Численное исследование электронных состояний в сферических нанослоях

Эти уровни подчиняются определённой закономерности, выведенной Бором на основе комбинации законов Ньютоновой механики с условиями  квантования, требующими, чтобы величина действия для классической орбиты была целым кратным постоянной Планка.

Бор постулировал, что, находясь на определённом уровне энергии (т. е. совершая допускаемое  условиями квантования орбитальное  движение), электрон не излучает световых волн.

Излучение происходит лишь при переходе электрона с  одной орбиты на другую, т. е. с одного уровня энергии E_i, на другой с меньшей энергией E_k, при этом рождается квант света с энергией, равной разности энергий уровней, между которыми осуществляется переход:

                                          hμ = E_i - E_k.     (1) 

 Так возникает линейчатый  спектр — основная особенность  атомных спектров, Бор получил  правильную формулу для частот  спектральных линий атома водорода (и водородоподобных атомов), охватывающую  совокупность открытых ранее  эмпирических формул. 

 Существование уровней энергии в атомах было непосредственно подтверждено Франка — Герца опытами (1913—14).   Было установлено, что электроны, бомбардирующие газ, теряют при столкновении с атомами только определённые порции энергии, равные разности энергетических уровней атома.  

Н. Бор, используя  квантовую постоянную h, отражающую дуализм света, показал, что эта величина определяет также и движение электронов в атоме (и что законы этого движения существенно отличаются от законов классической механики). Этот факт позднее был объяснён на основе универсальности корпускулярно-волнового дуализма, содержащегося в гипотезе де Бройля.   Успех теории Бора, как и предыдущие успехи квантовой теории, был достигнут за счёт нарушения логической цельности теории: с одной стороны, использовалась Ньютонова механика, с другой — привлекались чуждые ей искусственные правила квантования, к тому же противоречащие классической электродинамике. Кроме того, теория Бора оказалась не в состоянии объяснить движение электронов в сложных атомах возникновение молекулярной связи.

«Полуклассическая»  теория Бора не могла также ответить на вопрос, как движется электрон при  переходе с одного уровня энергии на другой.

Дальнейшая  напряжённая разработка вопросов теории атома привела к убеждению, что, сохраняя классическую картину движения электрона по орбите, логически стройную теорию построить невозможно.

Осознание того факта, что движение электронов в  атоме не описывается в терминах (понятиях) классической механики (как  движение по определённой траектории), привело к мысли, что вопрос о  движении электрона между уровнями несовместим с характером законов, определяющих поведение электронов в атоме, и что необходима новая  теория, в которую входили бы только величины, относящиеся к начальному и конечному стационарным состояниям атома.

В 1925 В. Гейзенбергу  удалось построить такую формальную схему, в которой вместо координат  и скоростей электрона фигурировали некие абстрактные алгебраические величины — матрицы; связь матриц с наблюдаемыми величинами (энергетическими уровнями и интенсивностями квантовых переходов) давалась простыми непротиворечивыми правилами. Работа Гейзенберга была развита М. Борном и П. Иорданом. Так возникла матричная механика. Вскоре после появления уравнения Шрёдингера была показана математическая эквивалентность волновой (основанной на уравнении Шрёдингера) и матричной механики. В 1926 М. Борн дал вероятностную интерпретацию волн де Бройля (см. ниже).  

 Большую  роль в создании квантовой  механики сыграли работы Дирака, относящиеся к этому же времени.  Окончательное формирование квантовой  механики как последовательной  физической теории с ясными  основами и стройным математическим  аппаратом произошло после работы  Гейзенберга (1927), в которой было  сформулировано неопределённостей соотношение — важнейшее соотношение, освещающее физический смысл уравнений квантовой механики., её связь с классической механикой и другие как принципиальные вопросы, так и качественные результаты квантовой механики. Эта работа была продолжена и обобщена в трудах Бора и Гейзенберга.  

 Детальный  анализ спектров атомов привёл  к представлению (введённому впервые  Дж. Ю. Уленбеком и С. Гаудсмитом и развитому В. Паули) о том, что электрону, кроме заряда и массы, должна быть приписана ещё одна внутренняя характеристика (квантовое число) — спин.   

Важную роль сыграл открытый В. Паули (1925) так называемый принцип запрета, имеющий фундаментальное значение в теории атома, молекулы, ядра, твёрдого тела. 

 В течение  короткого времени квантовой  механика была с успехом применена  к широкому кругу явлений.    Были созданы теории атомных  спектров, строения молекул, химической  связи, периодической системы  Д. И. Менделеева, металлической проводимости и ферромагнетизма. Эти и многие др. явления стали (по крайней мере, качественно) понятными.

 

 

 

 

 

Основные моменты и ключевые теории.

КВАНТОВЫЕ ПОРЦИИ.

 

Одной из первых проблем, для решения  которой понадобилось введение кванта энергии, было рассмотрение сосуществования  частиц и полей и построение теории теплового излучения. Это излучение  можно почувствовать не только под  ярким летним солнцем, но и поднеся  руку к обычной лампочке или горячему утюгу. Однако попытки объяснить  такие обыденные явления в  рамках классической теории оказались  несостоятельными.

В 1900 году Джон Рэлей и Джеймс Джинс, используя классическую теорию, рассмотрели  нагретое тело, в котором электромагнитное поле (волны) находилось в тепловом равновесии с частицами. Оказалось, что в этом случае поле забирает у частиц всю их энергию. Тем самым  классическая теория приводила к  бессмысленному результату: нагретое тело, непрерывно теряя энергию из-за излучения волн, должно охладиться до абсолютного нуля. Этот физически  абсурдный результат получил  название "ультрафиолетовой катастрофы". В действительности ничего подобного, естественно, не происходит. Наблюдения показали, что на высоких частотах энергия излучения не возрастает бесконечно, а убывает до нуля. Максимальное излучение при фиксированной  температуре приходится на определенную частоту или цвет. Примерами этого  могут служить красный цвет раскаленной  кочерги (температура около 1 000 К) или  желто-белый цвет Солнца (около 6 000 К).

Частный, казалось бы, вопрос об излучении  электромагнитных волн нагретыми телами приобрел принципиальное значение. Классическая теория приводила к результатам, резко противоречащим опыту. В 1900 году, чтобы добиться согласования теории с опытом, Максу Планку пришлось отступить от классического подхода  лишь в одном пункте. Он использовал  гипотезу, согласно которой излучение  электромагнитного поля может происходить  только отдельными порциями - квантами. Принятая Планком гипотеза противоречила  классической физике, однако построенная  им теория теплового излучения превосходно  согласовывалась с экспериментом.

ПРИНЦИП ГЕЙЗЕНБЕРГА.

 

Принцип Гейзенберга вообще играет в квантовой механике ключевую роль хотя бы потому, что достаточно наглядно объясняет, как и почему микромир отличается от знакомого нам материального  мира. Чтобы понять этот принцип, задумайтесь  для начала о том, что значит «измерить» какую бы то ни было величину. Чтобы  отыскать, например, эту книгу, вы, войдя  в комнату, окидываете ее взглядом, пока он не остановится на ней. На языке  физики это означает, что вы провели  визуальное измерение (нашли взглядом книгу) и получили результат — зафиксировали ее пространственные координаты (определили местоположение книги в комнате). На самом деле процесс измерения происходит гораздо сложнее: источник света (Солнце или лампа, например) испускает лучи, которые, пройдя некий путь в пространстве, взаимодействуют с книгой, отражаются от ее поверхности, после чего часть из них доходит до ваших глаз, проходя через хрусталик, фокусируется, попадает на сетчатку — и вы видите образ книги и определяете ее положение в пространстве. Ключ к измерению здесь — взаимодействие между светом и книгой. Так и при любом измерении, представьте себе, инструмент измерения (в данном случае, это свет) вступает во взаимодействие с объектом измерения (в данном случае, это книга).

В классической физике, построенной на Ньютоновских принципах и применимой к объектам нашего обычного мира, мы привыкли игнорировать тот факт, что инструмент измерения, вступая во взаимодействие с объектом измерения, воздействует на него и изменяет его свойства, включая, собственно, измеряемые величины. Включая свет в комнате, чтобы найти книгу, вы даже не задумываетесь о том, что под воздействием возникшего давления световых лучей книга может сдвинуться со своего места, и вы узнаете ее искаженные под влиянием включенного вами света пространственные координаты. Интуиция подсказывает нам (и, в данном случае, совершенно правильно), что акт измерения не влияет на измеряемые свойства объекта измерения. А теперь задумайтесь о процессах, происходящих на субатомном уровне. Допустим, мне нужно зафиксировать пространственное местонахождение электрона. Мне по-прежнему нужен измерительный инструмент, который вступит во взаимодействие с электроном и возвратит моим детекторам сигнал с информацией о его местопребывании. И тут же возникает сложность: иных инструментов взаимодействия с электроном для определения его положения в пространстве, кроме других элементарных частиц, у меня нет. И, если предположение о том, что свет, вступая во взаимодействие с книгой, на ее пространственных координатах не сказывается, относительно взаимодействия измеряемого электрона с другим электроном или фотонами такого сказать нельзя.

В начале 1920-х годов, когда произошел  бурный всплеск творческой мысли, приведший  к созданию квантовой механики, эту  проблему первым осознал молодой  немецкий физик-теоретик Вернер Гейзенберг. Начав со сложных математических формул, описывающих мир на субатомном уровне, он постепенно пришел к удивительной по простоте формуле, дающий общее описание эффекта воздействия инструментов измерения на измеряемые объекты  микромира, о котором мы только что  говорили. В результате им был сформулирован принцип неопределенности, названный теперь его именем:

«Термин «неопределенность пространственной координаты» как раз и означает, что мы не знаем точного местоположения частицы. Например, если вы используете  глобальную систему рекогносцировки GPS, чтобы определить местоположение этой книги, система вычислит их с  точностью до 2-3 метров. (GPS, Global Positioning System — навигационная система, в которой задействованы 24 искусственных спутника Земли. Если у вас, например, на автомобиле установлен приемник GPS, то, принимая сигналы от этих спутников и сопоставляя время их задержки, система определяет ваши географические координаты на Земле с точностью до угловой секунды.) Однако, с точки зрения измерения, проведенного инструментом GPS, книга может с некоторой вероятностью находиться где угодно в пределах указанных системой нескольких квадратных метров. В таком случае мы и говорим о неопределенности пространственных координат объекта (в данном примере, книги). Ситуацию можно улучшить, если взять вместо GPS рулетку — в этом случае мы сможем утверждать, что книга находится, например, в 4 м 11 см от одной стены и в 1м 44 см от другой. Но и здесь мы ограничены в точности измерения минимальным делением шкалы рулетки (пусть это будет даже миллиметр) и погрешностями измерения и самого прибора, — и в самом лучшем случае нам удастся определить пространственное положение объекта с точностью до минимального деления шкалы. Чем более точный прибор мы будем использовать, тем точнее будут полученные нами результаты, тем ниже будет погрешность измерения и тем меньше будет неопределенность».

И тут мы подходим к самому принципиальному  отличию микромира от нашего повседневного  физического мира. В обычном мире, измеряя положение и скорость тела в пространстве, мы на него практически  не воздействуем. Таким образом, в  идеале мы можем одновременно измерить и скорость, и координаты объекта абсолютно точно (иными словами, с нулевой неопределенностью).

Иногда вам могут встретиться  утверждения, будто принцип неопределенности подразумевает, что у квантовых  частиц отсутствуют определенные пространственные координаты и скорости, или, что эти величины абсолютно непознаваемы. Не верьте: как мы только что видели, принцип неопределенности не мешает нам с любой желаемой точностью измерить каждую из этих величин. Он утверждает лишь, что мы не в состоянии достоверно узнать и то, и другое одновременно. И, как и во многом другом, мы вынуждены идти на компромисс. Опять же, писатели-антропософы из числа сторонников концепции «Новой эры» иногда утверждают, что, якобы, поскольку измерения подразумевают присутствие разумного наблюдателя, то, значит, на некоем фундаментальном уровне человеческое сознание связано с Вселенским разумом, и именно эта связь обусловливает принцип неопределенности. Повторим по этому поводу еще раз: ключевым в соотношении Гейзенберга является взаимодействие между частицей-объектом измерения и инструментом измерения, влияющим на его результаты. А тот факт, что при этом присутствует разумный наблюдатель в лице ученого, отношения к делу не имеет; инструмент измерения в любом случае влияет на его результаты, присутствует при этом разумное существо или нет.

 

Потенциальная яма.

 

Потенциальная яма – область пространства, где присутствует локальный минимум потенциальной энергии частицы.

Если в потенциальную яму  попала частица, энергия которой  ниже, чем необходимая для преодоления  краёв ямы, то возникнут колебания  частицы в яме. Амплитуда колебаний  будет обусловлена собственной  энергией частицы. Частица, находящаяся  на дне потенциальной ямы, пребывает  в состоянии устойчивого равновесия, то есть при отклонении частицы от точки минимума потенциальной энергии  возникает сила, направленная в противоположную  отклонению сторону. Если частица подчиняется  квантовым законам, то даже, несмотря на недостаток энергии, она с определённой вероятностью может покинуть потенциальную яму (явление туннельного эффекта).

 

 

 

 

 

 

 

Волновая  функция.

 

Наличие у электрона волновых свойств  показывает, что электрону следует  сопоставить некоторое волновое поле. Амплитуду этого волнового  поля, зависящую от координат и  времени называют волновой функцией Ψ(x,y,z,t). Иногда ее для краткости именуют также Ψ-функуцией.