Исследование электромагнитного поля в линии передачи: в прямоугольном волноводе размером сечения 19х9,5мм

λ_кр = 2π/æ = 2π/(k_x²+ k_y²)^0.5 = 2 / ((m/a)² + (n/b)²) ^0.5(4.1).

где m и n – целые положительные числа, которые для Н волн могут порознь равняться нулю, а для Е волн начинаются с единицы.

  Каждой  паре целых чисел m и n соответствуют  разные значения векторов  и , а также разные значения λ_кр, V_ф и Λ.

  Физически  это означает, что при выполнении  определенных условий в волноводе  могут одновременно существовать  различные по своей структуре  и фазовой скорости Е и Н волны. Эти волны носят название «собственных волн» волновода и обозначаются Е_mn или Н_mn, где латинские заглавные буквы определяют принадлежность собственной волны к классу Е или Н волн, а нижние индексы m и n определяют тип собственной волны (т.е. структуру электрического и магнитного полей этой волны).

Волновое сопротивление собственных волн равно отношению взаимно-перпендикулярных поперечных составляющих векторов и этих волн. Обратившись к системе уравнений для Е волн (3.16)-(3.21), находим:

(4.2),

где – волновое сопротивление плоской однородной волны в свободном пространстве. Обратившись к системе уравнений для Н волн (3.31)-(3.35), находим

(4.3).

Как следует  из выражений (4.2) и (4.3), волновые сопротивления собственных волн волновода, в отличие от , изменяются при изменении частоты возбуждающего генератора.

  Собственные волны могут распространяться по волноводу не при любых частотах, а лишь при соблюдении условия (2.31).

  Следовательно, возможно такое соотношение между поперечными размерами волновода и частотой возбуждающего генератора, при котором в волноводе будут одновременно распространяться несколько собственных волн (теоретически – любое количество).

  В  то же время, возможно такое  соотношение между названными  выше параметрами, при котором  в волноводе не сможет распространяться  ни одна из собственных волн.

  И,  наконец, можно выдержать такое  соотношение между размерами  волновода и частотой возбуждающего  генератора, при котором в волноводе  может распространяться только  одна собственная волна, имеющая  наибольшую из всех собственных  волн критическую длину волны.  Эта собственная волна называется  «основной волной волновода»  или «волной низшего типа».

  Для  стандартного прямоугольного волновода,  у которого a > b, волной основного типа будет собственная волна Н₁₀. Критическая длина волны для собственной волны Н₁₀ равна 2a (4.1). По отношению к волне Н₁₀ все прочие собственные волны называются волнами высших типов.

 

 

 

 

 

5 Структура поля волны  в волноводе прямоугольного сечения

 

Для волны  Н₁₀ m = 1, n = 0, следовательно, k_x= π/a, k_y= 0, λ_кр= 2a, а система уравнений (3.36)-(3.41) преобразуется к следующему виду: 

= 0 (5.1),

= – j Е_0y  sin((π/a)x) exp(–jKz) = – j E_y(x) exp(–jKz) (5.2),

 = 0 (5.3),

 = j H_0x sin((π/a)x) exp(–jKz) = j H_x(x) exp(–jKz) (5.4),

 = 0 (5.5),

 = H_0zcos((π/a)x) exp(–jKz) = H_z(x) exp(–jKz) (5.6).

Анализ  уравнений (5.1)-(5.6) показывает, что вектор волны Н₁₀ имеет только одну составляющую Ε_y , расположенную в плоскости поперечного сечения волновода, а вектор – две составляющие: Η_x , расположенную в плоскости поперечного сечения волновода, и Η_z , параллельную продольной оси симметрии волновода. В отличие от плоских однородных поперечных волн, у которых амплитуды векторов и не меняются в плоскости их фазового фронта, амплитуды составляющих , и векторов и волны Н₁₀ изменяются в плоскости фазового фронта этой волны. Амплитуды составляющих и имеют максимальные значения (Е_0y и H_0x) в центре волновода и спадают до нуля около его боковых стенок, а амплитуда составляющей имеет максимум (H_0z) около боковых стенок и спадает до нуля в центре волновода. Фазовые соотношения между этими составляющими таковы, что по отношению к составляющая сдвинута в пространстве и во времени на π (т.е. находится по отношению к ней в противофазе), а составляющая – на π/2 (т.е. находится по отношению к ней в квадратуре). Соответственно, составляющие и сдвинуты по фазе друг относительно друга на π/2.  Формулы для гармонических векторов E (x,z,t) и H (x,z,t) волны Н₁₀ имеют следующий вид:

(5.7),

(5.8),

где E_y(x), H_x(x), H_z(x) – амплитуды составляющих E_y(x,z,t), H_x(x,z,t) и H_z(x,z,t).

  Амплитуды E_y(x), H_x(x), H_z(x) имеют максимальные значения Е_0y, H_0x, H_0z, а их зависимость от пространственной переменной х описывается следующими выражениями (см 4.1):

E_y(x) = Е_0y sin((π/a)x) (5.9),

H_x(x) = H_0x sin((π/a)x) (5.10),

H_z(x) = H_0zcos((π/a)x) (5.11).

Рисунок 5.1

На рисунке 5.1 (а, б, в) приведены графические изображения силовых линий вектора волны Н₁₀ в плоскости поперечного сечения волновода (пл11) и в двух взаимно перпендикулярных продольных плоскостях, параллельных узким и широким стенкам волновода и проходящим через ось его геометрической симметрии (пл22 и пл33 соответственно). Изображение сделано для момента времени t₁, когда вектор Е(x,z,t) достигает в плоскости 11 своего максимального положительного значения.

На рисунке 5.1 (г) приведена зависимость составляющей Е_y(x,z,t) от пространственной переменной (координаты) z в плоскости 22 для момента времени t₁, а на рисунке 5.1 (д) – зависимость амплитуды этой составляющей от координаты  x в плоскости 11.

Рисунок 5.2

    

На рисунке  5.2 (а, б, в) изображены силовые линии вектора волны Н₁₀ в плоскостях 11, 22 и 33 для момента времени t =t₁. На рисунке 5.2 (г, д) приведены зависимости составляющей H_x(x,z,t) от координаты z в пл.22 и составляющей H_z(x,z,t) от координаты z в плоскости y0z для момента времени t₁. На рисунке 5.2 (е, ж) приведены зависимости амплитуд Н_x(x) и Н_z(x) от координаты x в поперечных плоскостях 11 и 44 соответственно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.1 Распределение токов проводимости по стенкам волновода, в котором распространяется волна Н₁₀

 

Познакомимся  со структурой токов проводимости, возбуждаемых волной Н₁₀ на внутренних поверхностях стенок волновода (напомним, что стенки волновода считаются идеально проводящими и по ним могут течь только поверхностные токи).

Как известно, вектор плотности поверхностного тока ( ), возбуждаемого в идеальном проводнике, перпендикулярен касательной составляющей вектора напряженности магнитного поля ( ) электромагнитной волны, возбуждающей этот ток, и связан с ней следующим соотношением:

(5.12),

где –внешняя нормаль к поверхности идеального проводника. Для волны Н₁₀ касательными к стенкам волновода составляющими вектора являются:

– для  верхней и нижней стенок – составляющие Н_x и Н_z  при y=0 и y=b;

– для  боковых стенок – составляющая Н_z при x=0 и x=a.

  В  результате, мгновенная (для момента  времени t = t₁) картина силовых линий векторов плотности токов проводимости, текущих по внутренним поверхностям стенок волновода, будет иметь вид, изображенный на рисунке 6.3. Важно отметить, что в локальных областях, расположенных в центре волновода на расстоянии друг от друга, из которых исходят (или в которые входят) силовые линии токов проводимости, эти силовые линии замыкаются силовыми линиями токов смещения см (напомним, что см = ).

 

Рисунок 5.3

Для того, чтобы не загромождать рисунок 5.3, на нем изображены только те силовые линии токов смещения, которые находятся в плоскости поперечного сечения 44.

Знание  картины силовых линий токов  проводимости необходимо для решения  задачи размещения излучающих или неизлучающих щелей на стенках волновода. Излучающими  являются щели, прорезанные перпендикулярно  силовым линиям токов проводимости, а неизлучающими

– параллельно  этим силовым линиям. Следовательно, если в волноводе распространяется волна Н₁₀, то любая щель, прорезанная в боковой стенке волновода параллельно оси 0z будет излучающей, в то время как щель, прорезанная посередине широкой стенки волновода параллельно оси 0z, – неизлучающей и т.д.

 

 

 

 

 

 

 

5.2 Физический смысл индексов m и n, входящих в обозначение собственных волн прямоугольного волновода

 

Знакомство  со структурой полей собственных  волн высших типов облегчает понимание  физического смысла индексов m и n, входящих обозначения этих волн.

Во всех собственных волнах поле в поперечном сечении волновода представляет собой стоячие волны, пространственные периоды которых вдоль осей 0x и 0y равны λ_x и λ_y соответственно. Индекс m показывает сколько полуволн стоячей волны укладывается вдоль широкой стенки волновода, а индекс n – сколько полуволн стоячей волны укладывается вдоль узкой стенки волновода.

Формально это заключение можно сделать  на основании следующих

математических  выкладок:

λ_x= 2π/k_x= 2 π / (mπ/a) = 2a / m,

λ_y= 2π/k_y= 2 π / (nπ/b) = 2b / n.

Отсюда m = a / (λ_x/2);

n = b / (λ_y/2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 Расчет параметров волны Н₁₀ в прямоугольном волноводе 19 9,5

 

Рассмотрим прямоугольный волновод с параметрами (размер волновода по ГОСТ20900-75):

a=19 мм - ширина канала волновода;

b=9,5 мм - высота канала волновода;

s=1мм  - толщина стенки.

Рассмотрим  волну Н₁₀  которая характеризуется критической длиной волны λ_кр.

λ_кр =   (4.1),

где:  a=19 (мм)=0,019(м);

        b=9,5 (мм)=0,0095(м);

       m=1; n=0;

 

Рассчитаем  диапазон частот:

   при  

;

 

,

,

.

Диапазон  частот равен:  7,895 – 15,789 ГГц.

Рассчитаем длину волны:

.

 

Рассчитаем  фазовую скорость:

  (2.35).

 

Рассчитаем  групповую скорость:

 (2.36).

Проверим  тождество  = .

 Тождество выполняется.

Рассчитаем  коэффициент распространения волны  в волноводе:

(2.26).  

β - коэффициент распространения волны в волноводе;

k - постоянная распространения в среде с параметрами , : ;

λ_кр - критическая длина волны;

 поперечное волновое число:

Найдем волновое сопротивление волны H₁₀:

  (4.3).         

Зная волновое сопротивление волны H₁₀  рассчитаем затухание этой волны по формуле:

Для волновода  прямоугольного сечения размером 19x9,5 мм, мы получили следующие характеристики:

критическая длина волны λ_кр = 0,038 м.

диапазон частот равен: 7,895 – 15,789 ГГц.

длина волны на средней частоте λ = 0,0253 м.

фазовая скорость = м/с.

групповая скорость = м/с.

коэффициент распространения волны в волноводе β = 189,18 м^-¹

затухание волны α = 0,095 Дб/м.

 

 

 

 

 

Заключение

 

       В данной курсовой работе мы провели исследование электромагнитного поля в линии передачи: в прямоугольном волноводе размером сечения 19х9,5 мм.

        Были выполнены основные задачи исследования:

        Мы изучили  электромагнитное поле, его структуру и основные  свойства. Изучили  структуру поля волны в волноводе прямоугольного сечения. Проанализировали решения уравнений Максвелла для прямоугольного волновода. На основе изученного мы произвели расчет параметров волны в прямоугольном волноводе 19 9,5 и получили следующие характеристики:

критическая длина волны λ_кр = 0,038 м.

диапазон частот равен:  7,895 – 15,789 ГГц.

длина волны на средней частоте λ = 0,0253 м.

фазовая скорость = м/с.

групповая скорость = м/с.

коэффициент распространения волны в волноводе β = 189,18 м^-¹

затухание волны α = 0,095 Дб/м.

 

Полученные  характеристики могут быть применены  при дальнейшем изучении электромагнитных волн в волноводе прямоугольного сечения размером 19x9,5 мм и при использовании данного вида волновода на практике для передачи электромагнитной энергии.