Решение обратных задач теплопроводности для элементов конструкций простой геометрической формы

    МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

    ДНЕПРОПЕТРОВСКИЙ  НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

    КАФЕДРА ПГД И ТМО

 
 
 
 
 
 

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    НА  ТЕМУ: «РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ

                ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРОСТОЙ  ГЕОМЕТРИЧЕСКО ФОРМЫ» 
 
 

    ВЫПОЛНИЛА: СТ. ГР. МТ-98-1

                             ДАЦЕНКО И. Н. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    ДНЕПРОПЕТРОВСК

    -2001- 
 

    Постановки  задач о теплообмене между  твердым телом или некоторой  системой и окружающей средой рассматриваются с точки зрения соотношений причина—следствие. При этом к причинным характеристикам теплообменного процесса в теле (системе) в соответствии с принятой моделью отнесем граничные условия и их параметры, начальные условия, теплофизические свойства, внутренние источники тепла и проводимости, а также геометрические характеристики тела или системы. Тогда следствием будет то или иное тепловое состояние, определяемое температурным полем исследуемого объекта.

    Установление  причинно - следственных связей составляет цель прямых задач теплообмена. Наоборот, если по определенной информации о температурном поле требуется восстановить причинные характеристики, то имеем ту или иную постановку  обратной задачи теплообмена.

    Постановки  обратных задач, в отличие от прямых, не соответствуют физически реализуемым событиям. Например, нельзя обратить ход теплообменного процесса и тем более изменить течение времени. Таким образом, можно говорить о физической некорректности постановки обратной задачи. Естественно, что при математической формализации она проявляется уже как математическая некорректность (чаще всего неустойчивость решения) и обратные задачи представляют собой типичный пример некорректно поставленных задач в теории теплообмена.

         Граничная ОЗТ — восстановление тепловых условий на границе тела. К этому типу задач отнесем также задачу, связанную с продолжением решения уравнения теплопроводности от некоторой границы, где одновременно заданы температура Т( х*, т) и плотность теплового потока q( х*, т);    

      Организация охлаждения конструкции камер сгорания является одним из важнейших вопросов проектирования и по сравнению с другими типами тепловых машин усложняется тем, что тепловые процессы протекают при высоких температурах К и давлениях. Так как высокотемпературные продукты сгорания движутся по камере с очень большой скоростью, то резко возрастают коэффициент конвективной теплоотдачи от горячих продуктов сгорания к стенкам камеры и конвективные тепловые потоки  , доходящие в критическом сечении сопла до 23,26 - 69,78 . Кроме того, теплообмен в конструкции характеризуется высоким уровнем радиации в камере, что приводит к большим лучистым тепловым потокам   /13/.

    Вследствие мощных суммарных конвективных и лучистых тепловых потоков в стенке камеры температура ее может достигать значений превышающих (1000 - 1500 С. Величина этих потоков определяется значениями режимных параметров, составом продуктов сгорания в ядре газового потока и в пристеночном слое, а также температурой внутренней поверхности конструкции. Из-за изменения диаметра проточной части по длине теплопровод от продуктов сгорания оказывается неравномерным. Неравномерным является также распределение температуры по периметру, обусловленное изменением состава продуктов сгорания.

    Коэффициент теплоотдачи от продуктов  сгорания определяется с учетом  совместного воздействия конвективного  и лучистого теплового потоков  в соответствующем сечении конструкции  узла по значениям параметров (давление, состав и температура продуктов сгорания в ядре газового потока и в пристеночном слое) на установившемся режиме эксплуатации /13/.

     Время выхода рассматриваемых  конструкций на установившийся  тепловой режим соизмеримо и  может оказаться даже большим времени их работы при эксплуатации. В этих условиях задача определения теплового состояния в период работы сводится к расчету прогрева их под воздействием высокотемпературных продуктов сгорания /1, 2/.

    Рассмотрим  следующую схему корпуса камеры сгорания. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

На поверхности  в сечении располагается по две  точки замера, расположенных в  диаметрально противоположных точках периметра корпуса.

В сечении I - I корпуса сопла можно представить  в виде однослойной неограниченной пластины, двухслойной - сечение II - II (Рис.1).

Расчетные схемы элементов конструкции  представлены на рисунке 2 и 3.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 

                         

          
 
 
 
 
 
 
 

Обратная тепловая задача для пластины формулируется следующим образом. Требуется по замерам температуры   и теплового потока к пластине (рис.2) при X = 0 найти изменения температуры и теплового потока на поверхности X = 1.

    Решение обратной тепловой задачи  в такой постановке целесообразно построить с использованием решения задачи Коши /3/.

    В пространстве переменных   задана некоторая   гладкая     поверхность Г.   С каждой точкой связывается некоторое направление , некасательное Г.

    В окрестности поверхности   Г  требуется найти решение  уравнения.

                                                                                            

 удовлетворяющего условиям Коши 

                  

                                    

                                                                                                          

где   - безразмерные время и координата.

    Нетрудно убедиться, что решение  задачи (1), (2), записанное в виде:

      

                                                                        (3)                                                                          

и является искомым /10/.

    Утверждения о существовании  решения (3), об аналитичности этого  решения и его единственности  в классе аналитических функций  составляют содержание известной классической теоремы Коши - Ковалевской /11/.

    Решение (13) при заданных      и     позволяет найти искомые изменения температуры и теплового потока Однако в такой интерпретации решения (3), где функции известны из эксперимента  с некоторой заданной погрешностью, необходимо учитывать и тот факт, что вычисление операторов дифференцирования    неустойчиво к возмущениям в исходных данных /12/.

Таким образом, имеем типичную некорректную задачу, для построения устойчивого  решения которой необходимо построение регуляризирующих алгоритмов.

Сохраним  в решении (3) конечное число слагаемых  N. Введем обозначения

 

                                                                                                                                      (4)                                                                                         

    Интегрируя (4) получим систему интегральных  уравнений Вольтерра первого  рода:

                 

             ,                                                                           (5)                                                            

где  k =1, 2, ... , N.                               

    Соотношения для теплового потока  в (3) записывается аналогично. В  дальнейшем будем считать, что  на поверхности  X = 0 теплосъем отсутствует, то есть стенка теплоизолирована. Тогда решение (3) с учетом обозначений (4) записывается в виде

 

                                                                  (6) 

    Таким образом, граничные условия  при X = 1 восстанавливаются соотношением (6), в котором функции    находятся из решения интегральных уравнений (5) 

                                                                                                  (7)

                                                    

где правая часть задается приближенно, то есть 

                   

Здесь - числовой параметр, характеризующий погрешность правой части уравнения (7).

    Задача (7) является, в общем случаи некорректно поставленной /12/. Наиболее распространенным в настоящее время эффективным регуляризующим алгоритмом для ее решения является алгоритм, основанный на минимизации функционала А.Н.Тихонова /12/. 

                                                                                (8) 

С последующим  выбором параметра регуляризации  по так называемому принципу невязки.

    Например, если  - какая - либо экстремаль функционала (8), реализующая его глобальный минимум при заданном и фиксированном , то числовой параметр   определяется из условия 

                                                                                                                    (9) 

    Регуляризующий алгоритм (7) - (9) подробно  изучен в /12/ и обладает устойчивостью  к малым возмущениям правой  части (7).

    Правая часть уравнения (7) при  решении формировалась следующим  образом.  Функция  характеризующая изменение температуры поверхности, задавалась таблицей.  Начальные условия для   1, 2, … , N-1) находились из соотношения /3/: 

                                                                                                                       (10) 

где , - распределение температуры, заданное в начальный момент времени. Откуда для равномерного распределения температуры в начальный  момент времени имеет  

                          1, 2, … , N-1                                                                                     (11) 

Из анализа  теплофизических и геометрических характеристик конструкции камеры сгорания следует возможность представления системы пластин теплового отношения  (рис.1) в виде пластины из теплозащитного покрытия и оболочки, которую можно рассматривать как тепловую емкость. Это дает возможность воспользоваться для построения решения обратной тепловой задачи для заданного узла решением задачи Коши (3). В системе координат, представленной на Рис.1, поверхность при X = 0 будем считать теплоизолированной, то есть