Численное исследование электронных состояний в сферических нанослоях

Физическое толкование волновой функции (впервые данной М. Борном) заключается  в следующем, величина пропорциональна вероятности того что электрон обнаружен в момент времени t в элементе объема , расположенном в окрестности x,y,z.

Обозначая эту вероятность через  можно получить .

Условие нормировки волновой функции , где стоящий слева интеграл, взятый по всему пространству есть вероятность обнаружить частицу в момент времени t в любой точке пространства. Эта вероятность естественно равна единице.

 

 

 

 

 

 

Уравнение Шрёдингера.

 

В квантовой физике вводится комплекснозначная  функция , описывающая чистое состояние объекта, которая называется волновой функцией.

Отказавшись от описания движения частицы  с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив  вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное  законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.

Пусть волновая функция задана в  3-мерном пространстве, тогда в каждой точке с координатами, в определенный момент времени t она будет иметь вид . В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:

,

где , h - постоянная Планка; m - масса частицы,  - внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке  - оператор Лапласа (или лапласиан), и в 3-мерной системе координат имеет вид:

 

 

 

 

 

 

Стационарное  уравнение Шредингера.

 

Форма уравнения Шрёдингера показывает, что относительно времени его  решение должно быть простым, поскольку  время входит в это уравнение  лишь через первую производную в  правой части. Действительно, частное  решение для специального случая, когда  не является функцией времени, можно записать в виде:

,        (2)

где функция  должна удовлетворять уравнению:

,           (3)

которое получается из уравнения Шрёдингера при подстановке в него указанной  выше формулы для  (2). Это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени).

Выражение (2) является лишь частным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера, общее решение представляет собой линейную комбинацию всех частных решений вида (2). Зависимость функции от времени проста, но зависимость её от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение (3) при одном выборе вида потенциальной функции совершенно отличается от того же уравнения при другом выборе этой функции. В действительности, уравнение (3) может быть решено аналитически лишь для небольшого числа частных типов функции .

Важное значение имеет интерпретация величины в уравнении (2). Она производится следующим путём: временная зависимость функции в уравнении (2) имеет экспоненциальный характер, причём коэффициент при t в показателе экспоненты выбран так, что правая часть уравнения (3) содержит, просто постоянный множитель . В левой же части уравнения (3),функция умножается на потенциальную энергию . Следовательно, из соображений размерности вытекает, что величина должна иметь размерность энергии. Единственной величиной с размерностью энергии, которая постоянна в механике, является полная (сохраняющаяся) энергия системы; таким образом, можно предполагать, что представляет собой полную энергию. Согласно физической интерпретации уравнения Шрёдингера, действительно является полной энергией частицы при движении, описываемом функцией .

 

 

Зависимость потенциальной  энергии от радиусов сфер.

 

Рассмотрим уравнение Шредингера , где  при переходе в сферические координаты функция будет иметь вид

.

Рассмотрим две сферы вложенные  друг в друга радиуса

 

                                            

 

 

 

 

 

Радиальная волновая функция удовлетворяет уравнению

в интервале и равна нулю вне его. Это уравнение после введения новой переменной и замены можно привести к виду Но это есть уравнение Бесселя, решениями которого являются функции а общее решение записывается в виде .

Запишем систему уравнений для  двух наших сфер с радиусами .

 

Чтобы данная система имела нетривиальное  решение необходимо выполнение следующего условия

 

Посчитав значение детерминанта получим

 

 

Решив данное уравнение относительно полной энергии  как функции от радиусов получим

 

 

 

1. Если ,

2. Если ,

Список  литературы.

 

1. Левич В.Г. и др. - Курс теоретической физики (1971).
2. Флюгге - Задачи по квантовой механике (1974).
3. Савельев И.В. Основы теоретической физики. Квантовая механика (1977).