Эконометрический анализ временного ряда

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

 

                                       

КАФЕДРА ФИНАНСОВ И НАЛОГОВОЙ  ПОЛИТИКИ

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ЭКОНОМЕТРИКЕ

ВАРИАНТ 12 

                                                               Выполнила:

                                                            студентка

                                                                III курса ФБ

                                                                     группа ФБЭ-12

                                                           Полина В.В.                                                                 

                                                        Проверил:

                                                                  Фаддеенков А.В.

 

 

 

 

 

 

 

Новосибирск

2004

Необходимо провести эконометрический анализ заданного временного ряда с целью прогнозирования его значений. В данном случае в качестве временного ряда выступают 72 значения курса испанских песет.

Исходные значения  данного временного ряда следующие:

№	Значение	№	значение	№	значение	№	значение	№	значение	№	значение
1	14,9	13	15,35	25	15,82	37	16,21	49	16,4	61	16,33
2	14,95	14	15,47	26	15,93	38	16,23	50	16,31	62	16,24
3	15	15	15,44	27	16,16	39	16,06	51	16,37	63	16,3
4	15,04	16	15,43	28	16,09	40	15,93	52	16,41	64	16,28
5	14,96	17	15,51	29	16,22	41	15,7	53	16,29	65	16,34
6	15,03	18	15,55	30	16,09	42	15,71	54	16,16	66	16,19
7	14,95	19	15,53	31	16,17	43	15,83	55	16,19	67	16,18
8	15,1	20	15,49	32	16,13	44	16	56	16,31	68	15,99
9	15,35	21	15,45	33	16,17	45	15,89	57	16,24	69	16,18
10	15,35	22	15,6	34	16,07	46	16,19	58	16,14	70	16,07
11	15,31	23	15,72	35	15,94	47	16,06	59	16,09	71	16,11
12	15,3	24	15,75	36	16,11	48	16,09	60	16,22	72	16,03

 

Задание 1

Построить график временного ряда.

 

На всем промежутке времени наблюдается общая тенденция роста курса валюты с незначительными спадами. Минимальное значение песета было зафиксировано в момент времени t = 1, максимальное значение  наблюдалось в момент времени t = 52.

 

Задание 2

 

Проведем первичный  статистический анализ временного ряда.

1) Среднее значение вычисляется по формуле:

Среднее значение курса испанских песет за данные 72 дня составило 15,857

2) Мера разброса (дисперсия) рассчитывается по формуле:

Разброс значений временного ряда вокруг среднего значения составил 0,1898

3) Автоковариационная функция  показывает зависимость между элементами временного ряда сдвинутых во времени на величину τ (порядок функции)

где а – среднее значение, равное 15,8569

 Значения автоковариационной  функции (при t = 1,2….,10)

 

0,17635

0,16709

0,15760

0,14961

0,14027

0,13050

0,11777

0,10734

0,10179

0,09510

 

Можно сделать вывод, что зависимость между значениями исходного временного ряда х(t) и x(t+t) достаточно высокая.

4) Автокорреляционная функция

показывает степень  тесноты связи между элементами ряда

Значения автокорреляционной функции для τ от 1 до 10.

0,942452

0,892941

0,842232

0,799544

0,749602

0,697426

0,629382

0,57363

0,543992

0,508239

 

 

 

График автокорреляционной функции (коррелограммы):

 

С увеличением порядка автокорреляционной функции уменьшается коэффициент функции, т.е. уменьшается степень взаимозависимости между элементами временного ряда. При каждом сдвиге по времени (1,2,…,71) снижается степень связи между значениями курса испанского песета. Поскольку значения автокорреляционной функции убывают достаточно быстро, можно предположить, что тренд не является линейной функцией. Данный временной ряд не является стационарным.

 

Задание 3

 

На  значения временного ряда влияют четыре группы факторов:

• Долговременные факторы, описываемые с помощью монотонной неслучайной функции тренда Т(t).
• Сезонные факторы, представляемые неслучайной периодической функцией S(t).
• Циклические факторы, описываемые неслучайной периодической функцией j(t).
• Случайные факторы, представляемые случайной функцией e(t).

 

В общем, виде разложение временного ряда можно записать так:

  X(t)=T(t)+S(t)+j (t)+e (t) при аддитивной схеме воздействия факторов;

               X(t)=T(t)*S(t)*j(t)*e(t) при мультипликативной схеме воздействия факторов.

При выборе модели – аддитивной или мультипликативной – исследуют  структуру экономического временного ряда. Если в сезонных колебаниях наблюдается  постоянная амплитуда, то анализ ряда проводят на основе аддитивной модели. Если же амплитуда колебаний возрастает или убывает во времени, то строят мультипликативную модель временного ряда.

В данной работе используется аддитивная модель без циклической переменной X(t)=T(t)+S(t)+e(t), т.е. на всем рассматриваемом промежутке времени отсутствует повторяемость.  

Для выявления факта  наличия/отсутствия неслучайной составляющей проверяем гипотезу:

Н₀:  Е(х(t)) = const

Н₁ : Е (х(t)) ≠ const

Чтобы проверить наличие неслучайной, монотонной функции тренда T(t) используется критерий серий: для начала ранжируем ряд в порядке возрастания. Затем вычислим медиану:

16,06

Получим серию знаков “+” и “-“ по правилу: вместо каждого элемента временного ряда х(t) нужно поставить “+”,  если х(t)> Х_med и “-“, если х(t)< Х_med члены временного ряда, равные Х_med не учитываются.

 

1	14,9	-	25	15,82	-	49	16,4	+
2	14,95	-	26	15,93	-	50	16,31	+
3	15	-	27	16,16	+	51	16,37	+
4	15,04	-	28	16,09	+	52	16,41	+
5	14,96	-	29	16,22	+	53	16,29	+
6	15,03	-	30	16,09	+	54	16,16	+
7	14,95	-	31	16,17	+	55	16,19	+
8	15,1	-	32	16,13	+	56	16,31	+
9	15,35	-	33	16,17	+	57	16,24	+
10	15,35	-	34	16,07	+	58	16,14	+
11	15,31	-	35	15,94	-	59	16,09	+
12	15,3	-	36	16,11	+	60	16,22	+
13	15,35	-	37	16,21	+	61	16,33	+
14	15,47	-	38	16,23	+	62	16,24	+
15	15,44	-	39	16,06	0	63	16,3	+
16	15,43	-	40	15,93	-	64	16,28	+
17	15,51	-	41	15,7	-	65	16,34	+
18	15,55	-	42	15,71	-	66	16,19	+
19	15,53	-	43	15,83	-	67	16,18	+
20	15,49	-	44	16	-	68	15,99	+
21	15,45	-	45	15,89	-	69	16,18	+
22	15,6	-	46	16,19	+	70	16,07	+
23	15,72	-	47	16,06	0	71	16,11	+
24	15,75	-	48	16,09	+	72	16,03	-

 

 

Критерий проверки опирается на 2 статистики n(n) и t(n)

n(n)= 11 (кол-во имеющихся серий)

t(n)= 26 (максимальная длина серий)

Приближенное правило проверки:           

                                              τ(n) < 1,43 ln (n +1);

                                           n(n) > 1/2(n+2 - 1,96 )

Если хотя бы одно из этих неравенств не выполняется, то гипотеза                   H₀: Е(х(t)) = const отвергается с вероятностью ошибки 0,05 ≤ α ≤ 0,0975.

26 < 1,43ln(72+1)                            26 < 6,13 − не выполняется

11 > 1/2(72+2 - 1,96 )           11 > 28,72 − не выполняется Þ                           Þ неслучайная  компонента T(t) присутствует.

Проверим наличие неслучайной  сезонной компоненты S(t).

Выдвигаем гипотезу

Н₀: Е (х(t)) = const

Н₁ : Е (х(t)) ≠ const

Воспользуемся критерием «восходящих» и «нисходящих» серий.

Также анализируется  последовательность знаков, но образованных по другому правилу: вместо каждого  элемента временного ряда х(t) нужно поставить “+”, если х(t+1))> х(t) и “-“, если х(t+1)< х(t). Если 2 или несколько наблюдения равны между собой, то учитывается только одно из них.

Приближенное правило проверки:                                 

n(n) = 1/3(2n-1)-1,96

t(n) = t₀(n)

t₀(n) = 6 при 26 £ n £ 153

n(n)=40                 42 < 1/3(2*72-1)-1,96     

t(n)=6                              

40 ≠ 42 - не выполняется

6 = 6 - выполняется . Значит, гипотеза Н_о отвергается Þ неслучайная компонента S(t)  присутствует.

Гипотеза Н₀: Е(х(t)) = const говорит о стационарности исследуемого процесса, характеристики которого не изменяются во времени. Гипотеза отвергается                    в первом и во втором случае, следовательно, на значения курса песета оказывает влияние долговременный фактор, который и формирует общую тенденцию в изменении наблюдаемого признака, а также присутствует компонента S(t). Данный временной ряд  имеет разложение вида:

X(t)=T(t)+S(t)+e(t) что и было доказано.

Задание   4

 

Для выявления основной тенденции изменения рассматриваемого временного ряда необходимо построить аналитическую функцию для неслучайной компоненты, присутствие которой в модели было доказано. Выбранная  функция должна максимально точно описывать зависимость уровней ряда от времени. Геометрическая интерпретация этого метода заключается в подборе уравнения, значения которого максимально близко находились бы от исходных точек. Данный метод называют аналитическим выравниванием, он может быть использован не только для описания временного ряда, но и для прогнозирования.

Так как график исходного ряда напоминает своим внешним видом несколько  графиков функции (y = , y = ln t, y = t²), строим следующие уравнения:

Y=q₀ +q₁t

Y₁=q₀ +q₁

Y₂=q₀ +q₁ln t

Y₃=q₀ +q₁t²

Проверим эти модели на значимость и адекватность исследуемому процессу,.

Выдвигаем гипотезу:     H₀: ESS ≠ 0

                                                                H₁: ESS = 0

Для проверки этой гипотезы рассмотрим разложение общей суммы  квадратов отклонений переменной Y от своего среднего значения на две части – объясненную и остаточную:     TSS = ESS+RSS                     

Отсюда коэффициент  детерминации равен:

                              R²=RSS/TSS

Если объясненная сумма  квадратов будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение нормальное и его можно рекомендовать для дальнейшего исследования.

Далее необходимо посчитать F-статистику:

F=(N-2)*R² /(1- R² )

Правило проверки гипотезы:

F > F_кр® H₀ отвергается

F < F_кр® H₀ не отвергается

 

	ESS	RSS	R2	F	Fкр.	значимость
Y=q0 +q1	2,52771	10,94522	0,812386	303,1064	3,13	есть
Y2=q0 +q1ln t	2,396123	11,0768	0,82215	323,5961	2,73	есть
Y3=q0 +q1t2	6,56188	6,911047	0,512958	73,7248	3,98	есть

 

Во всех случаях гипотеза Но отвергается и все выбранные модели значимы и могут быть использованы для прогнозирования временного ряда.

Для того, чтобы выбрать  наилучшую модель, вычисляем коэффициенты детерминации R² (наилучшей будет та модель, где R² ближе к 1)

R²₁=0,812386

R²₂=0,82215  }Þ Y₂=q₀ +q₁ ln  t − наилучшая модель