборочные средние и относительные величины распространяют на генеральную совокупность с учетом предела их возможной ошибки.

В каждой конкретной выборке расхождение между выборочной средней и генеральной, то есть может быть меньше средней ошибки выборки μ, равно ей или больше ее.

Причем каждое из этих расхождений имеет различную вероятность (объективную возможность появления события). Поэтому фактические расхождения между выборочной средней и генеральной можно рассматривать как некую предельную ошибку, связанную со средней ошибкой и гарантируемую с определенной вероятностью P.

Собственно-случайный отбор.

Предельную ошибку выборки для средней () при повторном отборе можно рассчитать по формуле:

                                           (3.20)

Где t – нормированное отклонение – «коэффициент доверия», зависящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки;

- средняя ошибка выборки.

Аналогичным образом может быть записана формула предельной ошибки выборки для доли  при повторном отборе:

                                                                                          (3.21)

Предельную ошибку выборки для средней () при бесповторном отборе рассчитывают по формуле:

                                                                            (3.22)

Предельная ошибка для доли при бесповторном отборе  рассчитывается по формуле:

                                                                                   (3.23)

Формула предельной ошибки выборки вытекает из основных положений теории выборочного метода, сформулированных в ряде теорем теории вероятностей, отражающих закон больших чисел. На основании теоремы П.Л. Чебышева (с уточнениями А.М. Ляпунова) с вероятностью сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной генеральной дисперсии выборочные обобщающие показатели (средняя, доля) будут сколь угодно мало отличаться от соответствующих генеральных показателей.

Величина предельной ошибки выборки может быть установлена с определенной вероятностью. Коэффициент t  определяется в зависимости от того, с какой доверительной вероятностью P(t)  надо гарантировать результаты выборочного наблюдения. На практике используют готовые таблицы:

                          Таблица (1)

Касаемо расчета ошибки выборки в других видах выборочного отбора (например, типической и серийной), то необходимо отметить следующее.

Типический отбор

Для типической выборки величина стандартной ошибки зависит от точности определения групповых средних. Так, в формуле предельной ошибки типической выборки учитывается средняя из групповых дисперсий при повторном отборе, то есть:                                                                                                             

                              (3.24)

При типическом бесповторном  отборе:

(3.25)

где - средняя из межгрупповых дисперсий по каждой группе

При пропорциональном отборе из групп генеральной совокупности средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле:

                                (3.26)

Где - численности единиц выборочный совокупности.

Границы (пределы) средней по генеральной совокупности на основе данных типической выборки определяются по тому же неравенству, что и при собственно-случайной выборки. Предварительно лишь необходимо вычислить общую выборочную среднюю () из частных (). В случае пропорционального отбора используют формулу:                                  

                             (3.27)

При непропорциональном отборе средняя из межгрупповых дисперсий  исчисляется по формуле:     

                                       (3.28)

Где - численность единиц групп по генеральной совокупности.

В этом случае общая выборочная средняя определяется по формуле:

             (3.29)

Предельная ошибка доли признака при типическом повторном отборе находится по формуле:                                                                            

            (3.30)

При бесповторном отборе по формуле:

         (3.31)

Средняя дисперсия доли признака из групповых дисперсий доли при типической пропорциональной выборке находится по формуле:

     (3.32)

Средняя доля признака по выборке из показателей групповых долей рассчитывается по формуле:

   (3.33)

Средняя дисперсия доли при непропорциональном типическом отборе определяется по формуле:

                         (3.34)

А средняя доля признака по формуле:

                                           (3.35)

Серийный отбор.

При серийной выборке величина ошибки выборки зависит не от числа исследуемых единиц, а от числа обследованных серий (s) и от величины межгрупповой дисперсии:                                   

            (3.36)

Срийная выборка, как правило, проводится как бесповторная, и формула ошибки выборки в этом случае имеет вид:

                                                                           (3.37)                                        

где - межсерийная дисперсия;

s - число отобранных серий;

S - число серий в генеральной совокупности.

3.3  Относительная ошибка

Относительная ошибка выборки рассчитывается по формулам:

а) для средней:

   (3.38)

б) для доли:

       (3.39)

При < 25%, выборка репрезентативна для оценки и расчета средних показателе по совокупности.

При < 25%, выборка репрезентативна для оценки доли.

При и > 25% можно сделать вывод о нерепрезентативности выборки.
 

Раздел  4

Распространение выборочных результатов на генеральную совокупность

Конечной целью выборочного наблюдения является характеристика генеральной совокупности на основе выборочных результатов.

В зависимости от цели исследования применяются различные способы получения характеристик генеральной совокупности по показателям выборки.

Основными методами распространения выборочного наблюдения на генеральную совокупность являются прямой пересчет и способ коэффициентов.

Прямой пересчет есть произведение среднего значения признака на объем генеральной совокупности. Однако большое число факторов не позволяет в полной мере использовать точечную оценку прямого пересчета при распространении результатов выборки на генеральную совокупность. На практике чаще пользуются интервальной оценкой, которая дает возможность учитывать размер предельной ошибки выборки, которая рассчитана для средней или для доли признака.

Способ коэффициентов используется в тех случаях, когда выборочное наблюдение проводится для проверки и уточнения данных сплошного наблюдения.

При этом рекомендуется использовать формулу

                                                                                                  (4.1)

где Y1 - численность совокупности с поправкой на недоучет; Y0 - численность совокупности без этой поправки; y0 - численность совокупности в контрольных точках по первоначальным данным; y1 - численность совокупности в тех же точках по данным контрольных мероприятий.

Если нужно уточнить данные сплошного наблюдения при осуществлении контроля за выборочными исследованиями, необходимо определить поправку на недоучет. Метод расчета этой поправки широко применяется при исследовании небольших совокупностей, когда можно рассчитать коэффициент недоучета по каждой категории работников и, уточнив данные, распространить результаты на всю совокупность.

На основе способа коэффициентов проверка результатов сплошного наблюдения широко применяется в социальной и экономической статистике, в частности в контроле за коммерческой деятельностью юридических и физических лиц со стороны финансовых организаций.

Раздел 5

Определение необходимого объема выборки

При проектировании выборочного наблюдения  с заранее заданным значением допустимой ошибки выборки очень важно правильно определить численность (объем) выборочной совокупности, которая с определенной вероятностью обеспечит заданную точность результатов наблюдения. Формулы для определения необходимой численности выборки n легко получить непосредственно из формул ошибок выборки.

Так, из формул  предельной ошибки выборки для повторного отбора можно выразить необходимую численность выборки:

                  Для средней количественного признака:

(5.1)

                  Для доли (альтернативного признака):