Кинематиканың негізгі ұғымдары

1.1. Кинематиканың негізгі ұғымдары

Кинематика деп денелердің қозғалысын зерттейтін, бірақ қозғалыстың туу себебін қарастырмайтын физиканың бөлімі.

Механикалық қозғалыс деп уақыт өзгерісінде кеңістікте дененің басқа денелерге қатысты орын ауыстыруын айтамыз.

Механикалық қозғалыс – салыстырмалы. Бір дененің әр түрлі денелерге қатысты қозғалысы әр түрлі болады. Дененің қозғалысын сипаттау үшін, қозғалыс қай денеге қатысты қарастырылатынын белгілеу қажет. Бұл денені санақ денесі деп атайды. Санақ денесі және уақыт – санақ жүйесін құрап, ол қозғалған дененің кез келген уақыттағы орнын анықтауға мүмкіндік береді.

Халықаралық бірліктер жүйесінде (СИ) ұзындықтың бірлігі ретінде метр, ал уақыттың бірлігі ретінде – секунд қабылданған.

Әрбір дене белгілі бір өлшемдерге ие. Дененің әр түрлі бөліктері кеңістіктің әр түрлі жерлерінде орналасады. Алайда, механиканың көпшілік есептерінде дененің әр түрлі бөліктерінің орнын көрсетудің қажеті жоқ. Егер дененің өлшемдері басқа денелерге дейінгі арақашықтығынан аз болса, онда бұл денені оның материалдық нүктесі деп санауға болады. Мәселен, оны ғаламшарлардың Күннің айналасындағы қозғалысын зерттегенде алуға болады. Егер дененің барлық бөліктері бірдей қозғалса, ондай қозғалысты ілгерілемелі қозғалыс деп аталады. Мысалы үшін, «Гиганттық дөңгелек» аттракционындағы кабиналар, жолдың түзу сызықтық бөлігіндегі автомобиль және басқалар ілгерілемелі қозғалады. Дененің ілгерілемелі қозғалысында оны материалдық нүкте ретінде қарастыруға болады.

Сурет 1.1.1. Нүктенің орнын x = x(t), y = y(t) және z = z(t) координаталары және радиус-векторы арқылы анықтау.

Радиус вектор уақыттың бастапқы кезіндегі нүктенің орны.

Өлшемдерін берілген жағдайда ескермеуге болатын денені материалдық нүкте деп атайды.

Материалдық нүкте ұғымы механикада маңызды орын алады. Уақыт өткенде бір нүктеден екінші нүктеге орын ауыстырғанда, дене (материалдық нүкте) дене қозғалысының траекториясы деп аталатын қандай да бір қисықты сызады.

Дененің кез келген уақыттағы кеңістікте орнын (қозғалыс заңын) x = x(t), y = y(t), z = z(t) координаттардың уақыттан тәуелділігінен

(координаттық әдіс), не болмаса уақыттың бастапқы нүктеден берілген нүктеге жүргізілген радиус-вектордан тәуелділігінен (векторлық әдіс) анықтауға болады (сурет 1.1.1).

Дененің орын ауыстыруы деп дененің бастапқы орнын оның кейінгі орнымен қосатын бағытталған кесіндіні айтады. Орын ауыстыру – векторлық шама.

Жүрген жолы - дененің белгілі t уақыттың ішінде траектория доғасының ұзындығына тең болады. Жол – скалярлық шама.

Егер дененің қозғалысын жеткілікті аз уақыттың ішінде қарастырса, онда орын ауыстыру векторы осы нүктеге жүргізілген траекторияның жанамасы бойымен бағытталады, ал оның ұзындығы жүрілген жолына тең болады.

Сурет 1.1.2. Қисық сызықты қозғалыстағы дененің жүрген жолы l және

орын ауыстыру векторы . a және b  - жолдың бастапқы және соңғы нүктелері.

Δt уақыты жеткілікті аз болған жағдайда, Δl дененің жүрген жолы Δs орын ауыстыру векторының модулімен сәйкес келеді. Дене қисық сызықты траекторияның бойымен қозғалғанда, орын ауыстыру векторының модулі жүрген жолынан әрқашан аз болады (сурет 1.1.2).

Қозғалысты сипаттау үшін орташа жылдамдық ұғымы енгізіледі:  

Физикада орташа жылдамдық емес, лездік уақыт қызығушылық тудырады. Ол шексіз аз Δt уақыт ішіндегі орташа жылдамдық ұмтылғандағы шекпен анықталады:

Математикада мұндай шекті туынды деп атап, немесе деп белгілейді.

Дененің қисық сызықты траекториясының кез келген нүктесіндегі лездік жылдамдығы осы нүктеде траекторияға жүргізілген жанаманың бойымен бағытталады. Орташа және лездік жылдамдықтардың арасындағы айырмашылық 1.1.3 суретінде көрсетілген.

Сурет 1.1.3. Орташа және лездік жылдамдық.

- бұл сәйкес уақыт ішіндегі орын ауыстырулар. кезде .

Дене қисық сызықтық траекторияның бойымен қозғалғанда, оның жылдамдығының модулі және бағыты өзгереді. жылдамдығының қандай да бір жеткілікті аз Δt уақыты ішінде өзгерісін векторы арқылы беруге болады (сурет 1.1.4). жылдамдықтың Δt  уақыт ішіндегі өзгеру векторын екі құраушыға жіктеуге болады: векторының бойымен бағытталған векторына (жанама құраушы) және векторына перпендикуляр бағытталған (нормаль құраушы).

Сурет 1.1.4. Жылдамдық векторының модулі және бағыты жағынан өзгеруі.

- жылдамдық векторының Δt уақытының ішінде өзгеруі.

Дененің лездік үдеуі (немесе үдеу) деп жылдамдықтың аз өзгеруінің сол жылдамдық өзгерген уақыттың аз өзгеруіне Δt қатынасының шегін айтамыз.

Қисық сызықты қозғалыс кезінде үдеу векторының бағыты жылдамдық векторының бағытымен сәйкес келмейді. үдеу векторының құраушыларын жанама (тангенциал) және нормаль  үдеу деп атайды (сурет 1.1.5).

Сурет 1.1.5. Жанама және нормаль үдеулер.

Жанама үдеу дененің жылдамдығы модуль жағынан қалай өзгеретінін көрсетеді: 

векторы траекторияға жанама бойымен бағытталады.

Нормаль үдеу дененің жылдамдығы бағыты жағынан қалай өзгеретінін  көрсетеді. Қисық сызықты қозғалысты шеңберлер доғаларының бойымен қозғалыс түрінде көрсетуге болады (сурет 1.1.6).

Сурет 1.1.6 Шеңберлер доғаларының бойымен қозғалыс.

Нормаль үдеу v жылдамдықтың модулінен және дене осы уақытта қозғалған шеңбердің R радиусынан тәуелді.

          векторы әрқашан шеңбердің центріне бағытталады.

1.1.5. суретінен толық үдеудің модулі          шамасына тең болатыны көрініп тұр.

Сонымен, кинематикада материалдық нүктенің негізгі физикалық шамаларының қатарына: l жүрген жолы, Δs орын ауыстыруы, жылдамдық және үдеу жатады. l жолы – скаляр шама болып табылады. Δs орын ауыстыруы, жылдамдығы және үдеу – векторлық шамаларға жатады. Векторлық шаманы көрсету үшін, оның модулін және бағытын көрсету қажет. Векторлық шамалар белгілі математикалық ережелерге бағынады. Векторларды координат осьтеріне проекциялауға, оларды қосуға, алуға, т.с.с. болады.

1.2. Қозғалыстың салыстырмалылығы

Денелердің қозғалысын әр түрлі санақ жүйелерінде сипаттауға болады. Кинематиканың көзқарасы бойынша, барлық санақ жүйелері тең құқылы. Алайда, траектория, орын ауыстыру, жылдамдық сияқты қозғалыстың кинематикалық  сипаттамалары әрбір жүйеде әр түрлі болады. Есептеулер жүргізілетін санақ жүйесінің таңдауынан тәуелді шамалар – салыстырмалы шамалар деп аталады.

Екі санақ жүйесі бар болсын. XOY жүйесі шартты қозғалмайтын, ал X’O’Y’ жүйесі XOY жүйесіне қатысты жылдамдығымен ілгерілемелі қозғалатын болсын. Мысалы үшін, XOY жүйесі Жермен, ал X’O’Y’ жүйесі – рельс бойымен қозғалып келе жатқан платформамен байланысты болуы мүмкін (1.2.1. сурет).

1.2.1. сурет. Орын ауыстыруларды әр түрлі санақ жүйелеріне қатысты қосу.

Адам платформа бойымен белгілі уақыт ішінде А нүктесінен В нүктесіне жүріп өтсін. Онда оның платформаға қатысты орын ауыстыруы , ал платформаның Жерге қатысты орын ауыстыруы   векторына сәйкес келеді. 1.2.1 суретінен: адамның Жерге қатысты орын ауыстыруы және векторларының қосындысынан тұратын векторына тең болатынын көреміз.      Егер санақ жүйелерінің біреуі екіншісіне қатысты 1.2.1. суретте көрсетілгендей тұрақты жылдамдығымен ілгерілемелі қозғалатын болса, онда бұл өрнек      түріне келеді.

Егер қозғалысты кішкентай Δt уақыттың ішінде қарастырса, онда осы теңдеудің екі жағын Δt-ға бөліп, болғандағы шекке көшсек:    (*)   аламыз. Мұндағы - дененің XOY «қозғалмайтын» санақ жүйесіндегі жылдамдығы, - дененің X’O’Y’ «қозғалмалы» санақ жүйесіндегі жылдамдығы. және жылдамдықтары абсолют және салыстырмалы жылдамдықтар деп, ал жылдамдығын – тасымал жылдамдығы деп атайды. (*) қатынасы жылдамдықтарды қосудың классикалық заңын өрнектейді.

Дененің абсолют жылдамдығы оның салыстырмалы жылдамдығының және қозғалмалы санақ жүйесінің тасымал жылдамдығының векторлық қосындысына тең болады.

Дененің әр түрлі санақ жүйелеріндегі үдеулеріне назар аудару қажет. (*) өрнегінен: бірқалыпты және бірқалыпты түзу сызықтық қозғалыс кезінде санақ жүйелерінің бір-біріне қатысты үдеулері тең болады, яғни .

Шынында да, егер - модулі және бағыты уақыт өзгергенде тұрақты қалатын вектор болса, онда дененің салыстырмалы жылдамдығының кез келген өзгерісі оның абсолют жылдамдығының өзгерісімен сәйкес келеді. Соның салдарынан: 

ұмтылғандағы шекке көшкенде, аламыз. Жалпы жағдайда санақ жүйелерінің бір-біріне қатысты үдеумен қозғалысы кезінде дененің үдеуі әрбір санақ жүйелерінде әр түрлі болады. Салыстырмалы қозғалыстың векторы және тасымал жылдамдықтың векторлары бір-біріне параллель болған жағдайда, жылдамдықтарды қосу заңы скаляр түрде жазуға болады:   .

Бұл жағдайда барлық қозғалыстар бір түзу сызықтың (мысалы, ОХ осінің) бойымен болады. жылдамдықтарын абсолют, тасымал және салыстырмалы жылдамдықтарының ОХ осіне проекциялары ретінде қарастыру қажет. Олар алгебралық шамалар болып табылады және соның салдарынан, оларға қозғалыстың бағытына сәйкес «+» немесе «-» таңбасын қою қажет.

1.3. Бірқалыпты қозғалыс

Механикалық қозғалыстың қарапайым қозғалысына түзу сызықтың бойымен модулі және бағыты бойынша тұрақты қозғалысы жатады. Мұндай қозғалысты бірқалыпты деп атайды. Бірқалыпты қозғалыс кезінде дене бірдей уақыт аралықтары ішінде бірдей жол жүреді. Бірқалыпты түзу сызықты қозғалысты сипаттау үшін, ОХ координаталық осін қозғалыс сызығының бойымен орналастыру ыңғайлы. Бірқалыпты қозғалыс кезінде дененің орны бір х координатасының беруімен анықталады. Орын ауыстыру және жылдамдық векторлары әрқашан ОХ координаттық осіне параллель орналасады. Сондықтан бірқалыпты түзу сызықтық қозғалыс кезінде орын ауыстыру және жылдамдық векторларын ОХ осіне проекциялап, олардың проекцияларын алгебралық шамалар ретінде қарастыруға болады. Егер қандай да бір t1 уақытта дене координатасы х1-ге тең нүктеде орналасқан болып, ал кейінгі t2 кезінде координатасы х2-ге тең нүктеде орналасқан болса, онда Δs орын ауыстыруының Δt = t2-t1 уақыт ішіндегі ОХ осіне проекциясы   Δs = x2 – x1 тең болады. Бұл шама дене қозғалып келе жатқан бағытына байланысты оң да, теріс те болуы мүмкін. Түзу бойымен бірқалыпты қозғалған кезде орын ауыстырудың модулі жүрілген жолға тең  болады.

Бірқалыпты түзу сызықты қозғалыстың жылдамдығы деп         қатынасын айтады. Егер v > 0 онда дене ОХ осінің оң бағытына қарай қозғалады, егер v < 0, онда қарама-қарсы бағытта қозғалады. х координатасының t уақыттан тәуелділігі (қозғалыс заңы) бірқалыпты түзусызықты қозғалыста сызықты математикалық теңдеумен өрнектеледі:  x(t) = x0 + vt.

Бұл теңдеуде v = const  - дене қозғалысының жылдамдығы, x0 - дененің t = 0 кезіндегі нүктенің координатасы. Графикте x(t) қозғалыс теңдеуі түзу сызықпен көрсетіледі. Мұндай графиктердің мысалдары 1.3.1.-суретте көрсетілген.

1.3.1.-сурет. Бірқалыпты түзусызықты қозғалыстың графиктері.

1.3.1-суретте I-графиктегі қозғалыс заңы үшін t = 0 кезінде дене координатасы x0 = -3 нүктесінде орналасқан. t1 = 4 с және t2 = 6 с уақыттарының арасында дене x1 = 3 м нүктесінен x2 = 6 м нүктесіне орын ауыстырды. Сонымен, Δt = t2 – t1 = 2 с уақыт ішінде дене Δs = x2 – x1 = 3 м шамаға орын ауыстырды. Сондықтан, дененің жылдамдығы

      тең болады.

Жылдамдықтың шамасы оң болып шықты. Бұл дене ОХ осінің оң бағытының бойымен қозғалғанын көрсетеді. Графикте дененің жылдамдығын геометриялық түрде, яғни ВС және АС қабырғаларының қатынасы түрінде анықтауға болатынына назар аударыңыз (1.3.1.суретін қараңыз): 

Түзу мен уақыт осінің арасындағы α бұрышы неғұрлым үлкен болса, яғни графиктің бұрылуы неғұрлым көп болса, соғұрлым дененің жылдамдығы да көп болады. Кейде дененің жылдамдығы x(t) түзуінің α бұрылу бұрышының тангенсіне тең болады деп атайды. Математикада бұл тұжырым әр кезде дұрыс бола бермейді, өйткені АВС теңдеуінің ВС және АС қабырғаларының өлшемдері әр түрлі: ВС қабырғасы метрмен, ал АС қабырғасы – секундпен өлшенеді.

Дәл осылай 1.3.1-суреттегі II түзуінің қозғалысы үшін x0 = 4 м, υ = –1 м/с табамыз. 1.3.2.-суретте x(t) қозғалыс заңы түзу сызықтардың кесінділерінің көмегімен көрсетіледі. Математикада мұндай графиктерді бөлік-сызық графиктер деп атайды. Түзудің бойымен мұндай қозғалыс бірқалыпты болып табылмайды. Графиктің әр түрлі бөліктерінде дене әр түрлі жылдамдықтармен қозғалады, оларды сәйкес кесіндінің уақыт осіне қатысты бұрылуы бойынша анықтауға болады. График сынған нүктелерде дене өз жылдамдығын лезде өзгертеді. Графикте (1.3.2. сурет) бұл t1 = –3 с, t2 = 4 с, t3 = 7 с и t4 = 9 с кезінде болады. (t2; t1) интервалында дене υ12 = 1 м/с жылдамдығымен, (t3; t2) интервалында - υ23 = –4/3 м/с жылдамдығымен, (t4; t3) интервалында υ34 = 4 м/с жылдамдығымен қозғалатынын табу қиын емес. Бөлік-сызық қозғалыс кезінде дененің жүрген жолы l орын ауыстырумен s сәйкес келмейді.

1.3.2.-сурет. Бөлік-сызық қозғалыс заңы.

Мысалы 1.3.2.-суретте көрсетілген қозғалыс заңы үшін уақыттың 0-ден 7-ге дейінгі интервалында дененің орын ауыстыруы 0-ге тең (s = 0). Осы уақыт ішінде дене l = 8 м жол жүрді.

1.4. Бірқалыпты үдемелі қозғалыс

Жалпы жағдайда бірқалыпты үдемелі қозғалыс деп үдеу векторы модулі және бағыты жағынан тұрақты болатын қозғалысты айтады. Мұндай қозғалыстың мысалы ретінде горизонтпен белгілі бұрышпен лақтырылған тастың қозғалысы бола алады (ауаның кедергісі ескерілмейді). Траекторияның кез келген нүктесінде тастың үдеуі еркін құлау үдеуіне тең болады. Тас қозғалысының кинематикалық сипаттамасын беру үшін, координаттар жүйесін осьтердің біреуі (мысалы OY) үдеу векторына параллель бағыттайды. Онда тастың қисық сызықты қозғалысын екі қозғалыстардың – OY осінің бойымен түзусызықты бірқалыпты үдемелі қозғалыстың және перпендикуляр бағыттағы (яғни OX осінің бойымен) бірқалыпты түзу сызықты қозғалыстардың қосындысы түрінде беруге болады (1.4.1-сурет).