Если два собственных  числа матрицы А являются комплексными сопряженными, то запись жордановой клетки будет выглядеть так:

 где  – действительная, – мнимая часть собственного числа .

9.Решение  неоднородной системы

   Будем искать решение неоднородной системы дифференциальных уравнений методом неопределенных коэффициентов. Идея метода заключается в том, что записываем решение системы в таком же виде что и вектор правых частей. Затем подставляем данное решение в исходную систему и находим неизвестные коэффициенты. Выполняем проверку и если в результате проверки получаем заданный вектор то наше решение верно.

   Дан вектор правых частей, который имеет следующий  вид:

   

   Запишем решение в таком же виде что  и вектор правых частей:

   

   Подставим наше решение в исходную систему:

   

   Получим систему:

   

   Нам нужно  найти коэффициенты, для этого  приравняем коэффициенты при одинаковых функциях, составим системы с помощью  функции SOLVE и найдем коэффициенты:

   

   Подставим и получим решение:

   

   Выполним  проверку:

   

   В результате проверки получили вектор правых частей следовательно наше найденной решение верно.

   Построим  графики каждого решения (Рис.3., Рис.4., Рис.5., Рис.6.)

 

Заключение.

 

     В ходе проделанной работы было изучен метод решения неоднородной системы и 3 метода нахождения общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений: метод Эйлера, решение в виде матричного ряда и матричный метод. По  сравнению с методом Эйлера и матричным методом, метод разложения в матричный ряд прост в реализации, но дает приближенное решение. Также была изучена задача Коши, которая была использована для нахождения частного решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений для данного вида начальных условий.

     Для установления правильности проведенных  вычислений была проведена проверка с помощью подстановки полученных решений в исходную систему уравнений. 

     Для реализации этой работы в DERIVE были использованы следующие функции пакета:

1. EIGENVALUES (A, ) – вычисление собственных чисел матрицы A с последующей записью в вектор .
2. SOLVE (Pm=0, ) – решение уравнения Pm=0, где Pm – полином степени m: Pm=p0* ^m p1* ^m-1+…+pm-1* +pm, а - переменная, относительно которой решается данное уравнение.
3. EXACT_VECTOR(A, ) – вычисление точного собственного вектора матрицы А и размещение этих значений в .
4. DIF(A,x,n) – дифференцирование A по x n раз.
5. SUM(M,n,f,g) – вычисление суммы M по n изменяющимся с f до g.
6. VECTOR(u,k,n)– задание (вычисление) вектора значений при k изменяющемся от 1 до n.

 

А также функции  меню: 

1. SOLVE/SYSTEM –решение системы с последующим заданием в диалоговом окне количества уравнений, самих уравнений и переменных, относительно которых решается данное уравнение.
2. Simplify > Expand– раскрытие выражений.

      Команда Expand используется для раскрытия  математических выражений.

      Expand expression: #n: где n – номер строки  выражения (операнда).

      Expand Variable: #n .

      В этом варианте команды необходимо указать  имя переменной, по которой будет  проведено преобразование. Если по всем -<Enter>.

3. Для  построения графиков использовали  функцию 2D-plot. 
 
 

 

Приложение.

График первого  решение неоднородной системы:

 

Рис.3. Первое решение неоднородной системы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Рис.4. Второе решение неоднородной системы

Рис.5.Третье решение неоднородной системы 

      Рис.6. Четвертое решение неоднородной системы 
Список  литературы. 

1. Пантелеев А. В., Якимова А. С., Босов А. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. -  М.: Высшая школа, 2001
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2.–М.:Наука,1978.
3. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.–М.:Наука,1969.
4. Ю. Н. Биюиков, Обыкновенные дифференциальные уравнения, учебное издание.
5. В. И. Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения, учебное издание.

6. Ельцов  А.А.Высшая математика. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения: Учебное  пособие. - Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования,  2001. - 231 с.

7. Задорожный  В. Н., Трифонов А. Ю. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Методическое пособие. -  Т.: Издательство ТПУ, 2006