Закон Архимеда и Паскаля

Наблюдения показывают, что так же передают внешнее давление и газы, находящиеся в закрытом сосуде. Описанная закономерность была впервые обнаружена французским  ученым Паскалем и получила название закона Паскаля.

Гидростатическое  давление 

На каждую молекулу жидкости, находящейся в поле тяготения  Земли, действует сила тяжести. Под  действием этих сил каждый слой жидкости давит на расположенные под ним  слои. По закону Паскаля это давление передается жидкостью по всем направлениям одинаково. Следовательно, в жидкостях существует давление, обусловленное силой тяжести. 

Наблюдения показывают, что жидкость, находящаяся в сосуде в состоянии покоя, давит на дно  и стенки сосуда и на любое тело, погруженное в эту жидкость. Давление, оказываемое покоящейся жидкостью на любую соприкасающуюся с ней поверхность, называют гидростатическим.

Формула гидростатического  давления 

Гидростатическое  давление можно определить с помощью  прибора, называемого гидростатическими весами Паскаля (рис. 49). В подставке П, сквозь которую проходит кольцевой патрубок К, можно поочередно герметично закреплять сосуды С любой формы, не имеющие дна. Подвижным дном этих сосудов служит подвешенная на коромысле равноплечих весов плоская круглая площадка Д, расположенная вблизи нижнего отверстия патрубка К. Эта площадка прижимается к торцу патрубка силой, вызываемой тем, что на чашку весов, подвешенную на другом их коромысле, ставится гиря Г. К подставке П прикреплена линейка Л, по которой определяют высоту h жидкости в сосуде, закрепленном на подставке. 

Опыт производят так. На под-ставке укрепляют сосуд, имеющий форму прямого кругового  цилиндра. В него наливают воду до тех  пор, пока вес этой воды не станет равным весу гири, поставленной на правую чашку весов, т.е. Рж=Рг. (Поддержание этого количества воды автоматически обеспечивается самим прибором, так как если вес воды в сосуде превысит вес гири, дно приоткроется и излишек воды вытечет.) 

В цилиндрическом сосуде вес жидкости Pж=rжghS, где ж=rж - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения, h - высота столба жидкости, S - площадь основания цилиндра, поэтому на дно сосуда жидкость оказывает давление

р=Pж/S=rжgh.    (5.2) 

Формула (5.2) определяет значение гидростатического давления.

Теоретический вывод формулы гидростатического  давления 

Выделим внутри покоящейся жидкости неподвижный элемент  ее объема DV в виде прямого кругового  цилиндра высотой h с основаниями, имеющими малую площадь DS, параллельными свободной  поверхности жидкости (рис. 50). Верхнее основание цилиндра находится от поверхности жидкости на глубине h1, а нижнее - на глубине h2>h1. 

На выделенный элемент объема жидкости действуют  по вертикали три силы: силы давления F1=p1DS и F2=p2DS (где p1 и p2 - значения гидростатического давления на глубинах h1 и h2) и сила тяжести Fт=rgDV =rghDS. 

Выделенный нами элемент объема жидкости покоится, значит, F1+F2+Fт=0, а следовательно, равна  нулю и алгебраическая сумма проекций этих сил на вертикальную ось, т. е. p2DS-p1DS-rghDS=0, откуда получаем

p2-p1=rgh.    (5.3) 

Пусть теперь верхняя  грань выделенного цилиндрического  объема жидкости совпадает с поверхностью жидкости, т.е. h1=0. Тогда h2=h и p2=p, где h - глубина  погружения, а р - гидростатическое давление на данной глубине. Считая, что на поверхности жидкости давление р1=0 (т.е. без учета внешнего давления на поверхность жидкости), из (5.3) получаем формулу для гидростатического давления р=rgh, которая совпадает с формулой (5.2).

Сообщающиеся  сосуды 

Сообщающимися называют сосуды, имеющие между собой канал, заполненный жидкостью. Наблюдения показывают, что в сообщающихся сосудах любой формы однородная жидкость всегда устанавливается на одном уровне. 

Иначе ведут  себя разнородные жидкости даже в  одинаковых по форме и размерам сообщающихся сосудах. Возьмем два цилиндрических сообщающихся сосуда одинакового диаметра (рис. 51), на их дно нальем слой ртути (заштрихован), а поверх него в цилиндры нальем жидкости с разными плотностями, например r2<r1 (слой ртути нужен для того, чтобы жидкости не смешивались). Мы увидим, что если эти жидкости находятся в состоянии покоя, их уровни h1 и h2 различны (h2>h1). 

Мысленно выделим  внутри трубки, соединяющей сообщающиеся сосуды и заполненнной ртутью, площадку площади S, перпендикулярную горизонтальной поверхности. Так как жидкости покоятся, давление на эту площадку слева и справа одинаково, т.e. p1=p2. Согласно формуле (5.2), гидростатическое давление p1=r1gh1 и p2=r2gh2. Приравняв эти выражения, получаем r1h1 = r2h2, откуда

h1/h2=r2/r1.    (5.4) 

Следовательно, разнородные жидкости в состоянии  покоя устанавливаются в сообщающихся сосудах таким образом, что высоты их столбов оказываются обратно  пропорциональными плотностям этих жидкостей. 

Если r1=r2, то из формулы (5.4) следует, что h1=h2, т.е. однородные жидкости устанавливаются в сообщающихся сосудах на одинаковом уровне.

Принцип действия гидравлического пресса 

Гидравлический  пресс представляет собой два  сообщающихся сосуда цилиндрической формы  и разного диаметра, в которых  имеются поршни, площади которых S1 и S2 различны (S2 >> S1). Цилиндры заполнены жидким маслом (обычно трансформаторным) . Схематически устройство гидравлического пресса изображено на рис. 52 (на этом рисунке не показаны резервуар с запасом масла и система клапанов). 

Без нагрузки поршни находятся на одном уровне. На поршень S1 действуют силой F1, а между поршнем S2 и верхней опорой закладывают тело, которое нужно прессовать.

Сила F1, действуя на поршень S1, создает в жидкости дополнительное давление р=F1/S1. По закону Паскаля это давление передается жидкостью по всем направлениям без изменения. Следовательно, на поршень S2 действует сила давления

F2=pS2=F1S2/S1.  

Из этого равенства  следует, что

F2/F1=S2/S1.    (5.5) 

Следовательно, силы, действующие на поршни гидравлического пресса, пропорциональны площадям этих поршней. Поэтому с помощью гидравлического пресса можно получить выигрыш в силе тем больший, чем S2 больше S1.

Гидравлический  пресс широко используется в технике.

Вопросы для  самоконтроля:

Что называют давлением? Какая формула выражает смысл этого понятия?

Какова единица  давления в СИ? Сформулируйте определение  этой единицы.

Назовите внесистемные единицы давления, используемые на практике.

Каковы соотношения  этих единиц с единицей давления СИ?

Сделав пояснительный рисунок, опишите опыт, устанавливающий закон Паскаля. Как этот закон формулируют?

Что называют гидростатическим давлением? Какова его природа?

Сделав схематический  рисунок гидростатических весов  Паскаля, опишите опыт, в котором  устанавливается формула гидростатического давления. Как записывают эту формулу?

Выведите формулу  гидростатического давления теоретически.

Что такое сообщающиеся сосуды?

Установите формулу  зависимости высот столбов жидкостей  в сообщающихся сосудах от плогностей этих жидкостей.

Сделав пояснительный  рисунок, объясните принцип действия гидравлического пресса.

Установите формулу  зависимости между силами, приложенными к поршням гидравлического пресса, и площадями этих поршней. 

Условие неразрывности  струи предусматривает, что струя жидкости нигде не имеет разрывов. Частицы жидкости при стационарном течении движутся по линиям тока, поэтому боковую поверхность трубки тока жидкость не пересекает.  

Уравнение неразрывности :  

VS - const 

Уравнение неразрывности : для идеальной жидкости в стационарных условиях произведение скорости на поперечное сечение трубки тока остается неизменным в любом сечении трубки.  

Вывод: из уравнения  неразрывности следует, что в  более узком сечении трубки тока скорость должна быть больше, чем в  более широком сечении. 

Уравнение неразрывности  струи.

Рассмотрим стационарный (скорость в данной точке не изменяется со временем) поток идеальной (нет  внутреннего трения) несжимаемой  жидкости.

В этом случае выполняется  закон сохранения массы.

Пусть за время t через сечение трубы S1 проходит жидкость массой m1 (рис. 2.3):

 

Тогда через  сечение S2 за тоже время проходит жидкость массой m2:

 

Так как m1=m2, то

 или  

Где сечение  трубы меньше, там скорость жидкости больше, и наоборот (если S1 > S2, то v1 < v2).