Игры с ненулевой суммой и кооперативные

Содержание 

     Введение……………………………………………………………………..…3

1. Игры с ненулевой суммой и кооперативные……………………………..5
1. Игры с ненулевой суммой…………………………………………..5
2. Кооперативные игры………………………………………………...9
2. Практическая часть……………………………..………………………...

Заключение………………………………………………………………..

     Список использованной литературы……………………………………… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

     На  практике проведения экономического анализа  часто приходится принимать решения  в условиях неопределенности. Результаты работы организации будут зависеть от действий, предпринимаемых противником. Такие ситуации называют конфликтными. Научные основания и методы решения задач с конфликтными ситуациями дает теория игр.

     На  практике часто появляется необходимость  согласования действий фирм, объединений, министерств и других участников проектов в случаях, когда их интересы не совпадают. В таких ситуациях теория игр позволяет найти лучшее решение для поведения участников, обязанных согласовывать действия при столкновении интересов. Теория игр все шире проникает в практику экономических решений и исследований. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых и управленческих решений. Это имеет большое значение при решении задач в промышленности, сельском хозяйстве, на транспорте, в торговле, особенно при заключении договоров с иностранными партнерами на любых уровнях. Так, можно определить научно обоснованные уровни снижения розничных цен и оптимальный уровень товарных запасов, решать задачи экскурсионного обслуживания и выбора новых линий городского транспорта, задачу планирования порядка организации эксплуатации месторождений полезных ископаемых в стране и др. Классической стала задача выбора участков земли под сельскохозяйственные культуры. Метод теории игр можно применять при выборочных обследованиях конечных совокупностей, при проверке статистических гипотез.

       Обычно теорию игр определяют  как раздел математики для  изучения конфликтных ситуаций. Это значит, что можно выработать  оптимальные правила поведения  каждой стороны, участвующей в решении конфликтной ситуации. 

       В экономике, например, оказался  недостаточным аппарат математического  анализа, занимающийся определением  экстремумов функций. Появилась  необходимость изучения так называемых  оптимальных минимаксных и максиминных  решений. Следовательно, теорию игр можно рассматривать как новый раздел оптимизационного подхода, позволяющего решать новые задачи при принятии решений.

     Целью курсового проекта является изучение теории игр.

     В соответствии с поставленной целью  предстоит решить следующие задачи:

• рассмотреть игры с ненулевой суммой;
• рассмотреть кооперативные игры;
• решение задачи.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Игры  с ненулевой суммой и кооперативные
1. Игры с ненулевой суммой

 

     Теория игр - раздел математики, предметом которого является анализ принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Возникнув из задач классической теории вероятностей, теория игр превратилась в самостоятельный раздел в 1945-1955. Таким образом, теория игр - один из новейших разделов математики. Наиболее полное изложение идей и методов теории игр впервые появилось в 1944 в труде Теория игр и экономическое поведение (Theory of Games and Economic Behavior) математика Дж. фон Неймана (1903-1957) и экономиста О. Моргенштерна (1902-1977). Фон Нейман опубликовал несколько работ по теории игр в 1928 и 1935; другим предшественником теории игр по праву считается французский математик Э. Борель (1871-1956). Некоторые фундаментальные идеи были независимо предложены А. Вальдом (1902-1950), заложившим основы нового подхода к статистической теории принятия решений.

     Область приложения теории игр выходит, конечно, далеко за рамки таких игр и включает, например, математику, экономику, политику, военную стратегию. Однако в терминологии теории игр много заимствований из терминологии общеизвестных игр.

     Так лица, принимающие решения, называются игроками, а целевая функция — платежной функцией. Под игроками могут подразумеваться отдельные лица или группы лиц (как например, партнеры по игре в бридж), фирмы, страны и т.д. Выигрыш каждого игрока определяется платежной функцией. Таким образом, игра представляет собой совокупность известных всем игрокам правил, которые определяют, что может делать игрок и каковы последствия и выигрыши в результате каждого отдельного их действия [6].

     Ход — это момент игры, когда игроки должны произвести выбор одного из возможных вариантой. Партией игры называется некоторая определенная совокупность ходов и выборов. Существенной чертой любой игры является то, что выигрыш каждого игрока зависит обычно не только от сделанного им самим выбора, но и от выбора других игроков.

     Каждый игрок должен учитывать эту зависимость от остальных игроков при выборе стратегии. Стратегия - это набор правил, формулируемых до игры, которые определяют выбор варианта в любой из могущих возникнуть ситуаций. Так как понятие стратегий является в теории игр нейтральным, то эту дисциплину нередко называют «стратегическими играми».

     Одним из важных типов платежных функций является платежная функция в игре с нулевой суммой когда общая сумма выигрышей игроков равна нулю. В игре двух участников с нулевой суммой выигрыш одного из партнеров равен проигрышу другого, т. е. налицо прямой конфликт между игроками. Прямой противоположностью играм такого типа являются игры двух участников с постоянной разностью, в которых игроки и выигрывают, и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща. В общей игре с ненулевой суммой имеют место, как правило, и конфликты, и согласованные действия игроков.

     В игре с ненулевой суммой необязательно, чтобы один из участников выигрывал, а другой проигрывал; напротив, они могут и выигрывать и проигрывать совместно. Поскольку интересы игроков теперь не являются полностью противоположными, то имеется возможность угрожать противнику, блефовать, сообщать друг другу о своих намерениях, накапливать опыт игры. Так, например, если в игре с нулевой суммой игрокам не выгодно открывать друг другу свои стратегии, то в игре с ненулевой суммой иной раз желательно координировать свои действия с партнером или каким-либо способом влиять на его действия [5].

     Потребность в сообщении между партнерами и в координировании их действий совершенно очевидна в координированных играх, в которых платежи обоих игроков либо одинаковы, либо в более общем случае различаются на постоянную величину, так что игроки и выигрывают, и проигрывают совместно. Предположим в качестве примера, что два человека оказались в горящем доме. Дверь так сильно захлопнута, что ее можно открыть только совместными усилиями. Платежи показаны на рис. 1 Действуя вместе, оба человека могут спастись —  выигрыш каждого в этом случая равен 100: в противном случае могут пострадать оба   -   выигрыш каждого равен 0. Очевидно, что для них лучше всего действовать сообща.

                                                                     Второй человек 

           Толкать    Не толкать

                                                                     дверь        дверь

      Первый      Толкать дверь                  (100, 100)   (0, 0)

     человек      Не толкать дверь   (0, 0)         (0, 0) 

     Рис. 1  Платежная матрица игры «двое в горящем доме» 

     В качестве примера игры с ненулевой суммой рассмотрим еще одну игру. Двое подростков едут навстречу друг другу на автомобилях: проигравшим считается тот, кто первым свернет в сторону. Платежи указаны на рис. 2. Если один свернул в сторону, а другой нет, то «выигравший» игрок получает 5, а «проигравший» (свернувший с дороги) получает —5. Если же сворачивают оба, то состязание заканчивается вничью и выигрыши равны нулю. Если же никто из них не свернул в сторону, то игра завершается аварией выигрыш каждого равен —100. Здесь ни один из игроков не располагает доминирующей стратегией, которая является наилучшей при любых предположениях о поведении другого игрока. Если бы каждый из них мог убедить другого, что он намеревается свернуть, то они сыграли бы вничью, однако каждый испытывает желание выиграть, нарушив любое подобное соглашение. Если нарушают договоренность оба, то исходом является катастрофа.

                                                                                  

                                                                                    Водитель 2 

                                                                     Сворачивать      Не сворачивать

                                 Сворачивать                   (0, 0)                 (-5, 5)

     Водитель 1

                               Не сворачивать                (5, -5)               (-100, -100) 
 

     Рис. 2 Игра подростков на автомобилях

     Игры с ненулевой суммой могут быть кооперативными или некооперативными. В некооперативных играх игроки принимают решения независимо друг от друга либо потому, что координация запрещена, либо потому, что осуществление соглашения невозможно. Примером первой ситуации могут служить антитрестовские законы, запрещающие некоторые виды соглашений между фирмами, а примером второй заключение международных торговых соглашений, навязать которые трудно или невозможно.

     Один из подходов к решению некооперативных игр состоит в определении точки [точек) равновесия игр, т.е. точки (точек), где ни один из игроков не имеет никаких причин отказываться от своей стратегии независимых действий*. В игре двух подростков существуют две точки равновесия: (5. —5) и (— 5,5), где один игрок сворачивает в сторону, а другой нет.

     Для того чтобы дать точное определение понятию точки 
равновесия, используя понятие смешанной стратегии, предположим, что если игрок 1 выбирает стратегию S_i¹, а игрок 2 — стра- 
тегию S_i², то выигрыш первого игрока равен П_ij¹, 
а выигрыш второго П_ij². Если вероятность того, что игрок 1 
выберет i-ю чистую стратегию S_i¹, равна р_i¹ (i = 1,2,…,т), то смотанная стратегия первого игрока выражается вектором

     p¹ = (p₁¹,p₂¹,….,p_m¹),  где p¹1'=1,    p¹≥ 0

     Аналогично, если р_j²   -   вероятность выбора j-й чистой стратегии

Sj² игроком 2 (j = 1,2, …,п). то смешанная стратегия второго игрока выражается вектором

     p² = (p₁²,p₂²,….,p_n²)',   где   1p²=1,    p²≥ 0

     Точкой равновесия является пара векторов р^1*, р²*. определяющих оптимальные смешанные стратегии каждого из игроков, т. е. стратегии, приводящие данного игрока к максимальному ожидаемому выигрышу при условии, что противник применяет свою (оптимальную) смешанную стратегию. Следовательно,

                                  р¹П¹р²* ≤ р¹ *П¹ р²*   для всех р¹,

     р¹П² р² ≤ р¹ *П² р²*        для всех  р² .

     В каждой конечной игре двух лиц существует пара векторов смешанных стратегий, приводящих к точке равновесия. Такая пара векторов может быть не единственной, и может оказаться, что различным парам соответствуют различные значения (ожидаемого) выигрыша. Вообще говоря, в каждой игре п лиц с конечным числом стратегий существуют смешанные стратегии, приводящие к равновесию. Равновесие - это набор таких смешанных стратегий, которые невыгодно самостоятельно изменять ни одному из игроков.

2. Кооперативные игры