Задача выборочного контроля

Национальный  исследовательский ядерный университет (МИФИ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Дисциплина: «Теория рисков» 
 
 
 

Реферат на тему: 

«Задача выборочного контроля » 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва 2010

Введение 

     Изучение статистических совокупностей, состоящих из множеств единиц, связано с большими трудовыми и материальными затратами. С давних пор представлялось заманчивым не изучать все единицы совокупности, а отобрать лишь некоторую часть, по которой можно было бы судить о свойствах всей совокупности в целом. Попытки такого рода делались еще в ХVII в.

     Выборочный метод обследования, или как его часто называют выборка, применяется прежде всего в тех случаях, когда сплошное наблюдение вообще невозможно. Обследование может быть связано с уничтожением или порчей обследуемых единиц. Так, например, при контроле качества хлебобулочных изделий, консервов и т.д. изделие после контрольных операций становится непригодным для реализации, что делает сплошной контроль невозможным. Невозможно сплошное обследование и в тех случаях, когда обследуемая совокупность очень велика, практически безгранична. Например, совокупность участков морского дна или совокупность колосьев пшеницы на поле. Во всех случаях выборочный метод позволяет сберегать значительные количества труда и средств как на этапе сбора сведений, так и на этапе их обработки и анализа. Выборочное наблюдение позволяет собрать более полную информацию за более сжатые сроки при меньших трудовых и денежных затратах, что имеет немаловажное значение. Все эти положительные качества привили к широкому применению метода выборочного наблюдения. В нынешних условиях организации производственной и торговой деятельности данный метод как способ проверки качества продукции применяется большинством предприятий и организаций.  

Выборочный метод 

     Выборочный метод - статистический метод исследования общих свойств совокупности каких-либо объектов на основе изучения свойств лишь части этих объектов, взятых на выборку. Математическая теория выборочного метода опирается на два важных раздела математической статистики - теорию выбора из конечной совокупности и теорию выбора из бесконечной совокупности. Основное отличие выборочного метода для конечной и бесконечной совокупностей заключается в том, что в первом случае выборочный метод применяется, как правило, к объектам неслучайной, детерминированной природы (например, число дефектных изделий в данной партии готовой продукции не является случайной величиной: это число - неизвестная постоянная, которую и надлежит оценить по выборочным данным). Во втором случае выборочный метод обычно применяется для изучения свойств случайных объектов (например, для исследования свойств непрерывно распределённых случайных ошибок измерений, каждое из которых теоретически может быть истолковано как реализация одного из бесконечного множества возможных результатов).

     Выбор из конечной совокупности и его теория являются основой статистических методов  контроля качества и часто применяются  в социологических исследованиях.

     На  практике наиболее часто используется выбор без возвращения (бесповторная выборка), когда каждый отобранный объект перед выбором следующего объекта в исследуемую совокупность не возвращается (такой выбор применяется при статистическом контроле качества). Выбор с возвращением (выборка с повторением) рассматривается обычно лишь в теоретических исследованиях (примером выбора с возвращением является регистрация числа частиц, коснувшихся в течение данного времени стенок сосуда, внутри которого совершается броуновское движение). Если n << N, то повторный и бесповторный выборы дают практически эквивалентные результаты.

       Принципы теории выборочного метода:

     1) Выбор производится случайно, т.е. любая из возможных выборок заданного объёма n из совокупности объёма N [число таких выборок равно N!/n!(N - n)!] имеет одинаковую вероятность быть фактически выбранной

     2) Обеспечение достаточного числа  отобранных единиц.

     3) Однородность выборки

     Понятие репрезентативности отобранной совокупности не означает ее полного представительства  по всем признакам совокупности, так  как это практически обеспечить невозможно. Отобранная из всей изучаемой  совокупности часть должна быть репрезентативной в отношении тех признаков, которые  изучаются или оказывают существенное влияние на формирование сводных  показателей.

     Генеральной совокупностью называется вся изучаемая  совокупность единиц по интересующим признакам.

     Выборочной  совокупностью называется отобранная в случайном порядке из генеральной  совокупности некоторая ее часть.

     Характеристиками  генеральной и выборочной совокупностей  могут служить средние значения признаков, их дисперсия, среднеквадратическое отклонение, мода, медиана, характеристики альтернативного признака.

     Правила отбора проб и выборок устанавливаются  стандартами.

     Свойства  совокупности, исследуемые выборочным методом, могут быть качественными и количественными. В первом случае задача выборочного обследования заключается в определении количества М объектов совокупности, обладающих каким-либо признаком (например, при статистическом контроле часто интересуются количеством М дефектных изделий в партии объёма N). Оценкой для М служит отношение mN/n, где m - число объектов с данным признаком в выборке объёма n. В случае количественного признака имеют дело с определением среднего значения совокупности Оценкой для  является выборочное среднее где x₁,..., x_n - те значения из исследуемой совокупности x₁, x₂,..., x_N, которые принадлежат выборке. С математической точки зрения 1-й случай - частная разновидность 2-го, которая имеет место, когда М величин x_i равны 1, а остальные (N - М) равны 0; в этой ситуации  и . 
            Выбор из бесконечной совокупности. В математической статистике результаты каких-либо однородных наблюдений (чаще всего независимых) принято называть выборкой даже в том случае, когда эти результаты не соответствуют понятию выборки с повторениями или без повторений из конечной совокупности. Например, результаты измерений углов на местности, подверженные независимым непрерывно распределённым случайным ошибкам, часто называют выборкой из бесконечной совокупности. Предполагается, что принципиально можно осуществить любое число таких наблюдений. Полученные фактически результаты считают выборкой из бесконечного множества возможных результатов, называемых генеральной совокупностью. 
            Выборки различаются по способу отбора.

     1. Простой случайный отбор.

     Все элементы генеральной совокупности нумеруются и из таблицы случайных  чисел берут, например, последовательность любых 30-ти идущих подряд чисел. Элементы с выпавшими номерами и входят в выборку.

     2. Типический отбор.

     Такой отбор производится в том случае, если генеральную совокупность можно  представить в виде объединения  подмножеств, объекты которых однородны  по какому–то признаку, хотя вся  совокупность такой однородности не имеет (партия товара состоит из нескольких групп, произведенных на разных предприятиях). Тогда по каждому подмножеству проводят простой случайный отбор, и в  выборку объединяются все полученные объекты.

     3. Механический отбор.

     Отбирают  каждый двадцатый (сотый) экземпляр.

     4. Серийный отбор.

     В выборку подбираются экземпляры, произведенные на каком–то производстве в определенный промежуток времени. 

     Ошибки  при выборочном контроле 

     Если  уровень качества изделий в выборке  соответствует установленным требованиям, то считают, что всю партию можно  принять как годную. В противном  случае партия бракуется. Следует отметить особенность выборочного контроля, которая заключается в колебании выборочных оценок. Это значит, что в любой выборке (одинакового размера) из одной и той же партии может иметь место разное количество дефектных изделий, а значит, по результатам контроля одной выборки можно принять партию, а по другой ту же партию — забраковать. Поэтому выборочный контроль не может гарантировать, что все оставшиеся внутри партии изделия (после выборки) удовлетворяют техническим требованиям;

        В ряде случаев вся партия может быть ошибочно забракована, и это считается ошибкой первого рода, или риском поставщика. Риск поставщика- вероятность ошибки, при которой годную партию изделий могут в результате колебаний выборочной оценки признать не соответствующей техническим требованиям. В большинстве планов выборочного контроля предусмотрено, чтобы риск поставщика (α) составлял не более 5%. На практике, как правило, принимают α = 0,05.

     Ошибка  противоположного свойства называется ошибкой второго рода или риском заказчика. Риск заказчика- вероятность ошибки, при которой негодную партию изделий в результате колебаний выборочной оценки ошибочно признать годной. На практике обычно принимают риск заказчика β = 0,10. Вдвое меньший риск поставщика по сравнению с риском заказчика объясняется возможными экономическими потерями при возникновении в процессе контроля таких ситуаций. При установленных величинах рисков вероятные издержки поставщика и заказчика примерно одинаковы.

     Обе ошибки оговариваются при совершении торговых сделок.

     Если  долю дефектных изделий в партии обозначить как q, то

     

     где   и   - соответственно число дефектных деталей и их общее число.

     

     где  - доля дефектных деталей в выборке;

     Z - число бракованных деталей;

     n - объем выборки.

     Если  бы генеральная совокупность и выборка  имели распределение деталей  по закону равной вероятности, то выборочный контроль значительно упростился бы, но, к сожалению, закономерности не совпадают и в общем случае:

     

     что и является причиной ошибок обоих  родов при выборочном контроле.

     Если  , то возникает ошибка первого рода и, наоборот.

     В разных случаях возникают разные законы распределения вероятностей попадания годных и дефектных  изделий в выборку, поэтому следует правильно выбирать математический аппарат для оценки качества контроля.

     При выборочном контроле применяют в  основном биномиальный, гипергеометрический, Пуассона и нормальный законы распределения.

     Первые  три являются законами распределения  случайных величин и используются при контроле по качественному признаку, когда каждое отдельное испытание  в серии имеет только два исхода: изделие годное или дефектное. Нормальный закон используется при контроле по количественным признакам. 
 

Простой выборочный метод 

     Гипергеометрическое распределение играет важную роль, например, в статистическом контроле качества. Предположим, что произведенные  изделия (например, лампочки) разбиты  на партии в N штук каждая (например, по ящикам вместимостью в N лампочек). Каждая партия содержит некоторый процент  бракованных изделий, который, возможно равен и нулю (например, лампочки с недостаточным сроком годности). Обозначим через M = pN число бракованных изделий в партии; здесь число p может меняться от партии к партии, но не должно превосходить некоторого заданного числа p0. Для проверки этого условия можно пытаться исследовать все N изделий, что, однако невыгодно с экономической точки зрения, а часто просто невозможно, как в примере с лампочками, когда изделие после проверки разрушается. Можно, однако, ограничиться выборочной проверкой. Таким образом, возникает вопрос о проверке условия p ≤ p0 по данным некоторой выборки.

     Предположим несколько более общим образом, что нам задана конечная совокупность, состоящая из N элементов, M = Np из которых обладают некоторым свойством. Из совокупности извлекается выборка объема n без возвращения. При заданном p0, 0 ≤ p0 ≤ 1, подлежит проверке гипотеза p ≤ p0. При этом, конечно, следует рассматривать лишь те значения p и p0, для которых Np и Np0 - целые числа. Выберем по заданному уровню значимости α, 0 < α < 1, наименьшее число kα, для которого