Шпаргалки по "Физике"

36,37 Толстостенные трубы: расчет цилиндра, нагруженного внутренним давлением; 
Толстостенным называется такой цилиндр, для которого отношение толщины стенки к внутреннему диаметру не менее 1/20.

      Задача  о расчете толстостенного цилиндра решается с учетом равномерно распределенного  наружного давления и внутреннего давления . Мы исходим из того, что такая нагрузка не может вызвать деформации изгиба цилиндра.

      Нормальные  напряжения в сечениях плоскостями, перпендикулярными оси симметрии О цилиндра нельзя считать равномерно распределенными по толщине стенки, как это делается при расчете тонкостенных оболочек вращения (рис.8.6).  

      Нормальные  напряжения действующие по цилиндрической поверхности с радиусом могут быть одного и того же порядка и даже превышать напряжение , что при тонкостенных цилиндрах невозможно.   

Рис.8.6                   

      В поперечных сечениях цилиндра касательные  напряжения также предполагаются равными  нулю, однако, возможно существование  нормальных осевых напряжений , которые возникают как следствие нагружения цилиндра силами, действующими вдоль оси. В дальнейшем мы будем рассматривать открытые цилиндры, т.е. не имеющие днищ. Напряжения в таких цилиндрах равны нулю. Вывод формул расчета напряжений в толстостенных цилиндрах основан на том, что для них соблюдается гипотеза плоских сечений, т.е. поперечные сечения цилиндра, плоские до нагружения, останутся плоскими и после нагружения.

      Основными уравнениями для расчета напряжений в толстостенных цилиндрах являются формулы Ламе:

       ,                                                           (8.14)

       .                                                           (8.15)

      При действии на цилиндр только наружного  или внутреннего давления знаки  эпюр , во всех точках цилиндра одинаковы. Эпюры изменения радиального и окружного напряжения для случая действия только наружного давления показаны на рис.8.7. Эти напряжения во всех точках цилиндра отрицательны, что соответствует сжатию.

      

                              Рис.8.7                                                   Рис.8.8                   

      При нагружении внутренним давлением эпюры изменения радиального окружного напряжения показаны на рис.16.8. Окружное напряжение является расширяющим, а радиальное сжимающим.

      Анализ  формул Ламе показывает, что увеличение толщины не может во всех случаях  обеспечить необходимой прочности  цилиндра. Поэтому для сосудов  высокого давления необходимо искать какие-то другие конструктивные решения. Одним из таких решений является создание составных, соединенных с  натягом, цилиндров. Этот прием используется как в технике высоких давлений, так и в артиллерийской практике для упрочнения стволов мощных орудий.

      В результате натяга в трубах возникают  нормальные напряжения, которые частично компенсируют напряжения в трубе  от действия высокого давления. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

38 Толстостенные трубы:  определение перемещений  и напряжений 

  Если  толщина стенки трубы, нагруженной  радиальной нагрузкой, превышает 0,1 радиуса геометрической оси стенки, труба считается толстостенной. Распределение напряжений по толщине стенки такой трубы нельзя считать равномерным; радиальные перемещения отдельных точек стенки трубы зависят от их расстояния r до оси трубы.

  С помощью теории расчета толстостенных  труб определяются напряжения и перемещения  в точках стенок цилиндров машин, стволов орудий, при температурных  или прессовых посадках рубашек, муфт и ступиц на валы, а также  в облицовках тоннелей и стволов, подверженных горному давлению.

  Рассмотрим  отрезок трубы длиной, равной единице, вырезанный двумя сечениями, нормальными  к оси трубы (рис. 30,а). Труба нагружена на внутренней и наружной поверхностях радиальной сжимающей нагрузкой; интенсивности р_В и р_Н этой нагрузки постоянны как вдоль оси трубы, так и по ее окружности. Любой такой отрезок на некотором расстоянии от торцов трубы находится в плоском деформированном состоянии.

  а                                                                              б

  

  Рис. 30  

  Составим  уравнение равновесия элемента трубы, выделенного двумя радиальными  сечениями, составляющими между  собой угол , и двумя окружными сечениями, радиусы которых r и r + dr (рис. 30,б). По граням этого элемента действуют радиальные и окружные напряжения и . Радиальное напряжение при изменении радиуса r получает приращение , а окружное напряжение в силу осевой симметрии задачи при изменении угла не меняется.

  Дифференциальное  уравнение равновесия (1.32,б) для осесимметричной задачи имеет вид

   .                                            (3.1)

  Напряжения и выразим через относительные линейные деформации  с помощью закона Гука:

   ,                    (3.2)

  а относительные деформации заменим  их выражениями через радиальное перемещение v (рис. 30,б), пользуясь зависимостями

   .

  Подставив эти выражения в формулу (3.2), а  выражения (3.2) в формулу (3.1), получим выражения для напряжений и дифференциальное уравнение равновесия элемента трубы в перемещениях

   ,                                        (3.3)

   .  

  Уравнение (3.4) может быть представлено в виде

   ,

  откуда  следует, что

  

  Этому уравнению удовлетворяет решение

   .                                                    (3.5)

  Заменив в формулах (3.3) перемещение v его выражением (3.5), получим для напряжений:

   .

  Граничные условия для определения постоянных А и В составляем из условий на внутренней и наружной поверхностях трубы:

  1)  ,  ;         2)   ,  .              

  Учет  этих условий в первом уравнении (3.6) дает систему двух уравнений, содержащих А и В, решив которую, найдем

   .

  Подстановка найденных значений А и В в уравнения (3.6) дает следующие выражения для напряжений:

   ,               (3.7)

  а подстановка в уравнение (3.5) - выражение для радиального перемещения

              (3.8)

  В формулах (3.7) и (3.8)

  

  Из  формул (3.7) видно, что

  

  т. е. сумма радиального и окружного  напряжений в любой точке есть постоянная величина, не зависящая  от радиуса r.

  По  формулам (3.7) и (3.8) можно вычислить  напряжения и радиальные перемещения  для сплошного вала, подверженного  наружному радиальному давлению, если положить R_B = 0. В таком случае

  

  откуда  видно, что материал вала испытывает однородное напряженное состояние 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

39 Основы  расчета  на  действие  динамических   нагрузок:   общие   положения; 
приближенный способ расчета на удар 
 

      Обычные ударные испытания образцов, осуществляемые на маятниковых копрах, призваны оценить  склонность материала к хрупкому разрушению и относятся по своим скоростным показателям (скорость удара 5-7 м/с) к квазистатическому нагружению. Ниже будет рассмотрено поведение металлических материалов при квазистатическом ударном нагружении. Метод основан на разрушении при изгибе образца с концентратором в виде надреза одним ударом маятника копра. Надрез в стандартных образцах облегчает хрупкое разрушение материалов. В результате испытания определяют полную работу, затраченную при ударе на разрушение образца (работу удара) , и ударную вязкость . Под ударной вязкостью следует понимать работу удара, отнесенную к начальной площади поперечного сечения образца в месте концентратора. Единицей измерения ударной вязкости является Дж/см².

      В зависимости от вида концентратора ( -, или -образный надрез) ударная вязкость обозначается как , или . Выбор вида концентратора осуществляется в зависимости от требований к изделию: - при обычных испытаниях металлов и сплавов; - для конструкций повышенной степени надежности (летательные аппараты, транспортные средства, трубопроводы, сосуды давления); - для особо отвестственных конструкций.

      Для определения вязкости хрупких материалов (инструментальных сталей с твердостью более 50 ) применяют гладкие образцы и ударная вязкость обозначается .

      Обычно  испытывается призматический образец  квадратного сечения 10х10 мм и длиной 55 мм с краевым надрезом глубиной 2 мм в середине образца. На рис.15.3 представлена схема нагружения образца при испытании его на удар.

      

                                                       Рис.15.3

               

      В зоне концентрации напряжений происходит локализация деформации, и возникает  объемное растяжение, вследствие стеснения  деформации в поперечном направлении. Это в сочетании с высокой  скоростью деформирования (порядка 10² 1/с) способствует проявлению хрупкости материала. Хотя ударная вязкость как свойство материала носит условный характер, она оказалась весьма чувствительной к особенностям структуры материала и механического его поведения. Например, различие в комплексе свойств при деформировании и разрушении мелкозернистого и крупнозернистого железа четко выявляется ударной вязкостью, тогда как статические характеристики этого не отражают (табл.15.1)

                                                                                                                                                           Таблица 15.1

Структура железа	, МПа	, МПа	,%	,%	, Дж/см2
Мелкозернистая	268	375	35,3	72,2	13,1
Крупнозернистая	185	345	36,9	66,7	2,6

 

 

     Испытанию на удар подвергаются практически все  материалы. При поставках металла  ударная вязкость является настолько  же обязательной характеристикой металла, как  , и . Она характеризует способность материала сопротивляться хрупкому разрушению (поглощать энергию удара за счет пластического деформирования) при заданной температуре испытания. В таблице 15.2 приведены значения ударной вязкости для углеродистых сталей.