Сразу заметим, что в силу ,

      Безразмерный  параметр At представляет собой отношение времени тепловой релаксации слоёв к среднему времени жизни радиоактивного нуклида. Выражение Pt является аналогом параметра Пекле, поскольку определяется аналогично последнему, но через температуропроводность настилающего, а не несущего пласта. Величина определяет отношение изменения температуры, вызванного «мгновенным» распадом радиоактивного нуклида к разности температур закачиваемой жидкости и естественной геотермической температуры пласта.

        Для больших  температурное поле определяется в основном энергией радиоактивного распада, для малых – конвективным переносом тепла, обусловленного различием температур закачиваемой жидкости и пласта.

      В силу большого значения аналога параметра  Пекле (Рt ~  ), в пористом пласте можно пренебречь радиальной кондуктивной теплопроводностью по сравнению с конвективным переносом тепла.

      Аналогично, для настилающего и подстилающего  пластов изменение радиальной составляющей температурного поля будет в значительной мере определяться конвективным переносом тепла в пористом пласте, что позволяет пренебречь для них вкладом соответствующих радиальных теплопроводностей.

      Таким образом, во всех уравнениях, получающихся из (3) – (5) исчезнут слагаемые, содержащие и интересующие нас уравнения запишутся в виде (соответственно для настилающего, подстилающего и пористого пластов):

а условия  сопряжения, граничные и начальные условия принимают вид

      Уравнения и равенства (13) – (20) представляют математическую постановку задачи теплопереноса.

      Рассмотрим более  общую задачу, получающуюся введением  произвольного асимптотического параметра  путем формальной замены на и, соответственно, на , а на . Задача (13) – (20) является, таким образом, частным случаем более общей задачи при .

      Будем искать решение задачи (21) – (28), разлагая каждое в ряд по параметру . При этом асимптотические формулы с остаточным членом для данных разложений имеют вид

      Решение исходной задачи будет получено из решения параметризованной задачи при  . Подставив (29) в (21) – (28) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения , получим следующую постановку параметризованной задачи (вместе с граничными условиями)

      При этом плотность загрязнителя, входящая в (30) – (32), также будет разлагаться по параметру асимптотического разложения , причём это разложение производится независимо от разложения (29), хотя и по тому же принципу.

      Уравнения (30), (31) для коэффициентов при (первое приближение) принимают вид

      Для коэффициентов при  в (32)

      Условия сопряжения, начальные и граничные  условия

      Уравнения (38) – (45) определяют постановку задачи теплообмена в первом приближении. Здесь также зависит от плотности загрязнителя.

 

Решение задачи теплопереноса

      Решая систему уравнений (38) – (45), вначале  определяют решение , которое отыскивается в виде квадратного многочлена относительно z

      причём

      Для нахождения перепишем (40) в виде

      Учитывая (46) и (49), а также линейность оператора , получим

      Проинтегрируем  последнее выражение

      Как видно из (52), в первом приближении задача теплопереноса в общем случае уже зависит от первого приближения плотности радиоактивного загрязнителя. В силу громоздкости получающихся выражений ограничимся решением этой задачи в общем случае в пространстве изображений (преобразование Лапласа – Карсона).

      Перейдём  сразу в пространство изображений, воспользовавшись преобразованием Лапласа – Карсона. При этом последнее уравнение принимает вид

      Причём  оператор в пространстве изображений представится как

      Учитывая  условия сопряжения (41), остающиеся справедливыми и в пространстве изображений, получим из (53)

      и

      Умножая (55) на и вычитая (56), получим

      Выразим из (57)

      В пространстве изображений (46) принимает вид

      где

      Решения уравнений 

      соответствующих (38), (39) в пространстве изображений, с учётом условий регулярности и сопряжения, принимают вид

      При этом следы производных из внешних  областей представятся как

      что позволяет переписать (58) в виде

      В пространстве изображений определены граничные значения первого коэффициента

      Подстановка (68), (69) в (67) даёт уравнение для определения .

      

      

      Действительно, значения всех величин и выражения  для всех переменных, входящих в (70), за исключением нам известны. При решении этого уравнения появится постоянная интегрирования, значение которой может быть найдено с использованием нелокального интегрального условия.

 

Заключение

      В работе, на основе уравнения конвективной диффузии для несжимаемой жидкости с учетом радиоактивного распада и обмена загрязнителя со скелетом, осуществлена постановка задачи теплопереноса в глубокозалегающих горизонтах, возникающих при закачке в пористый пласт растворенных радиоактивных веществ. С использованием параметра асимптотического разложения температурная задача представлена в виде бесконечной последовательности краевых задач для коэффициентов разложения искомого решения в асимптотический ряд. Произведено «расцепление» соответствующей цепочки уравнений и на этой основе осуществлена постановка краевых задач смешанного типа со следами производных из внешних областей для первого коэффициента разложения и остаточного члена.