Основные представления о специальной и общей теории относительности

       Новые оси x^¢, y^¢, получающиеся в результате поворота изображены на Рис. 8 б).

       Важнейшим свойством преобразования поворота является сохранение расстояния между  любыми двумя точками: r₁₂ = r^¢₁₂.

       Здесь:

       

       Введем  величину, зависящую от параметров двух событий { [(r₁)\vec],t₁ } и { [(r₂)\vec],t₂ } и определенную равенством

       Она называется пространственно - временным интервалом.

       Прямой  подстановкой формул (12) можно проверить, что величина пространственно - временного интервала между двумя событиями является инвариантом преобразований Лоренца:

       В двумерном случае можно рассматривать как "расстояние" между точками плоскости ct, x. Но квадрат разности координат входит в s₁₂ со знаком "минус". Пространство, в котором расстояние между точками определено формулой (15) называется псевдоевклидовым. Наряду с отмеченным сходством, между евклидовым и псевдоевклидовым пространствами имеются принципиальные различия. В евклидовом пространстве расстояние между любыми точками r²₁₂ ³ 0, равенство нулю означает, что точки совпадают. В псевдоевклидовом пространстве s²₁₂ может иметь любой знак, а его обращение в нуль возможно для двух совершенно различных точек пространства - времени.

       Найдем  положение новых осей (x^¢, ct^¢) на псевдоевклидовой плоскости. Отложим координата x, ct на прямоугольных осях. (Рис. 9). Точка x^¢ = 0, сопадающая с началом координат системы S^¢, движется в системе S со скоростью V. Ее мировая линия будет представлять собой ось времени ct^¢ системы S^¢. Эта ось будет наклонена к оси ct на угол a = arctg (V/c). Ось x^¢ новой системы можно определить условием ct^¢ = 0. Но тогда в старой системе координат это будет прямая ct = bx, проходящая через начало координат и составляющая с осью x тот же угол a = arctg (V/c).

       Приходим  к выводу, что новая система  координат косоугольна! Если попытаться найти связь между отрезками x^¢, ct^¢ и  x, ct, посто проектируя отрезки (так как это делается в эвклидовом случае), то получится неправильный результат. Преобразования Лоренца не только поворачивают оси, но и искажают масштабы координат по осям!

       Итак, основной результат состоит в  том, что преобразования Лоренца можно интерпретировать, как псевдоевклидово вращение системы координат в пространстве Минковского.

       

       Рис. 9

       С помощью Рис. 9 можно дать геометрическую интерпретацию различным следствиям из преобразований Лоренца. Вспомним, например, относительность одновременности. В системе S линии равного времени - прямые параллельные оси 0x. В системе S^¢ - это прямые, параллельные 0x^¢, не совпадающие с линиями равного времени в системе S. Поэтому события, одновременные в S, не будут в общем случае одновременными в S. Например, между одновременными в системе S событиями A и B в системе S^¢ пройдет промежуток времени D t^¢ = |A^¢B^¢|/c, причем событие B произойдет раньше.

       Как ясно из вышеизложенного, на псевдоевклидовой плоскости квадрат интервала s²₁₂ может быть как положительным, так и равным нулю и отрицательным.

       Если s²₁₂ > 0, его называют времениподобным, при s²₁₂ < 0 - пространственноподобным, при s²₁₂ = 0 - светоподобным или нулевым.

       Характер  интервала тесно связан c причинностью - он определяет возможность причинной связи событий, происходящих в пространственно - временных точках 1 и 2. Если s²₁₂ > 0, то из точки 1 можно послать сигнал со скоростью , который вызовет событие 2. В случае s²₁₂ = 0 это также возможно, но сигнал должен посылаться с предельной скоростью c. События, разделенные пространственноподобным интервалом, не могут быть причинно обусловлены, т.к. сигналы не могут распространяться со скоростью .  

       2.7 Замедление времени

       Рассмотрим  часы, покоящиеся в начале координат  движущейся системы (x^¢ = 0), которые перемещаются относительно лабораторной системы координат со скоростью V, так что их координата x = V t пропорциональна времени, определяемому неподвижными часами. Инвариантность интервала позволяет, тогда, определить показания движущихся часов:

       Время, измеряемое часами, движущимися относительно лабораторной системы отсчета, замедляется.

       Как ни покажется странным, но тот же вывод справедлив относительно замедления темпа хода часов в лабораторной системе координат с точки зрения наблюдателя из движущейся системы отсчета, т.е. "движущиеся" и "покоящиеся" часы взаимно отстают друг от друга.

       С последним замечанием тесно связан широко известный парадокс близнецов (см. ниже раздел "Задачи").

       Замедление  хода времени в движущейся системе  отсчета было экспериментально подтверждено американскими физиками Б. Росси  и Д.Х. Холлом в 1941 году. Они наблюдали  увеличение среднего времени жизни мюонов, двигавшихся со скоростью v » c, в 6 ¸8 раз по сравнению с временем жизни неподвижных мюонов.

       Особая  ценность этого эксперимента состоит  в том, что процесс распада  мюонов определяется слабым взаимодействием, в то время как СТО была построена для описания систем с электромагнитным взаимодействием.  

       2.8 Лоренцево сокращение длины

       Стержень, расположенный вдоль оси 0^¢X^¢ движущейся системы отсчета и покоящийся в ней, имеет длину l₀. Если один из концов стержня (для простоты) сосвпадает с началом координат этой системы, то в момент t = 0 по часам лабораторной системы отсчета координаты концов стержня определяются преобразованием Лоренца:

       Длина движущегося стержня в лабораторной системе отсчета уменьшается в направлении движения. Это изменение длины называется сокращением Лоренца - Фитцджеральда.

       Поскольку поперечные размеры тела не изменяются, то легко видеть, что объем тела также уменьшается:

 
 

        3 Динамика специальной теории относительности 
 

       3.1 Энергия и импульс частицы

       Под массой частицы m будем понимать ее массу, измеряемую в системе покоя частицы - массу покоя.

       Релятивистским  импульсом частицы массы m, движущейся в выбранной инерциальной системе отсчета со скоростью , называется векторная величина , определяемая формулой

       Релятивистский  импульс имеет ту же размерность, что и импульс в классической механике. При v/c ® 0,    ® m  (с точностью до линейных по v/c слагаемых).

       Энергией частицы в релятивистской физике называется величина E, определяемая выражением

       Энергия имеет ту же размерность и измеряется в тех же единицах, что и энергия  в ньютоновской механике.

       Энергия частицы в той системе отсчета, в которой она покоится, называется ее энергией покоя E₀:

При b = v/c ® 0 релятивистское выражение для энергии частицы может быть записано в виде

       Второе  слагаемое совпадает с кинетической энергией частицы в классической теории. Разность E - mc² = T называют кинетической энергией релятивистской частицы.

       Из  формул (20) и (21) находим полезную формулу  для скорости частицы:

 

       3.2 Релятивистские преобразования энергии и импульса

       Рассмотрим  вновь две инерциальные системы  отсчета, движущиеся друг относительно друга со скоростью V в направлении оси x.

       Закон преобразования для величин (E,  ) и (E^¢,  ^¢), измеряемых в системах S и S^¢, имеет форму преобразования (23):