Лаборатория молекулярной физики

Кафедра общей  физики ПГУ

Лаборатория молекулярной физики

Введение

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Хорошо известно, что физики делятся  на теоретиков и экспериментаторов. Теоретики, имея бумагу и карандаш,  могут, исходя из фундаментальных законов  физики, предсказать те или иные явления, вычислить физические свойства тел и т.п. Экспериментаторы те же задачи решают путем проведения опытов и накопления опытных фактов¹. Например, период колебания математического маятника  T можно вычислить по формуле, полученной из второго закона Ньютона.

T = 2

,

где  l – длина маятника,  g – ускорение свободного падения.

Ту же задачу можно решить экспериментально. Для этого надо изготовить модель математического маятника, измерить  t – время n  колебаний и вычислить период колебаний по формуле

T = .       ( 1 )

С теоретическими методами исследований студенты знакомятся на практических занятиях при решении задач, а  экспериментальными навыками овладевают  в лабораториях физического практикума. Чтобы грамотно поставить эксперимент, физику, разумеется, необходимо хорошо знать и теорию. Поэтому в каждом методическом руководстве к лабораторным работам приводится краткая теория практического задания, которую необходимо знать каждому студенту.

Экспериментальная физика сопряжена с измерениями, которые, в свою очередь, сопровождаются погрешностями измерений. Например, при измерении t  в формуле (1) экспериментатору приходится пускать в ход и останавливать секундомер. При этом кнопка секундомера может быть нажата чуть-чуть раньше или чуть-чуть позже фиксируемого момента времени. При многократном измерении одной и той же величины получается ряд численных значений этой величины, каждое из которых является случайным. Этот путь, таким образом, приводит нас к разбросу экспериментальных результатов. Погрешности измерений, связанные с разбросом экспериментальных данных, являются случайными величинами, исключить которые невозможно опытным путем.  Их можно учесть только в среднем. Для этого необходимо знать законы, которым подчиняются случайные экспериментальные величины и случайные погрешности.

Определение случайной погрешности. Пусть при n  измерениях физической величины X  получены следующие результаты:  x₁ , x₂ , …. x_n . Наиболее вероятное значение измеряемой величины будет находиться вблизи среднего арифметического значения экспериментальных данных

.

Величина  стремится к истинному значению x₀  измеряемой величины при n → ∞.

Величина  есть случайная погрешность i-го  измерения.

Опыт показывает, что случайные погрешности ∆x  подчиняются опреде-ленным закономерностям: положительные и отрицательные погрешности встречаются одинаково часто; малые погрешности встречаются чаще, чем большие и т.п.

Пусть dn – число измерений, погрешности которых попали в интервал от ∆x до ∆x +d(∆x), где n – общее число измерений, тогда dn/n = dp  будет вероятностью того, что ошибки попали в указанный интервал. Вероятность p выражается дробью или в %. Математическая вероятность 0 ≤ p ≤ 1.  Если  p = 0 – событие невозможное, а если p =1 – событие неизбежное (достоверное). Выражение называется функцией плотности вероятности, т.е. вероятностью того, что погрешность попала в единичный интервал величины ∆x и зависит от величины  ∆x

.

Эта функция, согласно сказанному выше, должна удовлетворять условиям:

1. f (∆x ) ≥ 0 – вероятность не может быть отрицательной,
2. f (–∆x) = f (+∆x) –функция распределения должна быть четной,
3. – получить ошибку какую угодно (от –∞ до +∞) есть событие достоверное (неизбежное).

Графически функция  f(∆x)  при указанных условиях имеет вид колоколообразной  фигуры, изображенной на рисунке 1.Указанными свойствами обладает ряд функций:

1) – формула Коши,

2) – функция Гаусса,

3) – гипер-болический секанс.

В теории погрешностей выбрали функцию  Гаусса, так как 1)она подтверждается экспериментально, 2)эта функция  позволяет провести обработку экспериментальных данных полностью, до конца.

Функция Гаусса содержит два параметра: А и а. Нетрудно видеть, что параметр А определяет максимум функции при ∆x = 0, а второй параметр а определяет крутизну “горки”, изображенной на рисунке 1.

В теории погрешностей вместо параметра  а  вводят ширину “горки”, которая определяется расстоянием между ординатами, проходящими через точки перегиба функции (∆x=± σ  на рис.1). Выразим А  и а  через σ. Для этого приравняем вторую производную от функции f(∆x) к нулю. В результате при ∆x=σ из полученного уравнения найдем

Так как f(∆x) функция распределения плотности вероятности, то

.

Из последнего уравнения получим, что

.

Таким образом, закон нормального распределения Гаусса примет вид:

, или

 

,    (2)

где s² – дисперсия (мера  рассеяния случайной величины),

s –средняя квадратичная погрешность измерений, – мера точ-ности.

На практике величину  σ   оценивают средней квадратичной погрешностью S_n,x небольшой серии из  n  измерений

 (3)

В теории погрешностей доказывается, что  .

Если провести несколько серий  по n  измерений величины  X, то получим серию из  ,  которая будет подвержена меньшему разбросу, чем x. Это иллюстрирует рисунок 2 , где на числовой оси крестиками отмечены отдельные измерения, а вертикальными стрелками – средние значения    каждой серии.

На практике обычно определяют среднюю  квадратичную погрешность среднего арифметического  , которая равна

. (4)

1-я серия              ----х-----х--↑---х-----х------------ 2-я серия              -------х-----х----↑--х--------х----- 3-я серия              х------х---↑------х--х--------------

Рис.2

Это фундаментальный закон возрастания  точности при росте числа измерений.  Из последней формулы следует, что при n → ∞   . Однако получить “сверхточный” результат путем увеличения числа измерений невозможно. Стремится к нулю лишь случайная погрешность, но остаются погрешность прибора ∆_пр  и погрешность округления   ∆_окр , которые начинают играть главную роль.

     Доверительный интервал и надежность результата. Вероятность  p  того, что истинное значение  x₀  находится внутри интервала от    до  , в терминах ГОСТ называется доверительной вероятностью  (в обиходе ее называют также коэффициентом надежности или просто – надежностью), а интервал – доверительным интервалом. В физике результат измерения всегда указывается в виде интервала. Этим физические измерения отличаются от грубых или оценочных измерений, где результат дается одним числом.

     При достаточно большом  числе измерений  ( n > 30 )  доверительному интервалу   соответствует надежность  p = 0,68, вдвое большему интервалу  – p  = 0,95, интервалу – p = 0,997  (промежуточные значения определяются по специальной таблице).

     В физической лаборатории  ГОСТом рекомендуется брать  p = 0,95 и окончательный результат записывать в виде

     при  p = 0,95.                          (5)

     При малом числе  измерений заданному  p  соответствует бòльший доверительный интервал по сравнению с (5). В этом случае окончательный результат следует записывать так:

                    

при р=0,95,

где  t_p,n – коэффициент Стьюдента, он зависит от  p  и n и определяется по специальной таблице. При доверительной вероятности p = 0,95 коэффициент Стьюдента при увеличении числа измерений  n  от  2  до  ∞ изменяется  от  12,7  до  2,0.  Обратите внимание, что результат в физике всегда указывается не одним числом, а в виде интервала (от … и… до)  с указанием надежности.

Применение калькулятора. Для ускорения обработки результатов измерений есть смысл использовать инженерный калькулятор, имеющий программу статистической обработки, в том числе калькулятор, входящий в стандартный набор операционной системы Windows. Разумеется, у нас нет возможности привести здесь приемы работы с калькуляторами всевозможных типов, но некоторые мы рассматриваем. Этот материал помещен в  “Приложении”.

     Приборная погрешность. Если измерять микрометром толщину оптической стеклянной пластинки, изготовленной с микронной точностью, то разброса экспериментальных данных не будет. Это не означает, что измерения будут  абсолютно точными. Если измерять ту же пластинку разными микрометрами, то результаты могут быть разными.  В этом случае разброс результатов нескольких замеров обусловлен тем, что не существует двух совершенно идентичных микрометров.  Каждый микрометр содержит индивидуальную погрешность. Если усреднить эти погрешности, это и будет приборная погрешность всех микрометров данного класса, которая указывается в паспорте прибора  или нанесена на самом приборе и называется предельной ошибкой δ с надежностью 0,997 (3σ). Так как в физической лаборатории рекомендуется задавать надежность 0,95 (2σ), то в этом случае нужно предельную ошибку разделить на 3 и умножить на 2. В итоге для приборной погрешности получается формула:

                                                     ∆_пр = 2/3 δ.

Например, для некоторых микрометров  d = 0,01 мм  и ∆_пр = 0,007 мм.

     Погрешность округления.  При считывании показаний прибора десятые доли наименьшего деления прибора обычно не учитываются. При этом происходит автоматическое округление сотых и десятых долей наименьшего деления шкалы прибора. В цифровых приборах последняя значащая цифра на табло является результатом автоматического округления последующих разрядов числа. Для заданной надежности  p  ошибка округления вычисляется по формуле

                                                        Δ_окр  = p ω / 2 ,

где  ω – цена наименьшего  деления измерительного прибора. Например, для микрометра  ω = 0,01 мм,  Δ_окр = 0,005 мм.

Суммарная погрешность. Суммарная погрешность прямого измерения вычисляется по формуле

. (6)

В этом случае доверительный интервал    будет соответствовать надежности, с которой вычислены Δ° , Δ_пр , Δ_окр . Если одна из погрешностей под корнем в два и более раз меньше других , ею можно пренебречь.

Косвенные измерения. Все сказанное выше относилось к прямым измерениям, когда искомая величина непосредственно считывается со шкалы прибора. На практике чаще всего физические величины определяются косвенно, т.е. из формулы, аргументами которой являются измеряемые величины  x₁,  x₂,  x₃… В этом случае искомую величину можно рассматривать как функцию нескольких измеряемых величин  z = f( x₁,  x₂,  х₃),  а погрешностью искомой величины считать дифференциал этой функции. Однако, чтобы надежность для интервала искомой величины была такая же, как для измеряемых величин, погрешность рекомендуется вычислять по формуле, аналогичной формуле (6):

.

     Например, при определении  плотности твердого тела цилиндрической  формы диаметра  d и высоты  h  используется формула

.

Для погрешности в этом случае получаем формулу

.

Вычисление абсолютной погрешности значительно упрощается, если вначале вычислять относительную погрешность, в данном случае  Dr_отн,

.

Из последнего выражения получаем  .

      Иногда в особых  случаях, когда измерения производятся в невоспроизводимых условиях для каждого измерения вычисляется искомая величина и полученные данные обрабатываются затем как прямые измерения (примером такой обработки служит работа № 223).

Промахи. Если в ряду измеренных значений физической величины имеется такое, которое значительно отличается от всех остальных, можно предполагать, что оно является результатом грубой ошибки, которую часто называют промахом. Причиной этого явления могут служить сильные внешние помехи (сотрясение, сквозняк и т.п.), неправильно считанное показание прибора и, наконец, просто описка. В любом случае отбрасывать непонравившийся результат без веских оснований нельзя. Так после отбрасывания одного результата может появиться соблазн отбросить и еще ряд измерений. Такая лакировка результатов недопустима.

        Для того  чтобы отбросить выскакивающий  результат, нужны объективные  основания. На практике обычно  отбрасывают такие измерения,  вероятность появления которых  меньше 0,01. Для этого можно руководствоваться таким правилом. Если вызывающий сомнение результат измерения x_m отличается от среднего значения измеряемой величины более, чем на три среднеквадратичные погрешности  

,

такой результат с чистой совестью можно отбросить.

        После отбрасывания  грубого измерения находят из  оставшихся измерений новое среднее  измеряемой величины и его  среднеквадратичную погрешность.

         Систематические погрешности. Систематической называется ошибка, которая при многократном измерении какой-либо величины остается постоянной. Систематическая погрешность обусловлена неисправностью измерительного прибора (например, смещена шкала термометра), неточностью используемой формулы ( в которой, например, не учтена сила трения), неправильной методикой измерения и т. п. Иногда экспериментатор может и не подозревать о существовании систематической погрешности. Исключить или выявить систематическую погрешность можно,  изменив принципиально метод измерения. Если заведомо известно о существовании систематической погрешности и нет возможности ее исключить, указывать в этом случае надежность результата не имеет смысла. В таких случаях достаточно ограничиваться лишь оценкой погрешности измерений по упрощенным формулам: