Эконометрические модели

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов.[7]

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверить на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель счи­тается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверя­ется для каждого уравнения системы.

Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число экзогенных переменных (D), отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении (H) без одного.

D+1=H – уравнение идентифицируемо;

D+1<H – уравнение неидентифицируемо;

D+1>H – уравнение сверхидентифицируемо.

Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Урав­нение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем перемен­ным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определи­тель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем чис­ло эндогенных переменных в системе без одного.[6]

Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы, коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других уравнениях, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие иден­тификации.

1.4 Оценивание параметров структурной модели.

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены раз­ными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:

• косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);

• двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК);

• трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК);

• метод максимального правдоподобия с полной информа­цией (ММПf);

• метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (ММПs).

Косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов подробно описаны в литературе и рассматриваются как традици­онные методы оценки коэффициентов структурной модели. Эти методы достаточно легкореализуемы. Косвенный метод наи­меньших квадратов применяется для идентифицируемой систе­мы одновременных уравнений, а двухшаговый метод наимень­ших квадратов - для оценки коэффициентов сверхидентифицируемой модели. Перечисленные методы оценивания также используются для сверхидентифицируемых систем уравнений.[5]

Метод максимального правдоподобия рассматривается как наиболее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК. Одна­ко при большом числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам. Поэтому в качестве модификации используется метод максимального прав­доподобия при ограниченной информации. В отличие от метода максимального правдоподобия в данном методе сняты ограничения на параметры, связанные с функцио­нированием системы в целом. Это делает решение более про­стым, но трудоемкость вычислений остается достаточно высо­кой.[6]

1.4.1 КМНК.

Как уже отмечалось, косвенный метод наименьших квадра­тов используется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура применения КМНК предполагает выполне­ние следующих этапов работы:

             структурная модель преобразовывается в приведенную фор­му модели;

             для каждого уравнения приведенной формы модели обыч­ным МНК оцениваются приведенные коэффициенты (δij);

             для каждого уравнения приведенной формы модели обыч­ным МНК оцениваются приведенные коэффициенты (δij);

             коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в параметры структурной модели.

При сравнении результатов, полученных традиционным методом наименьших квадратов и с помощью косвенного метода наименьших квадратов, следует иметь в виду, что традиционный МНК, применяемый к каждому уравнению структурной формы модели, взятому в отдельности, дает смещенные оценки структурных коэффициентов.

1.4.2 ДМНК.

Если система сверхидентифицируема, то КМНК не использу­ется, ибо он не дает однозначных оценок для параметров струк­турной модели. В этом случае могут применяться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и про­стым является двухшаговый метод наименьших квадратов.

Основная идея ДМНК — на основе приведенной формы мо­дели получить для сверхидентифицируемого уравнения теорети­ческие значения эндогенных переменных, содержащихся в пра­вой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной фор­ме сверхидентифицируемого уравнения. Метод получил назва­ние «двухшаговый метод наименьших квадратов», ибо МНК ис­пользуется дважды: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной  ŷi = δi1x1 + δi2x2 + … + δijxj и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэф­фициентов модели по данным теоретических (расчетных) значе­ний эндогенных переменных.

Свёрхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

             все уравнения системы сверхидентифицируемы;

             система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точ­но идентифицируемые уравнения.

Если все уравнения системы сверхидентйфицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения исполь­зуется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.

Двухшаговый метод наименьших квадратов является наибо­лее общим и широко распространенным методом решения систе­мы одновременных уравнений. [6]

1.5 Большие эконометрические модели.

Большие эконометрические модели (LSEM) — это комплексная система эконометрических уравнений для описания мировой экономики или экономики конкретного региона. Подобная система может включать сотни, а то и тысячи уравнений. Конечно же, нет человека, который был бы способен решать такие модели, хотя необходимые расчеты можно выполнить с помощью компьютера. Тем не менее по своей базовой структуре такие модели очень похожи на изученные нами. Сложности возникают при неочевидном нарушении связей между потреблением, инвестициями, спросом на деньги и т.д. LSEM применяется в моделировании в основном для ответа на вопрос: какое количественное воздействие оказывают на эндогенные переменные (выпуск, цены и пр.) изменения экзогенных переменных (например, фискальной, денежной политики, обменного курса).[8]

1.5.1 Математические основы больших эконометрических моделей.

Основной областью применения эконометрических моделей является построение макроэкономических моделей экономики целой страны. Это, главным образом, мультипликаторные модели кейнсианского типа. Более совершенными по сравнению со статическими моделями являются динамические модели экономики, которые содержат в правой части лаговые переменные и учитывают тенденцию развития (фактор времени). Значительные трудности создает невыполнение условия независимости факторов, которое в корне нарушается в системах одновременных (взаимозависимых) уравнений [1].

Отметим, что наличие множества прикладных моделей для решения одного и того же класса задач не случайно. Наиболее ярко это проявляется при построении макроэкономических моделей, когда, например, одна и та же функция потребления может включать в себя разный набор экономических пере­менных.

Рассмотрим основные направления практического использо­вания эконометрических систем уравнений (больших эконометрических моделей).

Наиболее широко системы одновременных уравнений применяются для построения макроэкономических моделей функционирования экономики той или иной страны. Большин­ство из них представляют собой мультипликаторные модели кейнсианского типа с той или иной степенью сложности. Стати­ческая модель Кейнса для описания народного хозяйства страны в наиболее простом варианте имеет следующий вид:

C = a + by + e,

Y = C + I,

где С — личное потребление в постоянных ценах;

у - национальный доход в постоянных ценах;

е - случайная составляющая;

I - инвестиции в постоянных ценах.

В силу наличия тождества в модели (второе уравнение систе­мы) структурный коэффициент b не может быть больше 1. Он ха­рактеризует предельную склонность к потреблению. Так, если b = 0,65, то из каждой дополнительной 1 тыс. руб. дохода на по­требление расходуется в среднем 650 руб. и 350руб. инвестирует­ся т. е. С и у выражены в тысячах рублей. Если b > 1 , то у < C + 1, т. е. на потребление расходуются не только доходы, но и сбереже­ния. Параметр а Кейнс истолковывал как прирост потребления за счет других факторов. Поскольку прирост во времени может быть не только положительным, но и отрицательным (сниже­ние), такой вывод возможен. Однако суждение о том, что пара­метр а характеризует конкретный уровень потребления, обуслов­ленный влиянием других факторов, неправильно.[6]

Структурный коэффициент b используется для расчета муль­типликаторов. По данной функции потребления можно опреде­лить два мультипликатора - инвестиционный мультипликатор потребления Мс и инвестиционный мультипликатор националь­ного дохода Му.

Инвестиционный мультипликатор потребления рассчитыва­ется по формуле

Mc = b/ (1-b)

Инвестиционный мультипликатор национального дохода можно определить как

Му = 1 / (1 — b),

Рассматриваемая модель Кейнса точно идентифицируема, и для получения величины структурного коэффициента b приме­няется КМНК, т.е. строится система приведенных уравнений.

Таким образом, приведенная форма модели содержит мульти­пликаторы, интерпретируемые как коэффициенты линейной ре­грессии, отвечающие на вопрос, на сколько единиц изменится значение эндогенной переменной, если экзогенная переменная изменится на одну единицу своего измерения. Этот смысл коэф­фициентов приведенной формы делает приведенную модель удобной для прогнозирования.

В более поздних исследованиях статическая модель Кейнса включала уже не только функцию Потребления, но и функцию сбережений:

C = a + by + e1,

r =  T + K(C + I) + e2,

y = C +I + r,

где С, y и I – те же по смыслу переменные, что и в предыдущей модели;

r -  сбережения.

Данная модель содержит три эндогенные переменные — С, г, у и одну экзогенную переменную I.Система идентифицируема: в первом уравнении Н = 2 и D =1, во втором H=1 и D = 0;С + I рассматривается как предопределенная переменная.

Наряду со статическими широкое распространение получили динамические модели экономики. В отличие от статических они содержат в правой части лаговые пе­ременные, а также учитывают тенденцию (фактор времени). Например, модели Клейна, разработанные им для экономики США в 1950-1960 гг. В упрощенном варианте модель Клейна рас­сматривается как конъюнктурная модель.

Ct = b1St + b2Pt + b3 + e1,

It = b4Pt + b5Pt-1 + b6 +e2,

St = b7Rt + b8Rt-1 + b9t + b10 + e3,

Rt = St + Pt + Tt,

Rt = Ct + It + Gt,

где  Ct  -  функция потребления в период t;

St  - заработная плата в период  t;

Pt  - прибыль в период  t;

Pt-1 -  прибыль в период t - 1, т. е. в предыдущий год;

Rt - общий доход в период t;

Rt-1 - общий доход в предыдущий период;

t - время;

Tt - чистые трансферты в пользу администрации в период t;

It -  капиталовложения в период t,

Gt  - спрос административного аппарата, правительственные расхо­ды в период времени t.

Модель содержит пять эндогенных переменных - Ct ,It,St ,Rt (расположены в левой части системы) и Pt (последняя — зависи­мая переменная, определяемая по первому тождеству), три экзо­генные переменные - Tt, Gt t и две предопределенных, лаговых пе­ременных - Pt-1 и Rt-1 .Как и большинство моделей такого типа, данная модель сверхидентифицируема и решаема ДМНК. Для прогнозных целей используется приведенная форма модели

Ct = d1T + d2G + d3t + d4Pt-1 + d5Rt-1 +u1,

It = d6T + d7G + d8t + d9Pt-1 + d10Rt-1 +u2,

St = d11T + d12G + d13t + d14Pt-1 + d15Rt-1 +u3,

Rt = d16T + d17G + d18t + d19Pt-1 + d20Rt-1 +u4,

Pt = d21T + d22G + d23t + d24Pt-1 + d25Rt-1 +u5.

В этой системе мультипликаторами являются коэффициенты при обычных экзогенных переменных. Они отражают влияние экзогенной переменной на эндогенную переменную. Мульти­пликаторами в нашей системе выступают коэффициенты при Т и С. Коэффициенты d1, d6, d11, d16, d21- мультипликаторы чистых трансфертов в пользу администрации относительно личного по­требления d1, инвестиций d6, заработной платы d11, дохода  d16 и прибыли d21. Соответственно коэффициенты d2, d7, d12, d17, d22  являются мультипликаторами правительственных расходов относительно соответствующих эндогенных переменных.[6]