Теорема Остроградского-Гаусса и расчет электростатических полей в вакууме

      федеральное агентство по образованию 

      сыктывкарский лесной институт – филиал 

      государственного  образовательного учреждения

      высшего профессионального  образования

        «Санкт-Петербургская   государственная 

      лесотехническая академия   имени С. М. Кирова» 

      технологический факультет 

      Кафедра физики

                                                     «Допустить к защите»

                                                      завед. кафедрой физики

                                                             к.ф.-м.н., доцент Асадуллин  Ф.Ф.

                                                                                 (подпись)

                                                                                  (дата) 

      Курсовая  работа 
 

      по  физике 

на  тему: Теорема Остроградского-Гаусса и расчет электростатических полей в вакууме. 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Сыктывкар 2009 
 

Оглавление 
 
 

 

Введение.

        

      Физика  – наука о природе, изучающая  простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности природы, строение и законы движения материи. Структура физики сложна. В нее включаются различные дисциплины или разделы. В зависимости от изучаемых объектов выделяют физику элементарных частиц, физику ядра, физику атомов и молекул, физику газов и жидкостей, физику плазмы, физику твердого тела. В зависимости от изучаемых процессов или форм движения материи выделяют механику материальных точек и твердых тел, механику сплошных сред (включая акустику), теория тяготения, квантовую механику и квантовую теорию поля.

      В науке часто бывает, что один и  тот же закон можно сформулировать по-разному. По большому счету, от формулировки закона ничего не меняется с точки зрения его действия, однако новая формулировка помогает теоретикам несколько иначе интерпретировать закон и испытать его применительно к новым природным явлениям. Именно такой случай мы и наблюдаем с теоремой Гаусса, которая, по существу, является обобщением закона Кулона, который, в свою очередь, явился обобщением всего, что ученые знали об электростатических зарядах на момент, когда он был сформулирован.

     Целью данной курсовой работы является систематизация, накопление и закрепление знаний о теореме Остроградского-Гаусса и ее применении. 

 

      Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме 

      1.Потоком (элементарным потоком) напряженности электрического поля сквозь малый участок поверхности, проведенной в поле, называется величина 

      

  (1) 

      Здесь E - вектор напряженности электрического поля в точках малого участка поверхности площадью dS; n – единичный вектор, нормальный к площадке dS, а вектор dS=dSn.

      Так как  - проекция напряженности поля E на направление нормали n, а - площадь проекции  площадки dS на плоскость, перпендикулярную вектору E, то (1) можно также переписать в форме  

      

     (2) 

      Поток напряженности N сквозь любую поверхность S равен алгебраической сумме потоков напряженности сквозь все малые участки этой поверхности: 

      

.    (3) 

      Приэтом все векторы n нормалей к малым площадкам dS нужно направить в одну и ту же сторону относительно поверхности S. Например, в случае замкнутой поверхности S  всюду в дальнейшем под n понимаются векторы внешних нормалей, т. е.  направленные вовне из области, ограниченной этой поверхностью. 

      2. Найдем, чему равен поток напряженности электростатического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность, поведенную в этом поле.  Рассмотрим электростатического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность, проведенную в этом поле. Рассмотрим электростатическое поле системы точечных зарядов q₁,q₂,…q_n. Согласно принципу суперпозиции электрических полей , 

      

,    (4) 

      т. е. искомый поток N равен алгебраической сумме потоков через ту же замкнутую поверхность S напряженностей полей каждого из зарядов системы. Таким образом, наша задача сводится  расчету потока напряженности поля одного точечного заряда q₁. Возможны два случая:

1. Замкнутая поверхность S охватывает заряд q_i, т. е. он находится внутри области, ограниченной замкнутой поверхностью S.
2. Замкнутая поверхность S не охватывает заряд q_i.

 
 
 
      

      

      

      

      Рис.1 Рис.2  

      

3. Рассмотрим  сначала первый случай (рис.1). Поток  напряженности dN сквозь малый элемент dS поверхности найдем по формулам (3) и :

 

      

.    (5) 

      С точностью до малых высшего порядка  малости можно считать, что  проекции элемента dS поверхности S на поверхность сферы радиуса r_i c центром в месте нахождения заряда q_i т. е.  

      

.           (5^’) 

      Часть пространства, ограниченная замкнутой  конической поверхностью, называется телесным углом. Мерой телесного угла ω служит отношение площади S_сф, вырезаемой конической поверхностью на сфере произвольного радиуса r с центром в вершине  O конической поверхности (рис 2.), к квадрату радиуса: . Если , то ср. Площадь поверхности всей сферы равна , поэтому телесный угол, опирающийся на всю сферу и охватывающий собой все пространство, равен ср.

      Из  сказанного ясно, что отношение  , входящее в формулу (5’), есть не что иное, как телесный угол , под которым элемент dS замкнутой поверхности S виден из точечного заряда q_i: 

      

                  (6)

      Интегригуя  это выражение по всей поверхности  S, т. е. по ω_i от 0 до , находим поток напряженности электростатического поля точечного заряда q_i сквозь замкнутую поверхность S, охватывающую этот заряд: 

      

.             (7)

      При выводе соотношений (5’) и (7) мы предполагали, что заряд q_i>0. Однако все эти соотношения в равной мере справедливы и в том случае, когда q_i<0. Все отличия в вышеприведенном выводе состоит лишь в том, что при q_i<0 соотношение (5) имеет вид

      

.     

4. Если замкнутая поверхность S не охватывает заряд q_i (рис.3), то касательная к ней коническая поверхность с вершиной в точке O,где находится заряд q_i, разбивает поверхность S (ради простоты предполагается, что поверхность S всюду выпуклая) на две части: S₁ и S₂. Поток напряженности сквозь поверхность S равен алгебраической сумме потоков N_i1 и N_i2 равны друг другу по абсолютному значению:

 

      

.     

      Однако  если для всех элементов поверхности  S₁ углы между векторами E_i и внешними нормальными n острые ( при q_i>0), то для всех элементов поверхности S₂ эти углы тупые. Следовательно, 

      

      

      

       , 

      

,  (8)     

      

 
 

      Таким образом, поток напряженности электростатического  поля точечного заряда q_i в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность S, не охватывающую этот заряд, равен нулю.

      5. Из (4), (7), (8) следует, что  

      

.          (9) 

      Уравнение (9) выражает теорему Остроградского-Гаусса для электростатических полей в  вакууме: поток напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической суммы электростатических зарядов, охватываемых этой поверхностью, к электрической постоянной .

      При вычислении потока напряженности (9) векторы  dS малых участков замкнутой поверхности S нужно направлять по внешним нормалям. При решении задач замкнутую поверхность S, фигурирующую в теореме Остроградского-Гаусса, часто называют гауссовой поверхностью.

      6. Теорема Остроградского-Гаусса (9) теснейшим  образом связана с законом Кулона, согласно которому сила F электростатического взаимодействия двух точечных зарядов обратно пропорционально квадрату расстояния r между ними. Именно поэтому напряженность E_i поля точечного заряда q_i также обратно пропорциональна квадрату расстояния r_i от заряда: . Если бы зависимость F от r и E_i от r_i, была иной, т. е. F~r^a и , где , то вместо (6) мы бы получили

      

. 

      При результат интегрирования этого выражения по замкнутой поверхности S должен зависеть от формы и размеров поверхности S, т. е. в этом случае теорема Остроградского-Гаусса не должна была бы выполняться. Следовательно, справедливость теоремы Остроградского-Гаусса и всех последствий из неё служит надежным подтверждением правильности закона Кулона.

      7. С помощью теоремы Остроградского-Гаусса легко доказать одну из основных теорем электростатики – теорему Ирншоу: система неподвижных точечных электрических зарядов, находящихся на конечных расстояниях друг от друга, не может быть устойчивой.

      Произвольный  точечный заряд q системы находится в положении устойчивого равновесия, если при любом малом смещении заряда q из этого положения на него действует со стороны электростатического поля E остальных зарядов сила , направленная к положению равновесия. Пусть S – замкнутая поверхность, охватывающая заряд q и соответствующая столь малым его смещениям из положения равновесия во всевозможных направлениях, что все другие заряды системы находятся вне этой поверхности. Тогда в случае устойчивого равновесия заряда q действующая на него сила F образовала бы тупой угол с внешней нормалью к замкнутой поверхностью S, так что должно было бы выполниться условие 

      

. 

      Однако  это соотношение противоречит теореме  Остроградского-Гаусса, согласно которой 

      

      Так как замкнутая поверхность S не охватывает ни один из точечных зарядов, участвующих в создании поля E.

      8. Теорема Ирншоу сыграла важную роль в развитии теории строения вещества, так как она показала, что атомы и молекулы представляют собой не статические, а динамические системы заряженных частиц. В электростатике для объяснения устойчивости различных рассматриваемых систем зарядов пользуются формальным представлением о добавочных силах или связях неэлектростатические происхождения , обеспечивающих эту устойчивость. Так, в идеальном проводнике носители заряда могут свободно перемещаться по всему объему и поверхности проводника. Например электроны проводимости находятся в металлическом проводнике в потенциальной яме. В идеальном диэлектрике действуют такие неэлектростатические силы, которые обеспечивают полную неподвижность свободных зарядов, вносимых в диэлектрик.