Игры с ненулевой суммой и кооперативные

     Следовательно, множество дележей, входящих в ядро, удовлетворяет условию «коалиционной рациональности». Это условие включает более частные условия «индивидуальной рациональности» (когда рассматриваются подмножества, состоящие из отдельных игроков), «групповой рациональности» (когда подмножеством является большая коалиция, включающая всех игроков) и условие рациональности любой коалиции промежуточного размера. Ядро описанной на рис. 4 игры трех участников показано в геометрической форме на рис. 5.  

       П³

                                               _(0;0;1)

                                                  _{(0,1;0;0,9) (0;0,1;0,9)}

     

       Ядро

                             (0,8;0;0,2)…………………..……  (0;0,8;0,2)

                   (1;0;0)             (0;1;0)

       П^{1 (08;0,2;0) (0,2;0,8;0)} П²

     Рис. 5 Ядро игры

     Изображенный на рисунке равносторонний треугольник является границей симплекса в пространстве Е³, т.е. границей множества дележей (П¹, П², П³ ) - векторов трехмерного пространства, — таких, что

Пⁱ≥0    i = 1,2,3.   П¹ + П² + П³ = 1.

     Вершины треугольника соответствуют таким дележам, при которых один из игроков выигрывает всю сумму. Заштрихованная область треугольника - это ядро игры. Представляется вполне разумным следующее предположение: если игра имеет ядро, то все выбираемые дележи должны принадлежать ядру. Это означает, что игроки учитывают все возможные коалиции. Однако, к сожалению, многие игры не имеют ядра (ядро является пустым множеством), т.e. не существует дележей, удовлетворяющих условию коалиционной рациональности для какой бы то ни было коалиции. Например, если бы в показанной на рис. 4 игре трех участников все коалиции из двух игроков получали бы 0,8, то ядро было бы пустым.

     Число дележей, входящих в ядро, как правило, либо равно нулю (т.е. ядро пустое), либо их много (как, например, на рис. 5). Ядра, состоящие из единственного дележа, встречаются очень нечасто. Однако в играх с ценой Шепли ядро всегда состоит из одного дележа. Ценой Шепли называется дележ, величина платежей в котором зависит от «силы» каждого игрока. Последняя учитывается исходя из значения дополнительного выигрыша, который может получить коалиция, если данный игрок войдет в нее [5]. Так, например, третий игрок в игре, описанной на рис. 4 обладает большей силой, чем остальные, и поэтому должен получить больше, чем они: две коалиции, состоящие из двух игроков и включающие игрока 3, получают 0,2, тогда как коалиция без этого игрока получает 0,1. Предположим, что каждый игрок получает выигрыш, равный средней величине своих вкладов во все те коалиции, куда он мог бы вступить. Выигрыш i-го игрока равен средней взвешенной из v(S U {i}) - v(S), где S — это любое подмножество игроков, не содержащее игрока i, а SU{i} то же самое подмножество, включающее игрока i. Средняя взвешенная равна платежу

Пⁱ   =   ∑y_n (S) [v(S U {i}) - v(S)],

                                                       ^{се S€N}

     где взвешивающие множители y_n (S) равны

y_n (S)=s!(n-s-1)!

              ^n!

     a s — число игроков в S. Выбор именно таких взвешивающих множителей обусловлен следующими обстоятельствами: коалиция из n участников может быть образована n! различными способами: существует s! различных способов организации для s игроков, входящих в коалицию S до того, как к ней присоединяется игрок i; игроки, не входящие в расширенную коалицию, число которых равно n- s - 1, могут быть организованы (n—s— 1)! различными способами. Следовательно, если предположить, что все п! способов формирования коалиций, состоящих из п игроков, равновероятны, то y_n (S) представляет собой не что иное, как вероятность присоединения игрока i к коалиции S. В игре, описанной на рис. 4. каждому игроку предоставляются четыре возможности. Для игрока 1 эти возможности следующие:

     -v ({1}) - v (Ø) = 0,

     -v ({1.2}) - v ({2}) = 0,1,

     - v({1.3}) - v ({3}) = 0,2,

     - v ({ 1,2,3}) - v ({2,3}) = 0,8.

     Веса, соответствующие каждому из этих четырех случаев, таковы: 2/6, 1/6, 1/6 и 2/6. Следовательно, выигрыш игрока 1 составит:

     П¹= (2/6)*0 + 1/6* 0,1+ 1/6*0,2 + 2/6*0,8 = 19/60

     Из аналогичных рассуждений вытекает, что выигрыш игрока 2 равен 19/60, а выигрыш игрока 3 составит 22/60. Итак, в данной игре вектор дележа, соответствующий цепе Шепли равен (19/60, 19/60, 22/60) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Практическая  часть

      Две фирмы функционируют на рынке  одновременно с одинаковым товарным объемом V. У обеих фирм по соображениям рентабельности есть следующие стратегии: либо выбросить на рынок полный объем  товара V, либо выбросить половину объема 0,5 v.

      Если  первая фирма выбрасывает на рынок полный объем V, а вторая половину объема 0,5V, то первая получает 90% запланированной прибыли, а вторая только 20%, и наоборот. Если обе фирмы выбросят на рынок по полному объему V, то получат по 25% прибыли, если по 0,5 V, то прибыль каждой из фирм составит по 50% от запланированной.

      Определить  основные характеристики игры, если:

      1) фирма действует в условиях возможного взаимодействия

      2) фирмы не могут воздействовать  друг на друга до тех пор,  пока не придут к некоторому соглашению. 

      Решение:

      Биматрица выигрышей для игроков будет  иметь вид:

             Стратегии 2-го  игрока

              V   (25,25)  (20,90)

      Стратегии 1-го игрока       0.5   (90,20) (50,50)

      На  плоскости h1,h2 множеством S, определяющим игру, является треугольник с вершинами, данными в 6иматрице: A (25;25), B (20;90), C (90;20) - это множество является выпуклым (рис. 1).

     Сторона АВ этого треугольника представляет собой Парето-оптимальное множество: увеличение выигрыша одного игрока возможно только за счет партнера.  
 
 
 

Рис. 6

     Точка Т (50;50) определяет выигрыши, которые игроки могут получить без взаимодействия с партнером. Переговорное множество N (отрезок ) лежит на линии ВС, На этой линий находится точка Нэша N*(55;55) - в ней произведение (h1 - 55) (h2 - 55) для точек (h1;h2). лежащих вне множества N, принимает наибольшее значение. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

     В заключение данной работы можно сделать  вывод о необходимости использования  теории игр в современных экономических  условиях.

       В условиях альтернативы (выбора) очень часто нелегко принять решение и выбрать ту или иную стратегию. Исследование операций позволяет с помощью использования соответствующих математических методов принять обоснованное решение о целесообразности той или иной стратегии. Теория игр, имеющая в запасе арсенал методов решения матричных игр, позволяет эффективно решать указанные задачи несколькими методами и из их множества выбрать наиболее эффективные, а также упрощать исходные матрицы игр.

     В последние годы значение теории игр существенно возросло во многих областях экономических и социальных наук. В экономике она применима не только для решения общехозяйственных задач, но и для анализа стратегических проблем предприятий, разработок организационных структур и систем стимулирования.

     Уже в момент ее зарождения, которым  считают публикацию в 1944 г. монографии Дж. Неймана и О. Моргенштерна “Теория  игр и экономическое поведение”, многие предсказали революцию в  экономических науках благодаря  использованию нового подхода. Эти прогнозы нельзя было считать излишне смелыми, так как с самого начала данная теория претендовала на описание рационального поведения при принятии решений во взаимосвязанных ситуациях, что характерно для большинства актуальных проблем в экономических и социальных науках. Такие тематические области, как стратегическое поведение, конкуренция, кооперация, риск и неопределенность, являются ключевыми в теории игр и непосредственно связаны с управленческими задачами.

     Первые  работы по теории игр отличались упрощенностью предположений и высокой степенью формальной абстракции, что делало их малопригодными для практического использования. За последние 10 - 15 лет положение резко изменилось. Бурный прогресс в промышленной экономике показал плодотворность методов игр в прикладной сфере.

     В последнее время эти методы проникли и в управленческую практику.

     В данной работе были проиллюстрированы  практическое применение двух основных стратегий теории игр и сделаны  соответствующие выводы.

     В практической части решена игра с помощью графического метода (по Нэшу). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  использованной литературы 

1. Акулич  И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. -- М.: Высшая школа, 1986.
2. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.
3. Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций. -- М.: Прогресс, 1965
4. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М., 2005.
5. Интрилигатор М., Математические методы оптимизации и экономическая теория/ Пер.с англ. Г.И. Жуковой, Ф. Я. Кельмана. – М: Астрис-пресс,  2002. – 576 с.
6. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов. /Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ , 2004. - 407с.
7. Калихман И.Л. Линейная алгебра и программирование. -- М.: Высш. шк.,1967.
8. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч.II. Теория вероятностей и математическое программирование. Линейное программирование: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: Высш. школа, 1982.
9. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 543с.
10. Курс экономики: Учебник / Под ред. Б.А. Райзберга. - ИНФРА-М, 1997.
11. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. М.: Наука, 1984
12. Матвеев В.И., Сагитов Р.В., Шершнев В.Г. Курс линейного программирования для экономистов: Учеб. пособие. -- М.: Менеджер, 1998
13. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. Пер. с англ. Под ред. и с доб. Н.Н. Воробьева. М.,"Наука",1970. 707 с.
14. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. — М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — С. 304. — ISBN 5-06-001005-8, 5-8013-0007-4
15. Янч Э. Прогнозирование научно-технического прогресса. / Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1974.