Сделаем проверку найденного решения. Для этого подставим наше найденное решение в исходное уравнение следующим образом: 
 

                               

После нажатия  SIMPLIFY  получаем нулевую матрицу-столбец: 

                                                                         

что показывает, что общее решение найдено  верно.

 

5. Нахождение приближённого решения в виде матричного ряда.

    Дадим определение матричному ряду и экспоненциальной функции матрицы.

    Матричные ряды. Рассмотрим бесконечную последовательность матриц , , . Будем говорить, что последовательность матриц сходится к матрице А:

    

, 

    если    при . Из определения нормы следует, что сходимость матриц эквивалентна поэлементной сходимости. Матричным рядом называется символ , причем говорят, что этот ряд сходится к сумме ,  если к f сходится последовательность частичных сумм S_k, где

    .

    Пусть , тогда можно определить степень матрицы А обычным образом:

    

(k раз).

    Рассмотрим  ряд, называемый степенным:

    

, , ,

    где по определению положим A₀ = E_n.

    Экспоненциальная  функция матрицы. В качестве примера рассмотрим степенной ряд, равный:

    

.

    Так как радиус сходимости соответствующего числового ряда

    

    Равен бесконечности, то ряд сходится при  всех А. Сумма ряда называется экспоненциальной функцией (экспонентой) и обозначается через е^А, если  ехр{А}.

    Приближенно вектор решений можно найти как  произведение матричного ряда:

    

    

      и  вектора начальных условий  y₀=[y₁,y₂, …..y_k].

    Формула является матричной задачей Коши в приближенном виде.

    Экспонентой матрицы А называется сумма ряда

    

    где Е – единичная матрица.

          Матрица является решением матричной задачи Коши:

      т.е. является фундаментальной матрицей системы.

      Найдем  разложение матричного ряда шести первым членам. Введем следующее выражение: 

E+sum(A^n*t^n/n!, n, 1, 6)

для получения  разложения по 6 первым членам. Результатом будет являться матрица 4*4. Полученные матрицы умножаем на вектор начальных условий [1,2,3,3] и получаем приближенное решение в виде матричного ряда.

      Построив  графики решений (Рис.1.) и график решения задачи Коши (Рис.2.), мы видим, что при увеличении n первых членов, график приближается к графику решения задачи Коши.

     Найдем  вектор приближенных решений для  шести членов ряда.

    Получим  вектор,  элементами которого будут  приближенные значения исходных функций: 

      

    Для шести членов ряда:

    Первый  столбец:

    

    Второй  столбец:

    

    Третий  столбец:

    

    Четвертый столбец:

      
 

    При увеличении членов разложения ряда вектор приближенных решений будет стремиться к вектору точных решений.. Этот факт можно наблюдать, графически сравнивая изображение точного и приближенного решений (Рис.1. и Рис.2.)

    Умножим на соответствующий вектор начальных  условий и получим приближенное решение в виде матричного ряда, запишем полученное решение для n=6.

[1;2;3;3]

Рис.1.  Приближенное решение в виде матричного ряда 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6.Построение  общего решения  матричным методом. 

    Задача  нахождения решений системы дифференциальных уравнений эквивалентна задаче отыскания матрицы по матрице А.

    Для того, чтобы найти фундаментальную  систему решений уравнения, нужно  записать в явном виде вектор-столбцы  e^tA или какой-либо другой фундаментальной матрицы.

    Пусть А= SJS^-1, где J- жорданова форма матрицы А. 

    e^tA= T e^tJ T^-1, или e^tAT= T e^tJ

    e^tAT-фундаментальная матрица. Следовательно достаточно записать в явном виде столбцы матрицы Ф(t)=T e^tJ .

    e^tJ= diag { e^tJ1_, e^tJ2 ,…….,e^tJ },

    где e^tJ1=diag{ e^tl ,………,e^tl }

    

 

    Обозначим вектор-столбцы матриц Ф(t) и T через j¹(t),……., jⁿ(t) и t¹,…..,tⁿ соответственно. Умножая e^tJ на T слева, получим 

    j^j(t)=s^je^lj^t, j=1,…..,p 

    j^{p+r1+…….+r(k-1)+t}(t)=s^{p+r1+…..+r(k-1)}e^l(p+k) 

    j^{p+r1+…..+r(k-1)+t}(t)=t(s^{p+r1+……+r(k-1)+2})e^l(p+k)

    …………………………………………….. 

    j^{p+r1+…..+r(k)}(t)=t((t^r(k)-1 / (r(k)-1)t)s^{0+r1+……+r(k-1)+1} + …..+ s^{0+r1+……+r(k)} )e^l(p+k) 

    Данное  семейство решений, соответствующее  каждому k=1,……, q будем называть группой решений. Каждому кратному корню матрицы коэффициентов соответствует столько групп решений, сколько различных клеток Жордана соответствует ему в жордановой форме.

    Если  все собственные числа А простые, то фундаментальная система решений  имеет вид  j^j(t)=s^je^lj^t, j=1,…..,p. В этом случае коэффициенты при экспонентах оказываются постоянными векторами. Они  постоянны и в том случае, когда имеются кратные собственные числа, но все элементарные делители простые, т.е. когда жорданова форма J диагональная.

    Векторные коэффициенты t¹…….tⁿ  в формулах можно найти из условия

    SA=BS.

    При этом векторы t¹…….tⁿ должны образовывать неособую матрицу T.

    Общее решение уравнения имеет вид

    X=C1j ¹(t)+……..+Cnjⁿ (t), C1……..Cn€C

    Где j ¹……..jⁿ определяются формулами, приведенными выше. 

    Запишем матрицу Жордана для двух действительных разных и двух действительных кратных  корней:

    

          

    Из  уравнения SA = BS, где S – невырожденная матрица, получаем систему 16-го порядка, из которой находим элементы матрицы S. Полученная матрица S будет выглядеть следующим образом:

    

    

      

    Найдем  матрицу перехода S c использованием функции SOLVE:

      
 
 

подставим значения S31 и S44, в результате получим следующие значения:

    В результате получаем следующую матрицу: 

 

        

    Вектор  решений у=Sx, где

    Таким образом, вектор переменных в собственном базисе будет представлен в виде: 

    

      

    Тогда общее решение имеет вид: 

    

      

              

    Сделаем проверку решения, полученного матричным  методом: 

                                               

    

          

    После нажатия  SIMPLIFY получаем нулевую матрицу-столбец: 

    

 
 

    что показывает, что общее решение  найдено верно. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    7. Решение задачи Коши

    Формулировка  задачи Коши: из всех решений системы уравнения найти такое решение , в котором принимает заданное числовое значение при заданном числовом значении . Для решения задачи Коши подставляем вектор начальных условий в вектор решений системы дифференциальных уравнений, приравниваем независимую переменную t к нулю. Построим решение в форме Коши:

    х := 0 

    [1,2,3,3]

    Запишем общее решение однородного уравнения:

    

    Приравняем  вектору свободных членов, составим систему и найдем коэффициенты vi:

    

    

      

 

    Подставим найденные значения коэффициентов  в общее решение системы уравнений и получим решение задачи Коши:

     

    Построим  график решения задачи Коши:

      

 Рис.2. Решение задачи Коши для заданных начальных условий 
8. Исследование зависимости жордановой формы матрицы А от свойств матрицы системы

      Пусть J – жорданова клетка матрицы А. Для случая действительных разных корней жорданова клетка будет выглядеть следующим образом:

      

Пусть среди  действительных собственных чисел  матрицы А есть кратные. Жорданова  клетка будет находиться по следующей формуле:

Например, если кратность k=2, то жорданову клетку матрицы мы можем записать так:

Если кратность  k=3, то жорданову клетку матрицы мы можем записать так:

Если же среди трех собственных чисел являются корнями кратности 2, то жорданова форма будет выглядеть следующим образом: