Інтерференція світла

Хвилі, які випромінюють будь-які  незалежні джерела світла ( наприклад, дві електричні лампи розжарення), завжди некогерентні. Некогерентність  джерела світла обумовлена тим, що випромінювання світного тіла складається з хвиль, які випромінюються багатьма атомами. Окремі атоми випромінюють цуги хвиль тривалістю » 10^-8 с і довжиною » 3м. Фаза нового цуга хвиль ніяк не пов'язана з фазою попереднього. В світловій хвилі, яку випромінює тіло, випромінювання однієї групи атомів через час 10^-8 с змінюється випромінюванням іншої групи, при цьому фаза результуючої хвилі зазнає випадкових змін.

Когерентні світлові хвилі можна  одержати, якщо будь-яким способом поділити (за допомогою відбивання або заломлення) світло, яке випромінюється кожним атомом джерела, на дві частини. Якщо ці дві хвилі пройдуть різні оптичні шляхи, а потім накладаються одна на одну, то спостерігається інтерференція. Різниця оптичних довжин шляхів, які проходять інтерферуючі хвилі, не повинна бути дуже великою, тому що коливання , які додаються повинні належати одному і тому ж цугу хвиль.

Нехай розділення на дві когерентні хвилі відбувається в точці 0 (рис.1).

 

До точки Р перша хвиля  проходить в середовищі з показником заломлення n₁ шлях x₁, друга хвиля – в середовищі з показником заломлення n₂ шлях х₂. Якщо в точці 0 фаза коливань дорівнює w t, то перша хвиля в точці 0 збуджує коливання

А₁сos w(t – x₁/V₁),

а друга хвиля – коливання А₂ соs w(t – x₂/V₂),

де V₁ = c/n₁ і V₂ = c/n₂ – фазові швидкості хвиль.

Таким чином, різниця фаз коливань, які збуджуються хвилями в точці Р,

d = w ( х₂/V₂ – x_1/V₁) = w/c (n₂x₂ – n₁x₁).

Замінивши w/c на 2pn/c = 2p/l₀, ( l₀ – довжина хвилі у вакуумі), виразу для різниці фаз можна надати вигляду

d = 2pD/l₀, (7)

де D = (n₂x₂ – n₁x₁) – оптична різниця ходу (8).

Якщо оптична різниця ходу дорівнює цілому числу довжин хвиль у вакуумі:

D=±ml, (m = 0,1,2,…), (9) то різниця фаз d, як видно з (7), виявляється кратною 2p і коливання, збуджені в точці Р обома хвилями, будуть відбуватися з однаковою фазою. Таким чином, формула (9) є умовою інтерференційного максимуму.

Якщо D дорівнює напівцілому  числу довжин хвиль у вакуумі :

D = ± (m + ½) l₀, (m = 0,1,2,…) , (10)

то d = ± (2m + 1)p, так що коливання в точці Р відбуваються в протифазах. Отже формула (10) є умовою інтерференційного мінімуму.

2. Розрахунок інтерференційної  картини від двох джерел.

Описаний принцип отримання  когерентних променів розділенням  хвилі на дві частини, які проходять  різні шляхи, може бути практично  здійснений різними способами –  за допомогою екранів та щілин, дзеркал та заломлюючих тіл.

У досліді Юнга (рис.2) світло від точкового джерела ( малий  отвір S ) проходить через два рівновіддалені отвори А і В, які ніби то є двома  когерентними джерелами.

 

Інтерференційна картина спостерігається  на екрані Е, розташованому на деякій відстані паралельно АВ. Підсилення або послаблення світла в довільній точці М екрану залежить від різниці ходу променів l₂ – l₁. В методі Юнга інтерференційна картина отримується тільки при малих інтенсивностях світла.

Дзеркала Френеля – так  називається метод утворення когерентних світлових хвиль та здійснення їх інтерференції. У ньому використано два плоских дзеркала (рис.3), кут між площинами яких дуже малий. Джерело S випромінює світло, яке після відбивання від обох дзеркал попадає на екран Е, захищений від прямого попадання світла кожухом К. За законами відбивання від плоского дзеркала промені, відбиті відпертого дзеркала, немов би виходять з уявного джерела S₁, розташованого симетрично вихідному джерелу S. Аналогічно промені, відбиті від другого дзеркала, можна розглядати вихідними з уявного джерела S₂, яке є зображенням джерела S у другому дзеркалі. Уявні джерела S₁ і S₂ взаємно когерентні, тому промені, що з них виходять, при перетині інтерферують в області, заштрихованій на рис.3. Інтерференційна картина спостерігається на екрані Е, розташованому в цій області, і залежить від різниці ходу променів (l₂ - l₁) до довільної точки екрану.

Розрахунок інтерференційної картини може бути дуже спрощений, якщо розглядати не точкові, а лінійні джерела – вузькі, паралельні і близько розташовані щілини. Дві щілини (рис.4) А і В, розташовані перпендикулярно до площини креслення на відстані a одна від одної, і є когерентними джерелами світла.

 

Екран Е також перпендикулярний до площини рисунку і паралельний  обом щілинам. Розраховується різниця  ходу променів для довільної точки  М, розташованої на відстані x від центральної  лінії екрану. Екран знаходиться  на відстані l від щілини, яка набагато більша відстані d між щілинами. З рис. 4а маємо:

l₂² = l² + ( x + d/2)²

l₁² = l² + ( x – d/2)² ,

віднімаючи одне від одного рівняння, отримаємо 

( l₂ – l₁) (l₂ + l₁) = 2xd.

З умови l>>d випливає, що l₂ + l₁ » 2l.Позначивши шукану різницю ходу l₂ –l₁= D, отримаємо:

D » 2xd/2l » xd/l (11).

У тих місцях на екрані, де ця різниця  ходу дорівнює цілому числу хвиль або парному числу півхвиль:

D_max = 2ml/2, (m = 0,±1,±2,±3,…) (12)

коливання, які приходять від  обох джерел, додаються, тому амплітуда  подвоюється, а інтенсивність зростає  в 4 рази. У тих місцях екрану, де різниця  ходу дорівнює непарному числу півхвиль :

D_min = (2m + 1)l/2, (m = 0,±1,±2,±3,…), (13)

хвилі від обох джерел приходять  в протифазах і повністю гасять одна одну.

В результаті цього на екрані буде спостерігатися система світлих  і темних смуг, які чергуються, з  поступовими переходами, як це показано на рис.4.б. З формул (11) і (12) знаходимо положення послідовних максимумів:

X_max = mll/d. (14)

Відстань між сусідніми максимумами  – відстань між інтерференційними  смугами – залишається незмінною  вздовж екрана і дорівнює:

Dх = x_m+1 – x_m = (m+1)ll/d - mll/d = ll/d. (15)

Оскільки l>>d, то Dх>>l. Так при l/d = 1000 і l = 0,5 мкм відстань між максимуми на екрані Dх = 5 мм і добре розрізняється. Якщо відомі l/d і Dх, то можна знайти довжину хвилі світла, що випромінюється джерелом. Відстань між сусідніми мінімумами або максимумами називають шириною інтерференційної смуги.

Зображена на рис. 4.б картина світлих  і темних смуг, які чергуються, спостерігається  при освітленні щілин монохроматичним  світлом (l = const). Якщо використовується біле світло, яке складається з хвиль з неперервним спектром частот і значень довжин хвиль (0,4 ... 0,76мкм), то інтерференційні максимуми мають вигляд райдужних смуг. Оскільки з формули (15) випливає, що Dх » l, то максимуми найбільш коротких (фіолетових) променів розташуються ближче, ніж максимуми більш довгих (червоних) променів. В середині екрану при m = 0 максимуми усіх кольорів співпадуть, і ми отримаємо там білу смугу, трохи червону по краях. Але вже перша світна смуга справа і зліва ( m = ±1) буде забарвленою ( рис. 4в). Утворений інтерференційний спектр першого порядку буде розташований своєю фіолетовою частиною до середини екрану. Інтерференційні спектри більш високого порядку ( çmç> 1) дуже сильно перекривають один одний.

3. Інтерференція світла  в тонких плівках.

Не слід вважати, що інтерференцію світла можна спостерігати лише в лабораторних умовах, застосовуючи для цього спеціальні оптичні пристрої. Кожному не раз доводилося спостерігати райдужне забарвлення мильних плівок, тонких плівок нафти або мінерального масла, які плавають на поверхні води, кольори мінливості на поверхні загартованих стальних деталей, які покриті найтоншим прозорим шаром оксидів. Усі ці явища обумовлені інтерференцією світла в тонких прозорих плівках, яка виникає внаслідок накладання когерентних хвиль, що відбиваються від верхньої та нижньої поверхонь плівки.

Щоб встановити загальні закономірності інтерференції світла в тонких плівках, розглянемо плоскопаралельну прозору  плівку товщиною d, на яку падає під кутом i плоска монохроматична хвиля ( рис.5), для спрощення розглядаємо один промінь.

 

Вважаємо, що з обох боків від  плівки – одне і те саме середовище (наприклад, повітря). Абсолютні показники  заломлення цього середовища і плівки позначимо n_n і n, причому для певності вважатимемо, що n > n_n = 1. На поверхні плівки в точці А промінь розділиться на два промені, оскільки частково відіб'ється від верхньої поверхні плівки, а частково заломлюється. Напрями поширення відбитого і заломленого променів зображені на рис.5 променями АЕ і АС. Заломлений промінь АС, досягаючи нижньої поверхні плівки, також частково відбивається (промінь СВ), а частково заломлюється. Те саме знову відбувається на верхній поверхні плівки з променем СВ, причому заломлений промінь 2 виходить у повітря під кутом i. Два промені, обумовлені відбиванням від верхньої (промінь 1) і нижньої (промінь 2) поверхонь плівки, когерентні між собою. Якщо на їх шляху поставити збиральну лінзу Л, то промені збираються в одній з точок фокальної площини (точка Р) лінзи і сформують інтерференційну картину. Результат інтерференції залежить від оптичної різниці ходу променів 1 і 2.

Розрахуємо оптичну різницю  ходу D променів 1 і 2:

D = n(АС + СВ) – (АЕ + l/2) = n2d/cos r – 2d tg r sin i - l/2.

При відбиванні променя (або хвилі) від оптично більш густого середовища (тобто з більшим показником заломлення), його шлях збільшується на l¤2, що еквівалентно зсуву за фазою на p. При відбиванні променя від оптично менш густого середовища зсуву фаз чи збільшення шляху не відбувається.

Використовуючи закон заломлення : sin i / sin r = n,

можна вираз для Δ перетворити так, щоб виключити тригонометричні функції кута r. А саме :

Δ = 2d (n² – sin²i)^1/2 – λ/2. (16)

При освітленні плівки монохроматичним  світлом і спостереженні відбитого  світла оком, акомодованим на нескінченість (або через лінзу), плівка буде світлою, якщо Δ = 2m(λ/2), і темною, якщо Δ = (2m+1)λ/2. Оскільки величина Δ залежить згідно з формулою (16) від і, λ, n, d, то можливі різні випадки.

1. Смуги однакового нахилу ( інтерференція від плоско паралельної

плівки або пластини) виникають при освітленні плівки розбіжним пучком променів або сферичною хвилею при умові, що n, d, λ – сталі. Кожна смуга відповідає променям, які падають на плівку під певним кутом. Смуги однакового нахилу локалізовані у нескінченності, оскільки вони утворюються паралельними інтерференційними променями, які перетинаються лише на нескінченності. Це явище використовується на практиці для дуже точного контролю ступеня плоско паралельності тонких прозорих пластинок (наприклад, скляних). Зміну товщини пластинки на величину порядку 10^-8 м вже можна виявити за зміною форми кілець однакового нахилу. Кожному куту ί відповідає своя смуга ( рис.6).

 

2.Смуги однакової товщини ( інтерференція від клина – плівки, товщина якої неоднакова в різних місцях).Найпростіша плівка такого типу має форму плоского клина з малим кутом α між бічними гранями. В цьому випадку λ, n, ι - сталі, d – змінна. У відбитому світлі спостерігаються смуги, які утворюються при відбиванні променів від частин клина з однаковою товщиною. Смуги однакової товщини локалізовані по поверхні клина, тому, щоб їх спостерігати, треба акомодувати око на верхню поверхню клина (рис.7). Для клина паралельні промені, якими освітлюють клин, після відбиття від його верхньої та нижньої поверхонь, не будуть паралельними.

 

Рис.7

3. При освітленні плоско паралельної  пластини білим світлом умова  максимуму 

2d (n² – sin²i)^1/2 – λ/2 = 2m(λ/2) (17)

виконується лише для однієї визначеної довжини хвилі, тому вся поверхня пластини зафарбується тим самим  кольором. По кольорах тонких пластинок і плівок за формулою (17) можна обчислити їх товщину. Так, кольори мінливості на поверхні деталей дозволяють визначити товщину шару оксидів. 

 

4.Кільця Ньютона.

Інтерференційна картина від клина  змінної товщини вперше була вивчена Ньютоном. Схема спостереження так званих кілець Ньютона зображена на рис.8. Плоскоопукла лінза з великим радіусом кривизни (10...100 м) притискається опуклою поверхнею до плоскої пластинки так, що між ними утворюється повітряний клин змінної товщини d, яка залежить від розташування точки В, що описується радіусом r. З прямокутного трикутника АВС маємо:

r ² = R² – (R – d)² = (2r –d) d = 2Rd

або d = r² / 2R (18).

Пучок паралельних променів падає  нормально на лінзу. Промінь, що досяга. Точки В, частково відбивається, а частково проходить у повітряний клин( практично вертикально, тому що кривизна лінзи дуже мала). Відбиваючись у точці Д від пластинки, він повертається назад і інтерферує з променем, відбитим у точці В. У точці Д відбувається відбивання від оптично більш густого середовища (лінза), тому шлях збільшується на півхвилі, і оптична різниця ходу обох інтерферуючих відбитих променів дорівнює:

Δ = 2d + λ₀/2 = r²/R + λ₀/2 . (19)

При освітленні системи монохроматичним  світлом у відбитому світлі будуть спостерігатись світлі та темні кільця сталих радіусів r , які чергуються (рис.8). Радіуси темних кілець визначаються за умовою мінімумів інтерференції : Δ = (2m + 1)λ/2, тобто r²/R + λ/2 = mλ + λ/2,

тому радіус m – го темного кільця дорівнює: r_m = (mλR)^1/2 . (20)

Радіуси послідовних світлих кілець знаходяться за умовою максимумів:

Δ = 2mλ/2, тому радіус m - світлого кільця r_m = ((m – 1/2) λR)^1/2 . (21)

Відлік темних кілець починається  з m = 0, тобто від самого центру інтерференційної картини, а відлік світлих кілець – з m =1. Радіуси кілець зростають пропорційно корню квадратному з їх номера m, тобто з віддаленням від центру кільця розміщуються густіше (рис.8.б). При освітленні приладу білим світлом світлі кільця стануть різнокольоровими.

 

Вимірюючи радіуси кілець, можна, якщо відомий радіус кривизни R, визначити довжину хвилі світла λ, яким освітлюється прилад, і навпаки, знаючи λ, знайти радіус кривизни лінзи R.

Правильна форма кілець Ньютона  легко спотворюється при будь-яких, навіть незначних, дефектах в обробці опуклої поверхні лінзи і верхньої поверхні пластини. Тому спостереження форми кілець Ньютона дає можливість здійснювати швидкий і дуже точний контроль якості шліфування плоских пластин і лінз, а також близькість поверхонь останніх до сферичної форми.

5.Застосування інтерференції  світла.

Значенні інтерференційних вимірювань у фізиці і техніці важко переоцінити. Відзначимо лише основні.

Метод кілець Ньютона, смуг однакової  товщини використовують для контролю якості поверхонь оптичних деталей (лінз, призм), а також для дослідження мікро геометрії поверхонь металевих і оптичних деталей. Для контролю однорідності оптичних матеріалів використовують інтерферометри.