Теорема Остроградского-Гаусса и расчет электростатических полей в вакууме

 

       Применение  теоремы Остроградского-Гаусса к расчету электростатических полей в вакууме.

 

      

        1.Метод расчета электростатических полей, основанный на использовании принципа суперпозиции полей, применим к расчету поля любой системы зарядов. Это универсальный метод расчета электростатических полей. Однако, как правило, он связан с более или менее трудоемкими математическими операциями суммирования или интегрирования. В ряде случаев значительно более простым оказывается метод, основанный на использовании теоремы Остроградского — Гаусса (14.9). Этот метод особенно удобен для расчета электростатических полей симметричных систем зарядов. Поля таких систем зарядов обладают заранее известной симметрией, обусловленной симметрией в конфигурации зарядов. Поэтому можно так выбрать гауссову поверхность, проходящую через рассматриваемую точку поля, чтобы поток напряженности поля сквозь эту поверхность легко выражался через искомое значение вектора напряженности Е.

      

      Рис.4 

      2. Рассмотрим несколько примеров расчета полей симметричных систем зарядов.

      Пример 1. Поле заряда q, равномерно распределенного по поверхности сферы радиуса R с поверхностной плотностью . Система зарядов и, следовательно само поле центрально-симметричны относительно центра O сферы. Вектор напряженности поля имеет только радиальную составляющую: , где r радиус-вектор, приведенный из центра O сферы в рассматриваемую точку поля; E_r проекция вектора E на радиус-вектор r, одинаковая во всех точках, равноудаленных от центра O. Поэтому за гауссову поверхность S следует взять сферу радиуса r с центром в точке O. Тогда: 

      

 

      Если  , то и и, по теореме Остроградского-Гаусса (9), 

      

         (10) 
 

      Если  r<R, то q_охв=0 и E_r=0, т. е. внутри заряженной сферы поля нет.

      Потенциал поля φ найдем из формулы связи между потенциалом и напряженностью поля: . Пологая , получаем, что потенциал поля вне сферы равен 

      

.       (10’) 

      Из (10) и (10’) видно, что вне заряженной сферы радиуса R поле такое же, как поле точечного заряда q, находящегося в центре сферы. Внутри заряженной сферы поля нет, так что потенциал всюду одинаков и такой же, как на её поверхности: 

      

.          (10”) 

      График  зависимостей E_r и φ от r для случая, когда , показаны на рис.4.

      Пример 2. Поле заряда q, равномерно распределенно в вакууме по объему шара радиуса R с объемной плотностью .

      Центр шара O является центром симметрии поля. Поэтому для гауссовой поверхности S в виде сферы радиуса r с центром в точке O 

      

, 

      где, E_r проекция вектора E на радиус-вектор r, проведенной из точки O в рассматриваемую точку поля; E=E_r=E_rr/r. Связь потенциала φ с E имеет вид .

      Если  , то q_охв=q и

      

, .        (11) 

      В частности при r = R  

      

,                                                    

      

.         (11’) 

      Если  r<R, то и  

      

.           (12) 

      Из  связи между φ и E следует, что для r<R 

      

, 

      так что 

      

.          (12’)

      

      

      Графики зависимости E_r и φ от r для случая, когда , показаны на рис.14.5 
 
 
 
 
 
 
 

      Пример 3. Поле заряда, равномерно распределенного в вакууме с поверхностной плотностью по круговой цилиндрической поверхности, радиус R которой во много раз меньше длины l образующей.

      Вдали от концов заряженной поверхности и  на расстояниях r от ее оси OO’, малых по сравнению с l, поле можно считать осесимметричным – векторы E направлены перпендикулярно оси OO’ и радиально от нее (если бы ) и к ней (если ). За гауссову поверхность S удобно взять поверхность кругового цилиндра радиуса r и высоты H<<l, ось которого совпадает с OO’, а основания перпендикулярны оси. Тогда 

      

, 

      где E_r проекция вектора E на радиус-вектор r, проведенный от оси OO’. Потенциал поля зависит только от r и удовлетворяет соотношению .

      Если  r<R, то q_охв=0 и E_r=0, а (внутри цилиндра радиуса R поля нет). Удобно принять эту константу равной нулю, т. е. принять φ=0 в точках оси OO’.

      Если  ,то , где - линейная плотность заряда. Поэтому

       

      

, 

      

.           (13) 

      Пример 4. Поле заряда, равномерно распределенного с объемной плоскостью по объему кругового цилиндра, радиус R которого во много раз меньше длины l образующей.

      Вдали от конца заряженного цилиндра и  на расстояниях r<<l от его оси OO’ поле можно считать осесимметричным – векторы E направлены перпендикулярно оси OO’ и радиально от нее (если ) или к ней (если ). Выбирая гауссову поверхность S так же, как в предыдущем примере, получим, что в области поля, где , , так что  

      

, .     (14) 

      В частности при r = R

      

,      (14’) 

      В области поля, где  , и  

      

              (15) 

      Потенциал поля  

      

.              (15’) 
 

        

      Графики зависимостей E_r и φ от r для случая, когда , показаны на рис.14.7.

      Пример 5. Поле заряда, равномерно распределенного в вакууме с поверхностной плотностью   по плоскости.

      Эта плоскость (x=0) является плоскостью симметрии поля, векторы напряженности E которого направлены перпендикулярно плоскости  от нее (если ) или к ней (если ). За гауссову поверхность S удобно принять поверхность цилиндра, образующие которого перпендикулярны плоскости, а основание площадью параллельны ей и лежат по разные стороны от нее на одинаковых расстояниях. Так как векторы E направлены вдоль оси OX (E=E_xi) и , то 

      

,     

      где E_x – проекция вектора E на ось OX в точках с координатами x>0. Таким образом, 

      

, если   

      

, если 

      Общая формула для напряженности в любой точке поля имеет вид 

      

.          (16) 

      Таким образом, после заряженной плоскости  всюду слева от нее однородное и всюду справа от нее тоже однородное. Однако при переходе через эту  плоскость из одной области поля в другую вектор напряженности E  изменяет скачком свое направление на противоположное.

      Так как  , то, полагая потенциал поля равным нулю в точках заряженной плоскости x=0, получаем: 

      А) , ( )

      Б) ,  ( ).

      Общая формула, справедливая при любых  значениях x, имеет вид 

      

               (16’) 

      Графики зависимостей E_x и φ от x для случая, когда , показаны на рис. 14.8. 

      Пример 6. После двух параллельных плоскостей, заряженных разноименно с равными по абсолютному значению поверхностными плотностями зарядов и - (рис 14.9).

      Из примера 5 ясно, что векторы E₁ и E₂ напряженностей полей первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направлены параллельно оси OX, ортогональной заряженным плоскостям. При этом вектор E₁ направлены от положительно заряженной первой плоскости, а векторы E₂ к отрицательно заряженной второй плоскости. По принципу суперпозиции полей напряженность поля двух плоскостей E=E₁+E₂. Таким образом, слева от плоскости 1 и справа от плоскости 2, т. е. в областях и , E=0. В области между плоскостями E₂=E₁ и E=2E₁. Следовательно, E_x=0, если и , а в области  

      

    (17) 

      После между плоскостями однородное. Зависимость φ(x) найдем, интегрируя уравнение и полагая потенциал плоскости l равными φ₁:

      а) , ( );

      б) , ( ).                    (17’) 

      В частности, при x=d, , т. е. разность потенциалов плоскостей равна 

      

        (18)

      в) , ( ).

 

       Задача.

Фарфоровый  шар радиусом см заряжен равномерно с объемной плотностью . Определить напряженность электростатического поля: 1) на расстояние см от центра шара; 2) на поверхности шара; 3) на расстояние см от центра шара. Диэлектрическая проницаемость фарфора .

Дано:

 см = 0,1 м

=1,5

 см = 5 м

 см = 15 м 

Найти:

 

 

 

Ответ:

       

 

Заключение.

 
 

      На  основании рассмотренных примеров можно сделать следующие выводы относительно зависимостей напряженности и потенциала электростатического поля в вакууме от координат точек в этом поле:

• Напряженность электростатического поля в вакууме изменяется скачком при переходе через  заряженную поверхность;
• При переходе через границу области объемного заряда напряженность поля в вакууме изменяется непрерывно
• Потенциал поля всегда является непрерывной функцией координат (скачкообразное изменение потенциала поля означало бы возможность совершения в этом поле конечной по величине работы над электрическим зарядом при его перемещении, равном нулю).