Исследование электромагнитного поля в линии передачи: в прямоугольном волноводе размером сечения 19х9,5мм

(2.28),

(2.29),

где V –  фазовая скорость плоской электромагнитной волны, распространяющейся в свободном  пространстве. Из формул (2.28) и (2.29) видно, что критическая частота зависит не только от поперечного волнового числа , но и от параметров диэлектрика, заполняющего линию передачи. Такая зависимость иногда оказывается неудобной, поэтому помимо ω_кр и f_кр для характеристики критического режима пользуются параметром «критическая длина волны» – λ_кр, под которой понимают длину волны плоской однородной волны, распространяющейся в свободном пространстве, частота возбуждения которой равна f_кр:

(2.30).

Таким образом  Е и Н волны могут распространяться вдоль линии передачи не при любых частотах, а лишь при выполнении условия:

f > f_кр  или λ < λ_кр (2.31),

где f –  частота возбуждающего линию  передачи генератора, а λ – длина  волны в свободном пространстве, соответствующая этой частоте.

Найдем  фазовую и групповую скорости Е и Н волн, распространяющихся вдоль линии передачи – V_ф и V_гр. Для этого запишем мгновенное значение функции для падающей волны:

(2.32).

Приравняв аргумент косинуса этого выражения  постоянной величине, получим:

(2.33).

Фазовая скорость будет равна производной  по времени от полученной величины z

(2.34),

где β  определяется выражением (2.26).

Продолжая преобразования, найдем:

(2.35).

Анализ  выражения (2.35) показывает, что, во-первых, V_ф зависит от частоты генератора и, следовательно, линии передачи с Е и Н волнами являются диспергирующими системами. Во-вторых, V_ф оказывается больше, чем фазовая скорость плоской однородной волны в свободном пространстве V. Этот результат, на первый взгляд, может показаться противоречащим основному постулату теории относительности, согласно которому передача сигналов со скоростью, превышающей скорость света в вакууме, невозможна. На самом деле противоречия, конечно, нет, так как скорость передачи сигнала электромагнитной волной, равная , совпадает с фазовой скоростью этой волны и скоростью переноса энергии только для плоской однородной волны, распространяющейся в свободном пространстве. Для Е и Н волн скорость передачи сигнала, которую мы назовем групповой скоростью и обозначим V_гр, отличается от V_ф и равна:                   

(2.36).

Как и  следовало ожидать, V_гр оказывается меньше, чем V. Примечательно, что всегда выполняется условие:

(2.37).

Найдем  длину волны Е и Н волн, распространяющихся вдоль линии передачи.

Фазовая скорость V_ф определяет длину волны в линии передачи, которую мы обозначим Λ и будем понимать под ней расстояние, которое Е или Н волна проходит вдоль линии за отрезок времени, равный периоду колебаний T:

(2.38).

Подставляя  в (3.38) значение V_ф из (2.35), и учитывая, что T = λ/V, получаем:

 (2.39),

где λ  – длина волны в свободном  пространстве, соответствующая частоте  генератора, возбуждающего Е и  Н волны в линии передачи. Как и следовало ожидать, при одной и той же частоте возбуждения длина волны в линии передачи Λ оказывается больше длины волны в свободном пространстве λ. Из формул (2.39) и (2.35) следует, что с увеличением частоты возбуждающего генератора длины волн электрических и магнитных волн в линии передачи и их фазовые скорости приближаются к длине волны и фазовой скорости плоской волны в свободном пространстве. Этот результат можно объяснить тем, что, по мере увеличения частоты, относительные (по отношению к λ) размеры поперечного сечения линии передачи возрастают и условия распространения волн вдоль линии передачи все больше приближаются к условиям, существующим при распространении волны в свободном пространстве. Наоборот, при стремлении f  к f_кр значения Λ и V_ф все больше превосходят λ и V, стремясь в пределе (при f = f_кр) к бесконечности.

Установив общие свойства направляемых волн, перейдем к рассмотрению структуры  электромагнитного поля этих волн для  конкретных направляющих систем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Структура электромагнитного поля  E и H волн, распространяющихся в прямоугольном волноводе

3.1 Система уравнений для Е-волн в прямоугольном волноводе

 

Распределение полей в волноводе может быть найдено путем решения системы  уравнений Максвелла при заданных граничных условиях на стенках волновода.

Разместим прямоугольную систему координат  так, как показано на рисунке 3.1. В этом случае верхняя и нижняя стенки волновода находятся в плоскостях y=0 и y=b, а боковые – в плоскостях x=0 и x=a.  Уравнение

(3.1)

в декартовой системе координат имеет следующий  вид:

(3.2).                                              

Рисунок 3.1

При интегрировании уравнения (3.2) воспользуемся методом Фурье. Представим функцию Ψ(x,y) в виде произведения двух функций X(x) и Y(y), каждая из которых зависит только от одной пространственной переменой:

Ψ(x,y) = X(x)Y(y) (4.3).

Подставим (3.2) в (3.3) и выполним частное дифференцирование

(3.4).

Перейдя в (3.4) от частных дифференциалов к обыкновенным и поделив его почленно на произведение X(x)Y(y), имеем:

(3.5).

Приравняем  первый член уравнения (4.5) постоянному коэффициенту , а второй – постоянному коэффициенту , физический смысл которых будет выяснен позднее. В этом случае уравнение (3.5) может быть представлено в виде системы из трех более простых уравнений:

 (3.6),

(3.7),

(3.8).

Уравнения (3.6) и (3.7) являются обыкновенными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка, решениями которых являются комбинации показательных либо тригонометрических функций и постоянных коэффициентов.

Решение уравнения (3.6) для рассматриваемого случая будет иметь следующий вид:

 (3.9),

Уравнение (3.9) представляет собой суперпозицию бегущих волн. В данном случае следует выбрать решения, представляющие собой стоячие волны, а решения в виде бегущих волн отбросить как физически не реализуемые, так как распространению бегущих волн в направлениях осей 0x и 0y препятствуют металлические стенки волновода.

В выражение (3.9) входят три постоянные коэффициента C, D и k_x, для определения которых необходимо воспользоваться граничным условием .

Граничное условие для выбранного расположения декартовой системы координат относительно стенок волновода (см. рисунок 3.1) трансформируется в следующие условия для составляющей при x=0, x=a, y=0 и y=b. Применительно к уравнению (3.9) это означает, что при x=0 и при x=a правая часть уравнения должна обращаться в нуль.

Первое  условие может быть выполнено  только в том случае, если C = 0, а  второе – если , где m – любое целое положительное число; a – поперечный размер широкой стенки волновода. Таким образом, используя граничные условия, мы определили значения постоянных коэффициентов C и , и уравнение (3.9) принимает следующий вид:

(3.10).

Проведя аналогичные операции с уравнением (4.7), получаем

(3.11),

где B –  постоянный коэффициент, – постоянный коэффициент, n – любое целое положительное число, b – поперечный размер узкой стенки волновода.

Подставив (3.10) и (3.11) в (3.3), имеем

(3.12).

Численные значения коэффициентов B и D зависят  от параметров источника, возбуждающего  электромагнитную волну в линии  передачи. Подставив (3.12) в (2.18) и обозначив произведение коэффициентов B, D и A как , получим окончательное решение волнового уравнения для продольной составляющей вектора напряженности электрического поля Е волн в прямоугольном волноводе

(3.13)

Чтобы воспользоваться  уравнениями связи для определения  поперечных составляющих векторов напряженности  электрического и магнитного полей  Е-волн в прямоугольном волноводе, необходимо найти частные производные  и . Вычислим их, проведя частное дифференцирование выражения (3.13) по переменным x и y:

(3.14),

(3.15).

Анализ  уравнения (3.13) и его частных производных показывает, что для Е волн целые числа m и n, входящие в выражения для коэффициентов и , не должны равняться нулю, так как в противном случае все составляющие векторов и этих волн будут равняться нулю. Подставляя значения вычисленных частных производных в уравненияx связи, получим систему уравнений для составляющих векторов и поперечно-магнитных волн (Е волн) в прямоугольном волноводе:

(3.16),

(3.17),

, (3.18)

(3.19)

(3.20)

(3.21).

Уравнения (3.16)-(3.21) могут быть записаны в более компактном виде:

(3.22),

(3.23),

(3.24),

(3.25),

(3.26),

(3.27),

где , , , , – амплитуды соответствующих составляющих векторов и , а – максимальные значения этих амплитуд.

Полезно отметить, что в случае Е волн, являющихся неоднородными плоскими волнами, амплитуды составляющих векторов и изменяются при перемещении вдоль фазового фронта этих волн (в отличие от однородных плоских волн, распространяющихся в свободном пространстве).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2 Система уравнений для Н-волн в прямоугольном волноводе

 

Отличие решения уравнения (3.1) для Н волн от решения для Е волн заключается в применении граничных условий. Дело в том, что уравнение (3.2), которое в случае Е волн непосредственно трансформируется в граничные условия для составляющей в данном случае (т.е. применительно к продольной составляющей вектора напряженности магнитного поля) может быть использовано лишь опосредованно с помощью системы уравнений связи (2.20).                                      

  Причем  граничные условия могут быть  получены не непосредственно  для составляющей  а лишь для ее частных производных и (см. первые два уравнения системы (2.20)). Так как является касательной составляющей при y=0 и при y=b, а является касательной составляющей при x=0 и при x=a, то окончательно получаем:

 при y =0 и при y =b (3.28),

при x = 0 и при x = a. (3.29).

Используя эти граничные условия при  решении уравнения (3.1) находим выражение для составляющей магнитных волн (Н волн) в прямоугольном волноводе:

(3.30).

Анализ  уравнения (3.30) показывает, что, в отличие от уравнения (3.13), в данном случае целые числа m и n порознь могут равняться нулю.

Найдя частные  производные  и , и подставляя полученные значения в уравнения связи (3.21), получаем систему уравнений для векторов и магнитных волн (Н волн) в прямоугольном волноводе:

 

 

(3.31),

(3.31)

(3.32),

(3.33),

(3.34),

(3.35).

Уравнения (3.31)-(3.35) могут быть записаны в более компактном виде:

(3.36),

(3.37),

(3.38),

(3.39),

(3.40),

(3.41).                      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Анализ решения уравнений Максвелла  для прямоугольного волновода

 

Полученные  выше уравнения (3.22)-(3.27) и (3.36)-(3.41) являются решениями уравнений Максвелла, удовлетворяющих физическим условиям рассматриваемой задачи и граничным условиям. Попробуем на основе этих математических выкладок описать физическую картину электромагнитных процессов, происходящих внутри волновода.

   Прежде всего запишем развернутую  формулу для критической длины  волны Е и Н волн в соответствии с уравнениями (2.30), (3.8), (3.10), (3.11).