Кинематиканың негізгі ұғымдары

1.4.1.-сурет. жылдамдықтың және үдеу векторларының координат  осьтеріне проекциялары. .

Сонымен, бірқалыпты үдемелі қозғалысты зерттеу түзу сызықты бірқалыпты үдемелі қозғалысты зерттеуге келтіріледі. Түзу сызықты қозғалыс жағдайында жылдамдық және үдеу векторлары қозғалыс түзуінің бойымен бағытталады. Сондықтан жылдамдығын және үдеуін қозғалыс бағытына проекциялап, алгебралық шамалар ретінде қарастыруға болады.

Бірқалыпты үдемелі қозғалыс кезінде дененің жылдамдығы

(*)         формуласымен анықталады.

Бұл формуладағы υ0  t = 0 болғандағы дененің жылдамдығы. a = const – үдеу. Графикте υ(t) тәуелділігі түзу сызығымен бейнеленген (1.4.2-сурет).

1.4.2.-сурет. Бірқалыпты үдемелі қозғалыс жылдамдығының графигі a үдеуі жылдамдық графигінің көлбеуі арқылы анықталуы мүмкін. 1.4.2.-суретіндегі сәйкес салулар І-графигіне арналған. Үдеудің сандық мәні АВС үшбұрышының қабырғаларының қатынасына тең болады: 

Жылдамдық графигі мен уақыт осінің арасындағы β бұрышы неғұрлым үлкен болса, яғни графиктің көлбеулігі неғұрлым үлкен болса, дененің үдеуі соғұрлым үлкен болады.

І графигі үшін: υ0 = –2 м/с, a = 1/2 м/с2.

ІІ графигі үшін: υ0 = 3 м/с, a = –1/3 м/с2.

Жылдамдық графигі қандай да бір t уақыт аралығында дененің s орын ауыстыруының проекциясын анықтауға мүмкіндік береді. Уақыт осінен қандай да бір Δt уақыт аралығын бөліп алайық. Егер бұл аралық жеткілікті кіші болса, онда осы аралықта жылдамдықтың өзгеру аралығы үлкен болмайды, яғни осы уақыт аралығындағы Δt уақыт аралығындағы v  лездік жылдамдыққа тең орташа бірқалыпты жылдамдық деп санауға болады. Соның салдарынан, Δt уақыт аралығындағы Δs орын ауыстыруы Δs = υΔt тең болады. Бұл орын ауыстыру 1.4.2.-суретте көрсетілген штрихталған ауданға тең. 0-ден қандай да бір t моментіне дейінгі уақытты Δt кіші аралықтарына бөлсе, дененің бірілген t уақыт ішіндегі s орын ауыстыруы бірқалыпты түзу сызықты қозғалысы ODEF трапециясының ауданын алуға болады. Сәйкес салулар ІІ- график үшін 1.4.2. суретінде орындалған. t уақыты 5,5 с.

υ – υ0 = at тең болғандықтан, 0-ден t уақыт аралығындағы бірқалыпты үдемелі қозғалыс кезіндегі дененің s орын ауыстыруы келесі қорытқы  формула арқылы жазылады:

(**)
Дененің кез келген t уақыт моментіндегі y координатасын табу үшін, бастапқы y0 координатасына t уақыт кезіндегі орын ауыстыруын қосады.

(***)

Бұл өрнек бірқалыпты үдемелі қозғалыстың заңы деп атайды.

Бірқалыпты үдемелі қозғалысты талдау кезінде берілген бастапқы υ0 , соңғы υ және a үдеуінің мәндері арқылы дененің орын ауыстыруын табу есебі қойылады. Бұл есеп (*), (**) теңдеулерінен t уақытты шығарып тастау арқылы шешіледі. Нәтиже

        түрінде жазылады.

Осы формуладан s орын ауыстыруы, a үдеуі және v0 бастапқы жылдамдығы белгілі болса, соңғы v жылдамдығы келесі формула арқылы табылады:

       Егер υ0=0 болса, онда осы формулалар             түріне келеді.

Бірқалыпты түзу сызықты үдемелі қозғалыстың формулаларына кіретін υ0, υ, s, a, y0 шамалары алгебралық шамалар болып табылады. Нақтылы жағдайда бұл шамалар оң да, теріс те болуы мүмкін.

1.5. Денелердің еркін түсуі

Денелердің еркін түсуі деп ауа кедергісі болмағандағы денелердің Жерге түсуін айтады. XVI ғасырдың аяғында ұлы итальян Г. Галилей тәжірибелік жолмен сол заманға сай уақыт дәлдігімен ауа болмағанда барлық денелер Жерге бірқалыпты үдемелі түсетінін және барлық денелердің үдеулері бірдей болатынын анықтады. Осыдан 2000 жыл бұрын Аристотельден бастап ғылымда ауыр денелер жеңіл денелерге қарағанда Жерге жылдамырақ түсетіні ұйғарылды.

Денелердің Жерге түсетін үдеуді еркін түсу үдеуі деп аталады. Еркін түсу үдеуінің векторы символымен белгіленеді, оның бағыты вертикаль төмен бағытталады. Жер шарының әр түрлі нүктелерінде географиялық ені және бойына, теңіз деңгейіне байланысты g-дің сандық мәні бірдей болмайды. Жуық шамамен полюстерде 9,83 м/с2-ден экваторда 9,78 м/с2 дейін өзгереді. Мәскеудің енінде g = 9,81523 м/с2. Әдетте есептеулерде жоғары дәлдік қажет болмаса, онда Жер бетіндегі g-дің сандық мәні ретінде 9,8 м/с2 немесе  тіпті 10 м/с2 деп алады.

Еркін түсу үдеуінің мысалы болып бастапқы жылдамдығы 0-ге тең h биіктігінен құлаған дене болып табылады. Еркін түсу – түзу сызықты үдеуі тұрақты қозғалыс болып  табылады. Егер бастапқы координатасын Жердің бетімен беттестіріп, OY координаттық осін вертикаль жоғары бағыттасақ, онда бастапқы жылдамдықсыз еркін түсуді талдау үшін               формуласын қолданады, мұндағы υ0 = 0, y0 = h, a = –g. Егер дене құлаған кездегі координатасы y < h  нүктеде болса, дененің s орын ауыстыруы s = y – h < 0 болатынына назар аударыңыз. Бұл шама теріс, өйткені дене құлаған кезде OY осі бойынша оң шамаға қарама-қарсы бағытталады. Нәтижесінде: υ = –gt.          аламыз.   Жылдамдық векторы төмен бағытталғандықтан, жылдамдық теріс.        

Жерге құлау  уақыты tn  y = 0 шартынан анықталады.      

Дененің кез келген нүктесіндегі жылдамдығы:         

Дербес жағдайда y = 0 болғанда υn Жерге түсу жылдамдығы:     

Осы формулаларды қолданып, берілген биіктіктен түсу уақытын, құлап бастағаннан кейінгі кез келген моменттегі және траекторияның кез келген нүктесіндегі дененің жылдамдығын есептеуге болады.

Дәл осылайша бастапқы жылдамдығы υ0 вертикаль жоғары лақтырылған дененің қозғалысы анықталады. Егер OY осін бұрынғыша вертикаль жоғары бағыттаса, ал оның басын лақтыру нүктесімен беттестірсе, онда бірқалыпты түзу сызықты үдемелі қозғалыстың формулаларында y0 = 0, υ0 > 0, a = –g деп алады. Бұл υ = υ0 – gt.    береді. υ0 / g уақыттан кейін υ дененің жылдамдығы 0-ге айналады, яғни дене ең жоғары көтерілу нүктесіне жетеді. y координатасының t уақыттан тәуелділігі             формуласы бойынша анықталады.

Дене Жерге (y = 0) 2υ0 / g уақыттан кейін түседі, соның салдарынан көтерілу және құлау уақыттары бірдей. Жерге құлау кезіндегі дененің жылдамдығы –υ0-ға тең, яғни дене жоғары лақтырылған жылдамдықтың модулімен бірдей жылдамдықпен жерге құлайды.

Максималды көтерілу биіктіігі:    

1.5.1.-сурет. Дененің a = –g үдеумен әр түрлі қозғалыс режіміндегі жылдамдықтар графиктері

1.5.1.-суретте дененің a = –g үдеумен жылдамдығының үш жағдайының графигі көрсетілген. І графигі бастапқы жылдамдықсыз қандай да бір h биіктіктен дененің еркін түсуіне сәйкес келеді. Дене tn = 1 с уақытта құлаған. Еркін түсу формулаларынан h = 5 м жеңіл табуға болады (осы мысалдардағы барлық сандар дөңгелектелген, еркін түсу үдеуі g = 10 м/с2 алынған). ІІ-графигі – бастапқы жылдамдығы υ0 = 10 м/с вертикаль жоғары лақтырылған дененің қозғалысы. Максималды көтерілу биіктігі h = 5 м. Дене жерге 2 секундтан кейін қайта оралады. ІІІ-график – І-графигінің қосымшасы. Еркін түскен дене жерге соғылып, жылдамдығы өте аз уақыт ішінде таңбасын қарама-қарсыға ауыстырады. Дененің содан кейінгі қозғалысы ІІ жағдайынан өзге болмайды.

Денелердің еркін түсу есебі горизонтпен белгілі бұрыш жасай лақтырылған дененің жылдамдығы есебімен тығыз байланысты. Дене қозғалысының кинематикалық сипаттамасын беру үшін, жүйенің бір осін вертикаль жоғары бағыттап (OY осі),  ал екіншісін (ОХ осін) горизонталь бағыттау қажет. Онда қисық сызықты траектория бойынша қозғалған дененің қозғалысын бір-біріне тәуелсіз екі қозғалыстың (еркін түсу үдеуінің OY осінің бойымен қозғалысы мен OX осінің бойымен бірқалыпты түзу сызықты қозғылысы) қосындысы түрінде беруге  болады. 1.5.2.-суретте дененің бастапқы жылдамдық векторы және оның координат осьтеріне проекциялары көрсетілген.

1.5.2.-сурет. Горизонтқа бұрыш жасап лақтырылған дененің қозғалысы.

Дененің бастапқы жылдамдық векторының координат осьтері бойынша жіктелуі.

Сонымен, OX осінің бойымен қозғалысы үшін келесі шарттарды аламыз:

x0 = 0, υox = υ0 cos α, ax = 0,   ал OY осі бойымен қозғалысы үшін келесі шарттарды аламыз: y0 = 0, υoy = υ0 sin α, ay = –g.

Горизонтқа бұрыш жасап лақтырылған дененің қозғалысын сипаттайтын кейбір формулаларды келтірейік.

Ұшу уақыты:                   Ұшу қашықтығы:            ,           мұндағы

Горизонтқа бұрыш жасап лақтырылған дененің қозғалысы параболалық траектория бойынша орындалады. Нақты жағдайда мұндай қозғалыс ұшу қашықтығын бірнеше есе кішірейте алатын ауа кедергісінің салдарынан едәуір бұрмалана алады.

1.6. Шеңбер бойымен қозғалыс.

Дененің шеңбер бойымен қозғалысы қисық сызықты қозғалыстың дербес жағдайы болып табылады. орын ауыстыру векторымен қатар радианмен өлшенетін бұрыштық орын ауыстыруын қарастыру ыңғайлы. Доғаның ұзындығы бұрылу бұрышымен   Δl = RΔφ.    қатынаспен байланысты.

Бұрылу бұрышы аз болған кезде Δl ≈ Δs.

1.6.1.-сурет. Дененің  шеңбер бойымен сызықты және бұрыштық орын ауыстыруы.

Шеңбер траекториясының берілген нүктесіндегі бұрыштық жылдамдық   деп кішкентай бұрыштық орын ауыстыруының кішкентай уақыт аралығына қатынасының шегін айтады.

Бұрыштық жылдамдық рад/с өлшенеді.    Сызықтық жылдамдығы мен бұрыштық  жылдамдығының арасындағы байланыс      υ = ωR.

Дененің шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалыс кезінде υ және ω шамалары тұрақты болады. Бұл жағдайда векторының бағыты ғана өзгереді.

Дененің шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалысы үдемелі қозғалыс болып табылады.    үдеуі шеңбер радиусы бойынша центріне бағытталады. Оны нормаль немесе центрге тартқыш үдеу деп атайды. Центрге тартқыш үдеудің модулі сызықтық υ және бұрыштық ω жылдамдықтарымен келесі қатынастармен байланысқан:  ,        

Осы өрнекті дәлелдеу үшін жылдамдық векторының Δt аз уақыт аралығындағы өзгерісін қарастырайық.

Үдеудің анықтамасы бойынша  

А және В нүктелеріндегі жылдамдықтардың векторлары осы нүктелердегі шеңберге жүргізілген жанамалардың бойымен бағытталады. Жылдамдықтардың модульдері бірдей: υA = υB = υ.

ОАВ және ВСD  үшбұрыштарының ұқсастықтарынан (1.6.2-сурет):            шығады.

1.6.2.-сурет. Дененің шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалысы кезіндегі центрге тартқыш үдеуі

Δφ = ωΔt бұрышының кіші мәндерінде |AB| =Δs ≈ υΔt. |OA| = R және  |CD| = Δυ болғандықтан 1.6.2.-суреттен үшбұрыштар ұқсастығынан  

Δφ-дің кіші бұрыштарында векторының бағыты шеңбер центрінің бағытына жақындайды. Соның салдарынан Δt → 0 болғанда шекке көшкенде:

Дененің шеңбердегі орны ауысқан кезде шеңбер центріне бағыты өзгереді. Дененің шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалысы кезінде үдеу модулі тұрақты қалады, бірақ үдеу векторының бағыты уақытқа байланысты өзгереді. Үдеу векторы шеңбердің кез келген нүктесінде оның центріне бағытталады. Сондықтан шеңбер бойымен түзу сызықты қозғалысы кезіндегі үдеу – центрге тартқыш үдеу деп табылады.

Центрге тартқыш үдеу векторлық формада келесі түрде жазылады:      мұндағы - басы шеңбердің центрінде орналасқан шеңбердегі нүктенің радиус-векторы.

Егер дене шеңбер бойымен бірқалыпсыз қозғалса, онда үдеудің жанама (немесе тангенциал) құраушысы пайда болады.

Бұл формулада Δυτ = υ2 – υ1 – жылдамдық модулінің Δt уақыт аралығындағы өзгерісі.      толық үдеу векторының бағыты шеңбер траекториясының жанама және нормаль үдеулерінің шамаларымен әр нүктеде анықталады (1.6.3.-сурет).

1.6.3.-сурет. Дененің шеңбер бойымен бірқалыпсыз қозғалыс үдеуінің және құраушылары.

Дененің шеңбер бойымен қозғалысы х және у екі координатасы (жазық қозғалыс) арқылы сипаттауға болады. Дененің әр моменттегі жылдамдығын екі құраушыға υx және υy жіктеуге болады (1.6.4.-сурет).

Дененің бірқалыпты қозғалысы кезіндегі x, y, υx, υy шамалары уақыт өзгерісінде периоды      тең гармониялық заң бойынша өзгереді.

1.6.4.-сурет. жылдамдық векторының координат осьтері бойынша жіктелуі.