Балансовые экономико-математические модели

     Но  самый ценный вклад в методику численного решения экономических  моделей был сделан в 1940-х годах  Леонтьевым, создавшим метод затраты - выпуск. Отныне стало возможным  численное решение больших систем уравнений. Современная электронно-вычислительная машина способна с феноменальной скоростью решить систему из тридцати уравнений с таким же числом неизвестных. Метод затраты - выпуск вполне себя оправдывает, по крайней мере в теоретическом плане. Как заметил Леонтьев, имеется определенная связь между, скажем, продажей автомобилей в Нью-Йорке и спросом на хлеб в Детройте. По сути дела, всю страну можно рассматривать как единую систему учета, где каждый сектор имеет собственный "бюджет" экономической активности. 

 

III. БАЛАНСОВЫЙ АНАЛИЗ ПЯТИСЕКТОРНОГО ХОЗЯЙСТВА 

     Проведем  расчет оптимального выпуска продукции  химического предприятия, состоящего из 5 подразделений. Для расчета использована модель Леонтьева межотраслевого баланса  и данные маркетинговых исследований рынка продукции в городе. В отчетном периоде работа анализируемого предприятия характеризовалась следующими данными: 

Таблица 1.

 

     Данные  таблицы означают, что из 700 ед. продукции, производимых 1 цехом предприятия, 25 ед. оставлялось в цехе для его  работы, 50 ед. продукции передавалось 2 цеху и использовалось им в качестве одного из ресурсов, 100 ед. передавалось 3 цеху, 40 ед. – четвертому цеху, 85 ед. – 5 цеху и 400 ед. поставлялось в качестве товарной продукции в магазине города. Остальные строки таблицы аналогично характеризуют распределение валового выпуска 2, 3, 4 и 5 цехов предприятия. Маркетинговая служба предприятия, проведя исследования на рынках города, пришла к выводу, что в планируемом году товарная продукция первого цеха в магазинах города буде немного избыточна, продукция 2, 3 и 5 цехов недостаточна, а продукция 4 цеха будет соответствовать спросу. Проведя анализ с помощью эконометрических моделей, специалистами было рекомендовано уменьшить отгрузку продукции 4 цеха оставить без изменения.

Таким образом, продукция цехов, отправляемых в магазины, должна составлять:

У₁=400-0,1*400=360 (первый цех)

У₂=300+300*0,05=315 (второй цех)

У₃=400+400*0,15=460 (третий цех)

У₄=50 (четвертый цех)

У₅=600+600*0,1=660 (пятый цех)

Предприятие представляет собой взаимосвязанную  систему. Увеличение продукции, поставляемой в магазины, ведет также к увеличению продукции, используемой внутри предприятия. Поэтому необходимо рассчитать, какой должен быть валовой выпуск продукции каждого цеха, чтобы его хватило и для работы всех цехов предприятия, и предложение продукции предприятия на рынках города соответствовало спросу. В работе выполнен такой расчет с использованием модели Леонтьева межотраслевого баланса.

Запишем соотношение баланса между валовым  выпуском и потреблением: 

Х₁=Х₁₁+Х₁₂+Х₁₃+Х₁₄+Х₁₅+У₁, или 700=25+50+100+40+852+400

…………………

Х₅= Х₅₁+Х₅₂+Х₅₃+Х₅₄+Х₅₅+У₅, или 740=20+30+50+15+25+600

или

     Х_i= +Y_i⁷       (1)

По  данным таблицы 1 введем матрицу прямых затрат (структурную матрицу) по формуле:

     a_{ij= ,}

отсюда

     Х_ij=a_ijX_j,               (2)

где Х_ij обозначает объем продукции j цеха, необходимый для работы i цеха (представлены в первых пяти столбцах и строках таблицы 1),  Х_j- валовый выпуск продукции j-го цеха (последний столбец таблицы 1). Коэффициенты a_ij показывают, какая часть продукции i-го цеха потребляется j-ым цехом. Расчет по данной формуле приводит к следующей структурной матрице продукции предприятия:

Выразим структурную матрицу предприятия  в процентах

Эти данные означают, что 1 цех потребляет 3,6% валового выпуска продукции своего цеха, 14,3% валового выпуска продукции второго цеха, 5,7% валового выпуска продукции 3 цеха, 9,3% валового выпуска продукции 4 цеха, 2,9% валового выпуска продукции 5 цеха.

Второй, третий, четвертый и пятый столбцы  таблицы аналогичным образом  характеризуют долю продукции i-го цеха, потребляемого j-ым цехом.

С учетом (2) уравнение баланса (1) принимает  вид:

Х_i=            (3)

В общем  случае для предприятия с n подразделениями матрица прямых затрат А, матрица – столбец валового выпуска Х и матрица-столбец конечного продукта У имеют вид

 и  ,

тогда систему уравнений (3) можно представить  в матричном виде

     Х=А*Х+Y                       (4)

Основная  задача межотраслевого баланса состоит  в определении такой матрицы валового выпуска Х, которая при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданную матрицу конечного продукта Y. Эта задача легко решается методами линейной алгебры. Перепишем (4) в виде

     (Е-А)*Х=Y,                    (5)

где Е  – единичная матрица. Последняя система уравнений может быть решена методом обратной матрицы. Матрица (Е-А)^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице Е-А, если

     (Е-А)^-1(Е-А)= (Е-А) (Е-А)^-1=Е,

Обратная  матрица существует и единственна, если определитель матрицы Е-А не равен нулю. В этом случае она вычисляется по формуле:

      ,

где (Е-А)_ij=(-1)^i+j*M_ij – алгебраические дополнения матрицы (Е-А), М_ij – миноры матрицы Е-А, то есть определители n-1 порядка, получаемые из матрицы Е-А вычеркиваем i-ой строки и j-ого столбца. Обратная матрица может быть также найдена с помощью стандартных процедур, например, используя электронные таблицы EXCEL или пакет программ МАТЕМАТИКА и т.д.

Умножая обе части балансового уравнения (5) слева на (Е-А)^-1, получаем

     Х=(Е-А)^-1*Y                     (6)

В нашей  задаче матрица Е-А имеет вид:

     

Матрицу (Е-А)^-1 найдем, используя стандартные процедуры электронных таблиц EXCEL:

     

Тогда, согласно (6), получаем искомый вектор валового выпуска продукции предприятия:

Таким образом, валовый выпуск цехов предприятия  в планируемом году должен составлять:

Х₁=682,56 - первый цех

Х₂=626,32 - второй цех

Х₃=778,05 - третий цех

Х₄=313,94 - четвертый цех

Х₅=809,44 - пятый цех 

Такой выпуск обеспечит баланс внутреннего  потребления и поставок в магазины города, измененных в соответствии с анализом рынка.

 

     ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     Итак, можно сделать следующие краткие  выводы по данной курсовой работе:

     1. Аналитический метод «затраты выпуск» наполнил практическим содержанием теорию общего экономического равновесия, он способствовал усовершенствованию математического аппарата. Так динамическая модель Леонтьева раскрыла несостоятельность статичной математической модели одного из основоположников неоклассической экономической школы Л Вальраса.

     2. Метод Леонтьева отличает ясность  и простота, универсальность и  глобальность, другими словами пригодность  для экономики отдельных стран  и регионов, для мирового хозяйства  в целом.

     По  мнению В. Леонтьева, межотраслевой анализ может служить основным инструментом стратегического планирования.

     3. В настоящее время в национальной  экономике существуют и продолжают  возникать сложные проблемы, требующие  межотраслевых обоснований. Использование же метода “затраты–выпуск” межотраслевого баланса позволяет не только изучить взаимозависимость между различными отраслями экономики, проявляющуюся во взаимовлиянии цен, объемов производства, капиталовложений и доходов, но и решать следующие задачи:

  - прогноз основных макроэкономических показателей (выпуск валового и конечного продукта, чистая продукция, материальные затраты, производственное потребление продукции и др. в разрезе отраслей материального производства) в зависимости от изменения как внешних, так и внутренних факторов; - прогноз оптовых цен продукции отраслей материального производства, уровня инфляции, стоимости потребительской корзины; - прогноз уровня безработицы; - прогноз экологической обстановки и оценка затрат на проведение природоохранных мероприятий; - оценка эффективности конкретных предложений по размещению производительных сил; - оценка эффективности межтерриториальных экономических связей; - и многих других. Таким образом, на основе моделей В. Леонтьева может быть разработан комплекс моделей функционирования экономики с целью определения рациональных стратегий управления социально-экономическим развитием региона и страны в целом. 

 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бункина М.К. Экономические модели Василия Леонтьева.//Финансовый   менеджмент.- М., 2005, №1.С. 13-28.
2. Вэриан Х. Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход. / Пер. с англ. — М.: ЮНИТИ, 2002.
3. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учебно-практическое пособие для вузов. - М.: Издательство УРАО, 1998.
4. Роберт С. Пиндайк, Дэниел Л. Рубинфельд . Микроэкономика. Пер. с англ. /  - М. : Дело, 2003. - 808 с.
5. Федосеев В.В., Гармаш А.Н.  и др.- Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов / М., 2004. -264 с.
6. www.dvgups.ru/METDOC/EEMEN/ETEOR/EKTEOR/ - математические модели
7. www.math.omsu.omskreg.ru/info/learn/pprimer/afterword.htm -модель МОБ
8. www.wassily.leontief.net – Сервер Леонтьева В.В.