(12)                                              

  

     Кроме этого предположим, система  пластин в начальный момент  времени прогрета равномерно  и, следовательно, начальные условия для функции имеют вид (11).

     При сделанных  выше предположениях  условия Коши (12) для этой задачи  имеют вид

                                               

                                   

                                                                                                   (13)

     

  Где                     

  

                                                 

     Подставляя значение    из условия (2) в решение задачи Коши (3) получим

                  

                                                                                                                 (14)    

где      

                                                                             
 

     Таким образом, решение этой  задачи имеет вид

                                                                                                                                                  

                                                   (15)

                                                                                                                                        

где нам задана, а функции   (n=1, 2, … , N)   определяются из решения                                                               интегральных уравнений Вольтерра первого рода (5) методом регуляризации

(7) - (9).

     Следовательно, искомые величины определяются из решения (4)  с использованием регуляризирующего алгоритма (7) - (9).

      

                       Метод наименьших квадратов. 

    Пусть функция  задана на своими значениями в точках . Рассмотрим совокупность функций  

                                                                                                     (16) 

линейно независимых на .

    Будем отыскивать линейную комбинацию этих функций

                                                                                (17)

так, чтобы  сумма квадратов ее отклонений от заданных значений функции в узлах имела бы наименьшее возможное значение, то есть величина

                                                                                                                   (18)

принимала бы минимальное значение.

    Заметим, что упомянутая сумма является функцией коэффициентов 

                                              .                                                                                   (19)

Поэтому для решения нашей задачи воспользуемся  известным приемом дифференциального  исчисления, а именно: найдем частные  производные функции  по всем переменным и приравняем их нулю:

                

где

                                  

Отсюда  видим, что метод наименьших квадратов  приводит к необходимости решать систему алгебраических уравнений

                                                    .                                                  (20)

Можно доказать, что если среди точек  нет совпадающих и , то определитель системы (20) отличен от нуля и, следовательно, эта система имеет единственное решение (19). Подставив его в (17), найдем искомый обобщенный многочлен , те есть многочлен, обладающий минимальным квадратичным отклонением . Заметим, что при m = n коэффициенты (19) можно определить из условий   причем в этом случае  Ф = 0. Следовательно, мы приходим здесь к рассмотренной ранее задаче интерполирования.

    Функции ,     , как известно, образуют систему Чебушева на любом сегменте и могут быть использованы для практической реализации описанного метода.

    Легко видеть, что коэффициенты и свободные  члены системы (20) в этом случае представим как 

                                                                                                          (21)

                                                                         (22)

Заметим здесь, что матрица   является симметричной и положительно определенной, так как квадратичная форма неотрицательна для любых значений переменных причем только при Действительно,

                            

      Пусть задана система алгебраических уравнений

                                    

                                                                                                                                      (23)

где - невырожденная квадратная матрица m – го порядка, а и  - вектор – столбцы, согласованные в размерностью матрицы А.

    Выделяют  два класса методов решения таких  систем: прямые и итерационные.

    Прямые  методы основаны на разложении матрицы  А в произведении более простых  матриц (диагональных, треугольных, ортогональных). В этом случае исходная система уравнений (23) распадается на несколько более простых систем, решаемых последовательно. Если при этом все вычисления производить без округлений, то через вполне определенное заранее известное конечное число шагов получится точное решение системы (23).

Поэтому их называют также точными. Альтернативой  для указанных методов являются итерационные алгоритмы, в которых  решение находится как предел при    последовательных приближений ,  где - номер итераций.

     Зависимости температуры поверхности  и экспериментальной температуры  от времени, а также теплового  потока и коэффициента теплоотдачи  представлены на рисунках 4, 5, 6 ,7 и 8 соответственно.

    

    

      

    

    

      
 
 
 
 

    

    

    

    

    

    

    

      

    

      

    

    

    

    

    

    

    

    

      
 
 
 
 

    

    

      

    

      
 

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

      
 
 
 
 
 

    

    

    

    

      
 
 
 

    

    

      

    

    

    

    

      
 
 
 
 

    

    

    

    

      

    

      
 
 
 
 

    

    

    

    

    

      
 
 
 
 

    

    

    

    

    

      

    

    

    

      
 
 
 
 
 
 
 
 

    

    

    

    

    

    

    

    

      
 
 
 
 

    

    

    

    

    

      
 

Рис. 9. Тепловой поток  и коэффициент  теплоотдачи для  двухслойной

                                                  пластины  точки  2. 
 

    В реальных условиях измеряемые температуры (то есть исходные данные для обратной тепловой задачи) являются случайными величинами из-за дефектов производства, технологии изготовления, загрязнения поверхности, погрешности измерения и обработки экспериментальной информации. Влияние погрешностей исходной информации на решение обратной задачи теплопроводности оценивалось с помощью метода статистических испытаний Монте – Карло / 5-8 /. Анализ результата статистического моделирования решения обратной задачи позволяет установить коридор ошибок искомых граничных условий.

    Одним из методов решения ОЗТ является метод статистических испытаний  Монте –Карло, который заключается в статистическом моделировании аналитических решений ОЗТ с учетом случайного характера исходных данных /121/.

    В методе Монте-Карло основным является случайная выборка исходных данных /24/. В данной работе для этого  необходим источник случайных чисел.

    Введем  для исходных данных обозначение

                                                                                                                             (24)

где  - математическое ожидание  j – го параметра в точках. Ошибку представим в виде

                   =                                                                                                                (25)