Закон Кулона

. (10)

В интересующем нас случае телом является заряженное тело или, говоря коротко, электрический  заряд.

На электрические  заряды действуют силы со стороны  поля. Если при наложении в пространстве полей от нескольких зарядов эти  поля не оказывают никакого влияния  друг на друга, то результирующая сила со стороны всех полей должна быть равна геометрической сумме сил  со стороны каждого поля. Именно так и происходит на самом деле. Это означает, что напряженности  полей складываются геометрически, так как напряженности прямо  пропорциональны силам.

В этом состоит  принцип суперпозиции полей, т. е. принцип независимого наложения полей («суперпозиция» в переводе на русский означает «наложение»). Он формулируется так:

если  в данной точке  пространства различные  заряды создают электрические  поля, напряженности  которых , , , и т д., то результирующая напряженность поля в этой точке равна:

. (11)

Благодаря принципу суперпозиции для нахождения напряженности  поля системы точечных зарядов в  любой точке достаточно знать  выражение (6) для напряженности поля точечного заряда. На рисунке 6, а, б показано, как геометрически определяется напряженность поля, созданного двумя зарядами.

Рис. 6

Для определения  напряженности поля, создаваемого заряженным телом конечных размеров, нужно поступать  следующим образом. Мысленно разделить  тело на маленькие элементы, каждый из которых можно считать точечным. Определить заряды всех этих элементов  и найти напряженности полей, созданных всеми ими в заданной точке. После этого сложить геометрически  напряженности от всех элементов  тела и найти результирующую напряженность поля. Для тел сложной формы это трудная, но в принципе разрешимая задача. Для ее решения нужно знать, как заряд распределен на теле.

Принцип суперпозиции выполняется лишь тогда, когда электрические  поля не меняют свойств среды, т.е. пока внешние поля значительно меньше полей, существующих внутри атомов и молекул. В условиях, рассматриваемых в классической физике, этот принцип в большинстве случаев выполняется, как говорится, «с большим запасом», и поэтому мы будем считать его универсальным.

Введение электрического поля позволяет задачу вычисления сил  взаимодействия заряженных частиц разбить  на две части. Сначала вычисляют  напряженность поля, созданного зарядами, а затем по известной напряженности  определяют силы. Такое разделение задачи на части обычно облегчает  расчеты сил.  

Линии напряженности электрического поля

Электрическое поле не действует на органы чувств. Его мы не видим. Тем не менее распределение поля в пространстве можно сделать видимым. Делается это довольно просто.

Мы получим  некоторое представление о поле, если нарисуем векторы напряженности  поля в нескольких точках пространства. На рисунке 8 таким способом изображено поле положительного точечного заряда. Длины векторов уменьшаются как  , а направлены все они по радиусам от заряда. Но в случае произвольного поля картина будет более наглядной, если нарисовать не векторы в отдельных точках, а непрерывные линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности. Эти линии называются линиями напряженности или силовыми линиями электрического поля. За направление силовых линий принимается направление вектора (рис. 7).

По картине  силовых линий можно судить не только о направлении вектора  , но и о его модуле. Действительно, для точечных зарядов напряженность поля увеличивается по мере приближения к заряду, а силовые линии при этом сгущаются (рис. 8). Число силовых линий, приходящихся на поверхность единичной площади, расположенную нормально к силовым линиям, можно считать пропорциональным модулю напряженности.

Покажем это  на частном примере. Опишем вокруг точечного  заряда q сферу радиусом r (см. рис. 8). Обозначим число силовых линий, проведенных от заряда q, через N. Это число, разумеется, произвольно. Тогда число силовых линий, приходящихся на единицу площади поверхности сферы, равно:

. (12)

т.е. убывает  как  . Точно так же убывает с расстоянием напряженность поля точечного заряда. Поэтому

. (13) 

Картины силовых линий 

Построить точную картину силовых линий заряженного  тела – сложная задача. Нужно  сначала вычислить напряженность  поля Е(х, у, z) как функцию координат. Но этого еще мало. Остается непростая задача проведения непрерывных линий так, чтобы в каждой точке линии касательная к ней совпадала с направлением напряженности . Такую задачу проще всего поручить компьютеру, работающему по специальной программе.

Впрочем, строить  точную картину распределения силовых  линий нет необходимости. Имеет  смысл рисовать приближенные картины, исходя из определенной симметрии в  расположении зарядов. Такая картина  дает наглядное представление о  поле.

Графически изображая  поле, следует помнить, что линии  напряженности электрического поля:

1. нигде не пересекаются друг с другом;
2. имеют начало на положительном заряде (или в бесконечности) и конец на отрицательном (или в бесконечности), т. е. являются незамкнутыми линиями;
3. между зарядами нигде не прерываются.

На рисунках 9–12 изображены довольно точно построенные  картины силовых линий: положительно заряженного шарика (рис. 9); двух раз-ноименно заряженных шариков (рис. 10); двух одноименно заряженных шариков (рис. 11); двух пластин, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку (рис. 12).

Последний пример особенно важен. На рисунке 12 видно, что  в пространстве между пластинами вдали от краев пластин силовые  линии па-раллельны: электрическое поле здесь одинаково во всех точках.

Электрическое поле, напряженность  которого одинакова  во всех точках пространства, называется однородным. В ограниченной области пространства электрическое поле можно считать приблизительно однородным, если напряженность поля внутри этой области меняется незначительно.

Изображенные  на рисунке 9 линии также оканчиваются на отрицательных зарядах, расположенных  где-то вдали. Линии непрерывны и  не пересекаются, так как их пересечение  означало бы отсутствие определенного  направления напряженности электрического поля в данной точке.

Представление электрического поля с помощью силовых  линий имеет существенный недостаток. Если мы знаем, как выглядят силовые  линии одной совокупности зарядов  и другой совокупности, мы все равно  не получим никакого представления  о картине силовых линий, созданной  обеими совокупностями. Если же знать  напряженность электрического поля в каждой точке пространства для  одной и второй совокупности, то вычислить результирующую напряженность  поля не составит труда.

Не следует  думать, что линии напряженности  – это существующие в действительности образования вроде растянутых упругих  нитей или шнуров, как предполагал  сам Фарадей. Линии напряженности  лишь помогают представить распределение поля в пространстве и не более реальны, чем меридианы и параллели на земном шаре.

Однако силовые  линии можно сделать «видимыми». Дл этого нужно металлические  тела (электроды) соединить с полюсами электростатической машины и погрузить  в вязки: диэлектрик (например, в  касторовое или вазелиновое масло). В эту жидкость надо насыпать и  хорошо перемешать продолговатые частицы  изолятора (например, хинина – лекарств от малярии, асбеста, манной крупы, семян  или мелко настриженный волос). При  заряжении электродов в жидкости создается достаточно сильное электрическое  поле. Под влиянием электрического поля частицы диэлектрика поляризуются: на их концах появляются заряды противоположного знака. Частицы поворачиваются во внешнем  поле вдоль линий напряженности, и заряды на их концах взаимодействуют  друг с другом. Разно именные заряды притягиваются, а одноименные отталкиваются. В результате частицы диэлектрика  вы страиваются вдоль силовых  линий.

Картина силовых  линий наглядно показывает, как направлена напряженность электрического поля в различных точках пространства. По изменению густоты линий можно  судить об изменении модуля напряженности  поля при переходе от точки к точке.

Приложение 

Опыт  Кулона

Необходимость проведения экспериментов Кулона была вызвана тем, что в середине XVIII в. накопилось много качественных данных об электрических явлениях. Возникла потребность дать им количественную интерпретацию. Поскольку силы электрического взаимодействия были относительно невелики, возникла серьезная проблема в создании метода, который позволил бы произвести замеры и получить необходимый количественный материал.

Французский инженер  и ученый Ш. Кулон предложил метод  измерения малых сил, который  основывался на следующем экспериментальном  факте, обнаруженном самим ученым: сила, возникающая при упругой деформации металлической проволоки, прямо  пропорциональна углу закручивания, четвертой степени диаметра проволоки  и обратно пропорциональна ее длине:

,

где d – диаметр, l – длина проволоки, φ – угол закручивания. В приведенном математическом выражении коэффициент пропорциональности k находился опытным путем и зависел от природы материала, из которого изготавливалась проволока.

Данная закономерность была использована в так называемых крутильных весах. Созданные весы позволили  измерить ничтожно малые силы порядка 5·10^-8 Н.

Рис. 13

Крутильные весы (рис. 13, а) состояли из легкого стеклянного  коромысла 9 длиной 10,83 см, подвешенного на серебряной проволоке 5 длиной около 75 см, диаметром 0,22 см. На одном конце коромысла располагался позолоченный бузиновый шарик 8, а на другом – противовес 6 – бумажный кружок, смоченный в скипидаре. Верхний конец проволоки прикреплялся к головке прибора 1. Здесь же имелся указатель 2, с помощью которого отсчитывался угол закручивания нити по круговой шкале 3. Шкала была проградуирована. Вся эта система размещалась в стеклянных цилиндрах 4 и 11. В верхней крышке нижнего цилиндра имелось отверстие, в которое вставлялась стеклянная палочка с шариком 7 на конце. В опытах применялись шарики с диаметрами в пределах 0,45 – 0,68 см.

Перед началом  эксперимента указатель головки  устанавливался на нулевой отметке. Затем шарик 7 заряжался от предварительно наэлектризованного шарика 12. При соприкосновении шарика 7 с подвижным шариком 8 происходило перераспределение заряда. Однако из-за того, что диаметры шариков были одинаковыми, одинаковыми были и заряды на шариках 7 и 8.

Вследствие электростатического  отталкивания шариков (рис. 13, б) коромысло  9 поворачивалось на некоторый угол γ (по шкале 10). С помощью головки 1 это коромысло возвращалось в исходное положение. По шкале 3 указатель 2 позволял определять угол α закручивания нити. Общий угол закручивания нити φ = γ + α. Сила же взаимодействия шариков была пропорциональна φ, т. е. по углу закручивания можно судить о величине этой силы.

При неизменном расстоянии между шариками (оно фиксировалось  по шкале 10 в градусной мере) исследовалась зависимость силы электрического взаимодействия точечных тел от величины заряда на них.

Для определения  зависимости силы от заряда шариков  Кулон нашел простой и остроумный способ изменения заряда одного из шариков. Для этого он соединял заряженный шарик (шарики 7 или 8) с таким же по размерам незаряженным (шарик 12 на изолирующей ручке). Заряд при этом распределялся поровну между шариками, что и уменьшало исследуемый заряд в 2, 4 и т. д. раз. Новое значение силы при новом значении заряда опять определялось экспериментально. При этом выяснилось, что сила прямо пропорциональна произведению зарядов шариков: